Avaliação II - GEOMETRIA ANALÍTICA E ALGEBRA VETORIAL

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22/09/2022 16:36 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:765037)
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Prova 53669419
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem deste operador:
A 1.
B 3.
C 2.
D 0.
No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. 
Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na 
transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome 
de autovalor. Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia. 
Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir: 
I- v = (1,0) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2. 
II- v = (0,1) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2. 
III- T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV- T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e IV estão corretas.
B As opções I e III estão corretas.
C As opções II e IV estão corretas.
D As opções II e III estão corretas.
Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na 
mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um 
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plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que 
estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, 
analise as sentenças a seguir: 
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos. 
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos. 
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos. 
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos. 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças II e III estão corretas.
B As sentenças I e III estão corretas.
C Somente a sentença I está correta.
D As sentenças I e IV estão corretas.
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços 
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma 
transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das 
transformações lineares, analise as opções a seguir: 
I- T(x,y) = (x² , y²). 
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y). 
III- T (x,y) = (2x + y, x - y). 
IV- T (x,y) = (x, x - y). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções III e IV estão corretas.
B As opções II e III estão corretas.
C Somente a opção IV está correta.
D As opções I e II estão corretas.
Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido, podemos determinar o 
vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais 
tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de A 
para B:
A u = (1,4,4).
B u = (1,4,-2).
C u = (1,4,2).
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D u = (0,4,4).
Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na 
direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se 
desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a 
força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e 
a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u = 
(-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir: 
I- R = (-3,0,6). 
II- R = (-1,6,-6). 
III- R = (-1,-6,6). 
IV- R = (3,0,6). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo 
menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
A {(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}.
B {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
C {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
D {(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}.
O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de 
vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas 
principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação 
possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da 
transformação T(x,y) = (x-y, y-x). 
I- v = (1,1). 
II- v = (0,1). 
III- v = (-2,-2). 
IV- v = (1,0). 
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Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções II e III estão corretas.
B As opções II e IV estão corretas.
C As opções I e IV estão corretas.
D As opções I e III estão corretas.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
( ) u x v = (0,-4,3). 
( ) u x v = (-8,-1,2). 
( ) u x v = (8,1,-2). 
( ) u x v = (0,4,3). 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B F - V - F - F.
C F - F - V - F.
D V - F - F - F.
A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se 
também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento 
também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como 
sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
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para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V - F.
B F - V - V - F - V.
C V - V - F - F - V.
D V - F - V - V - F.
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