Desafios - Cálculo Integral

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Desafio 1.1 - Antiderivadas 
 
Ao caírem da mesma altura na Terra, objetos de massas e formas distintas podem ter 
velocidades diferentes ao tocarem o chão. Isso ocorre devido à resistência do ar existente na 
superfície terrestre. Galileu Galilei (1564-1642) previu que, sem a presença do ar, corpos de 
massas diferentes soltos simultaneamente da mesma altura, cairiam juntos, lado a lado, sob a 
mesma aceleração. Este fato foi comprovado experimentalmente pelo astronauta David Scott, 
comandante da missão Apollo 15 (em 1971), ao deixar cair uma pena de falcão e um martelo 
de alumínio de uma altura aproximada de 1,6 m. Ambos os objetos tocaram o solo lunar no 
mesmo instante. Sabe-se que a aceleração de um objeto é a derivada de sua função velocidade 
em relação a variável tempo e que a aceleração gravitacional é constante na superfície da lua. 
Suponha que uma pena e um martelo sejam soltos, a certa altura, na superfície lunar. Usando 
seu conhecimento de antiderivada, como você explica o fato de o martelo e a pena terem a 
mesma função velocidade na lua? Justifique a sua resposta combinando as formas quantitativa 
(equações) e qualitativa (descrições). 
 
 
 
 
 
Resposta: Como a aceleração gravitacional na superfície lunar é igual a uma constante a e 
sendo esta aceleração calculada pela derivada da função velocidade v = v(t) em relação ao 
tempo t, temos dv/dt = a, o que equivale a escrever: dv/dt = at0. Aplicando os conhecimentos 
de antiderivação de polinômios, conclui-se que: v(t) = at0 ⅆt = a
t0+1
0+1
+ c = at + c Observe 
que a constante C surge, pois (de modo geral) o objeto pode ter partido com uma velocidade 
inicial diferente de zero. Porém, para ambos os objetos (a pena e o martelo), temos uma 
velocidade inicial nula (pois estes são soltos na superfície lunar), ou seja, v(0) = 0 m/s. 
Assim: v(0) = a . 0 + C → 0 = C. Portanto, v(t) = at descreve a função velocidade de qualquer 
objeto solto na superfície lunar a partir de seu repouso. 
 
Desafio 1.2 - Conceito e propriedade da integral indefinida 
 
As integrais indefinidas no cálculo matemático envolvem situações com funções em uma 
formulação mais complexa, tal que f'(x) = g(x). Esse processo poderá ser realizado em 
atividades da área da Agronomia, possibilitando resultados precisos aos agrônomos. Suponha 
que você, agrônomo, está verificando todas as propriedades da região Sul que estão na sua 
demanda. Em umas das propriedades, verificou a danificação da plantação de milho por 
lagartas. Para verificar os dados precisamente, você utilizou a expressão y’ = 4 + 5t4 para 
observar a plantação danificada diariamente. Após a verificação, constatou-se que 50.000 m2 (5 
hectares) já estão danificados. 
a) Quantos metros quadrados da lavoura estarão danificados em 7 dias? 
b) Caso a proliferação esteja muito grande, que atitudes deverão ser tomadas? 
Resposta: 
a) O problema nos fornece a derivada y’ e o valor de y(0) = 50000. Assim, calcula-se a 
integral para encontrar y e depois substituir t por 0 e y por 50000 para encontrar a constante 
C. 
y= ∫(4+5t4)dt 
y = 4t + t5 + C → Para encontrar C substitui-se t por 0. Assim: 
50000 = 4 . 0 + 05 + C 
Logo C = 50000 → Assim: 
y = t5 + 4t + 50000 
Agora, substitui-se t por 7 para encontrar a quantidade de lavoura danificada em 7 dias. 
y = 75 + 4 . 7 + 50000 
y = 16807 + 28 + 50000 
y = 66835 m2 
Logo, a plantação em 7 dias estará com 66835 m2 danificados pelas lagartas. 
b) Atitudes como o uso de inseticidas deverão ser utilizadas rapidamente, e caso o milho 
esteja numa altura que impossibilita a entrada do pulverizador agrícola gafanhoto, 
recomenda-se o uso do avião agrícola para aplicar o inseticida. 
 
 
Desafio 1.3 - Noções de integral, cálculo e função integral 
 
As integrais são extremamente importantes para diversos cálculos aplicados, como por 
exemplo, em situações envolvendo o centro de massa dos objetos. Muitas estruturas e sistemas 
mecânicos comportam-se como se suas massas estivessem concentradas em um único ponto, 
que é chamado de centro de massa. Saber o centro de massa dos projetos a serem desenvolvidos 
é de suma importância em determinados lugares, como onde ocorre terremotos com certa 
frequência e os prédios precisam ser resistentes, pois uma força externa é capaz mudar o centro 
de massa de lugar, provocando desequilíbrio de um edifício. Considere a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafio 2.1 - Integral indefinida 
 
As integrais estão presentes em muitas áreas de conhecimento, assim como no nosso dia a dia. 
O deslocamento de uma partícula num dado intervalo de tempo, a área de uma região irregular, 
o aumento do número de bactérias ao final de um dado período são todas situações descritas 
via integral definida. Suponha que você está em um carrinho de montanha russa que se desloca 
com velocidade descrita no gráfico a seguir. O que se pode afirmar sobre sua posição nos 
instantes 0s e 8s? 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Lembre-se que a função posição é a antiderivada da função velocidade. Desta 
forma, a área entre a função e o eixo x, dentro do intervalo dado, representa o deslocamento 
do carrinho neste intervalo. Observe que, no intervalo de 0 a 8 segundos, a área acima do 
eixo x é igual à área abaixo deste eixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, o deslocamento é ∫ 𝜈(𝑡) ⅆ𝑡
8
0
= 0 𝑚. Logo, considerando que no instante 0s o 
carrinho encontra-se no ponto de partida da montanha russa, ao aproximar-se do instante 8s, 
ele estará retornando a este mesmo ponto. Portanto, nos instantes 0s e 8s você se encontra no 
mesmo local. 
 
Desafio 2.2 - Teorema Fundamental do Cálculo I 
 
No ensino médio, somos aprovados em física decorando inúmeras fórmulas. Quem nunca ouviu 
falar em MRU e MRUV? Por isso, chegou a hora de virar o jogo! Você vai mostrar, com a 
ajuda do Teorema Fundamental do Cálculo, que todas aquelas fórmulas são deduzidas de dois 
princípios básicos: 1º: Para variar-se a posição da partícula, é necessário haver velocidade 
(calculada pela derivada da função posição) e 2º: Para variar-se a velocidade, é necessário haver 
aceleração (calculada pela derivada da função velocidade). Dessa forma, deduza as equações 
da cinemática, para uma partícula em: 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: na hora de integrar, pode colocar as variáveis nos limites de integração. Elas se 
comportaram como constantes. 
Resposta: No MRU, têm-se aceleração nula. Considerando o instante inicial t0 = 0s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já no MRUV, a aceleração a é constante e não nula. Lembrando que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafio 2.3 - Integração por substituição de variável e integração por partes 
 
É possível calcular a derivada de quase todas as funções usadas em problemas práticos, seja por 
meio de regras ou fórmulas específicas. Por sua vez, a integração exige métodos mais 
elaborados e apropriados para cada situação. Também conhecido como integração por 
substituição, o método de mudança de variável é considerado o inverso da regra da cadeia para 
derivadas e também tem aplicação prática. Como exemplo, pode-se mencionar seu uso para 
cálculo de preço a partir de taxa de variação, modelos de ajustes de preço, modelos de 
depreciação, receita, lucro, oferta, demanda, investimentos, entre outros. Neste Desafio, você 
aprofundará os conhecimentos sobre o método da integração por substituição a partir de 
um problema de demanda por sandálias. Acompanhe: 
 
 
 
 
 
 
Mediante o exposto, e partindo do pressuposto de que o gerente precisa realizar algumas 
análises para planejar melhor suas próximas compras e o valor cobrado, bem como acompanhar 
seu estoque, auxilie-o na definição dos seguintes elementos: 
a) o preço para o qual a demanda por sandálias é de 500 pares; 
b) o preço acima do qual a demanda é zero; 
c) a demanda se o preço do par de sandálias for de R$ 90,00. 
a) p(x) p’(x) 
u = x2 + 9 →du = 2x dx 
x dx = ½ du 
p(x) = ∫
−300
(x2+9)3/2
ⅆx 
∫
−300
4
3
2
 (
1
2
) ⅆu 
−300
2(x2 + 9)3/2
ⅆx