AP3-CIII-2018-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 de Cálculo III – Gabarito – 08/12/2018
Código da disciplina: EAD 01015 (Matemática/F́ısica/Qúımica ) e EAD 16062
(Engenharia de Produção )
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
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• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
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mento que sirva para cálculo como também qualquer
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cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
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mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
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Questão 1 (3,0 pontos)
Considere a função F : R3 −→ R, definida por F (x, y, z) = x4y4 + 4x3y3z + 6x2y2z2 + 4xyz3 − 15z4.
(a) (1,5 ponto) Decida se o Teorema da Função Impĺıcita pode ser utilizado para garantir que a equação
F (x, y, z) = 0 define implicitamente uma função z = f(x, y) em uma vizinhança V do ponto (0, 0) ∈ R2;
(b) (1,5 ponto) Para cada (x, y, z) ∈ R3, seja
G(x, y, z) = ∂
3F
∂z3
(x, y, z).
Decida se o Teorema da Função Impĺıcita pode ser utilizado para garantir que a equação G(x, y, z) = 0
define implicitamente uma função z = g(x, y) em uma vizinhança W do ponto (0, 0) ∈ R2;
Solução:
(a) Observemos que
0 = F (0, 0, z) = −15z4 =⇒ z = 0.
Uma vez que
Fz(x, y, z) = 4xy3 + 12x2y2z + 12xyz2 − 60z3 =⇒ Fz(0, 0, 0) = 0,
o Teorema da Impĺıcita não garante a existência de uma vizinhança V do ponto (0, 0), na qual a equação
F (x, y, z) = 1 defina implicitamente uma função z = f(x, y).
Cálculo III AP3 2
(b) Sabemos que
Fz(x, y, z) = 4xy3 + 12x2y2z + 12xyz2 − 60z3,
Fzz(x, y, z) = 12x2y2 + 24xyz − 180z2,
e
G(x, y, z) = Fzzz(x, y, z) = 24xy − 360z
para todo (x, y, z) ∈ R3. Como Gz(x, y, z) = −360, tem-se, em particular, Gz(0, 0, 0) = −360 6= 0.
Portanto, o Teorema da Impĺıcita garante a existência de uma vizinhança W do ponto (0, 0), na qual a
equação F (x, y, z) = 1 defina implicitamente uma função z = g(x, y).
Questão 2 (4,0 pontos)
Considere a função f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 4y + 5.
(a) (2,0 pontos) Encontre os pontos cŕıticos de f , classificando cada um como ponto de ḿınimo local , ou
como ponto de máximo local , ou como ponto de sela ;
(b) (1,0 ponto) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P = (1, 1, f(1, 1));
(c) (1,0 ponto ) Utilizando o conceito de Diferencial , obtenha uma aproximação para
f
(
1 + 112345678910 , 1 +
1
200000
)
.
Solução:
(a) Como
fx(x, y) = 2x− 2 e fy(x, y) = 2y − 4
para quaisquer (x, y) ∈ R2, os pontos cŕıtcos de f são as soluções do sistema determinado pelas equações
2x− 2 = 0 e 2y − 4 = 0
Portanto,
P = (1, 2)
é o único ponto cŕıtico de f . Agora, notemos que
fxx(x, y) = 2 =⇒ fxx(P ) = 2;
fyy(x, y) = 2 =⇒ fyy(P ) = 2;
fxy(x, y) = 0 =⇒ fxy(P ) = 0.
Nesse caso, sendo
H(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2,
segue que
H(P ) = 2 · 2− 02 = 4 > 0 =⇒ P é um ponto de ḿınimo local de f.
(b) Uma vez que f(1, 1) = 1, fx(1, 1) = 0 e fy(1, 1) = −2, a equação do plano tangente ao gráfico de f , no
ponto P = (1, 1, f(1, 1)) é dada por
z − f(1, 1) = fx(1, 1)(x− 1) + fy(1, 1)(y − 1),
ou seja,
z − 1 = 0 · (x− 1)− 2(y − 1)( que equivale a z = −2y + 3).
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Cálculo III AP3 3
(c) Pondo ∆x = 112345678910 e ∆y =
1
200000 , temos
f(1 + ∆x, 1 + ∆y) ∼= f(1, 1) + fx(1, 1)∆x+ fy(1, 1)∆y,
isto é,
f
(
1 + 112345678910 , 1 +
1
200000
)
∼= 1 + 0 ·
(
1
12345678910
)
− 2 ·
(
1
200000
)
= 0, 99999.
Questão 3 (3,0 pontos)
Calcule os seguintes limites:
(a) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(1,1)
x3y − xy3
x− y
;
(b) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x4 + y4
;
(c) (1,0 ponto) lim
(x,y)→(0,0)
x2y√
x4 + y2
.
Solução:
(a) Como
x3y − xy3 = xy(x2 − y2) = xy(x+ y)(x− y),
temos
lim
(x,y)→(1,1)
x3y − xy3
x2 − y2
= lim
(x,y)→(1,1)
xy(x+ y)(x− y)
x− y
= lim
(x,y)→(1,1)
xy(x+ y) = 2
(b) Ponhamos
h(x, y) = x
2√
x4 + y4
,
para cada (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Como
lim
t→0
h(t, 0) = lim
t→0
t2
t2
= lim
t→0
1 = 1
e
lim
t→0
h(0, t) = lim
t→0
0
t2
= lim
t→0
0 = 0,
deduzimos que lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x4 + y4
não existe.
(c) Uma vez que
x2 =
√
x4 ≤
√
x4 + y2,
para todo (x, y) ∈ R2, conclúımos que a função
γ : (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7−→ x
2√
x4 + y2
∈ R
é limitada. Como lim
(x,y)→(0,0)
y = 0, obtemos
lim
(x,y)→(0,0)
x2y√
x4 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
yγ(x, y) = 0.
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RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
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