Aula05_BaseMudancaBase

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear
Aula 05: Base, Dimensão da Soma e Mudança de Base
Processo Prático Para Determinar uma Base de um Subespaço de Rn a partir dos seus
geradores. Esse processo se baseia em apenas três obervações. Seja U = [u1, . . . , ur] um subespaço
vetorial do Rn.
(I) Permutação: U = [u1, . . . , ui, . . . , uj, . . . , ur] = [u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , ur].
(II) Para todo número real α tem-se a seguinte igualdade: U = [u1, . . . , ui, . . . , uj + αui, . . . , ur].
(III) Se u1, u2, . . . , ur se apresentam na forma escalonada, ou seja, o número de zeros iniciais de
u2 é maior que o de u1 e assim sucessivamente, então os vetores u1, u2, . . . , ur formam um conjunto
LI e, portanto dim U = r.
Exemplo: Seja U = [(2, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 2), (0,−1, 1, 4)] ⊂ R4. Na prática formamos com esses
vetores as linhas de uma matriz simbólica da seguinte maneira:
2 1 1 0
1 0 1 2
0 −1 1 4

A seguir aplicamos convenientemente as operações (I) e (II) acima até obtermos a situação da
hipótese de (III), ou seja, até que os vetores se apresentam na forma escalonada.

2 1 1 0
1 0 1 2
0 −1 1 4
 ∼

1 0 1 2
2 1 1 0
0 −1 1 4
 ∼

1 0 1 2
0 1 −1 −4
0 −1 1 4
 ∼

1 0 1 2
0 1 −1 −4
0 0 0 0

Vejamos que B = {(1, 0, 1, 2), (0, 1,−1, 4)} formam um conjunto LI e portanto B é uma base de U e
a dim U = 2.
Dimensão da Soma de Dois Subespaços. Seja V um espaço vetorial sobre R e U eW subespaços
vetoriais de V , então U ∩W e U +W também são subespaços de V . No caso em que a dimensão
de V é finita as dimensões de U ∩W e U+W estão relacionadas.
Proposição: Seja V um espaço vetorial sobre R de dimensão finita. Se U e W são subespaços
vetoriais de V então dim(U ∩W) + dim(U+W) = dimU+ dimW.
Coordenadas
Definição: Uma base ordenada é uma base na qual fixamos quem é o primeiro vetor, quem é o
segundo vetor, etc.
Definição: Seja V um espaço vetorial R de dimensão finita e B = {u1, u2, . . . , un} uma base
ordenada de V . Para todo vetor v ∈ V , os únicos escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R que figuram na
equação
v = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun
são chamados de coordenadas do vetor v em relação à base ordenada B.
Notação: vB =

α1
α2
...
αn
. Matriz das coordenadas de v em relação à base ordenada B.
Mudança de Base
A partir de agora, diremos base em vez de base ordenada. Seja V um espaço vetorial de dimensão
n e consideremos duas bases de V : B = {u1, u2, . . . , un} e C = {v1, v2, . . . , vn}. Então existe uma
única famı́lia de escalares reais αij de maneira que:
v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1un
v2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un
...
vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun
Definição: A matriz quadrada de ordem n.
MBC =

α11 α12 · · · α1n
α21 α22 · · · α2n
...
αn1 αn2 · · · αnn

é chamada de matriz mudança de base da base B para a base C.
Proposição: Sejam B e C bases em um espaço vetorial V de dimensão finita n. Então a matriz
MBC possui inversa e esta inversa é dada por MCB, a matriz de mudança da base C para a base B.
Proposição: Sejam B, C e D bases de um espaço vetorial V de dimensão finita n temos:
MBD =MBC ·MCD
Proposição: Sejam B e C bases de um espaço vetorial V de dimensão finita n. Se vB e vC
representam as coordenadas de um dado vetor v ∈ V com relação às bases B e C, respectivamente e
se MBC é a matriz de mudança de base da base B para a base C então vB =MBC ·vC e vC =MCB ·vB.