Se a seção transversal de um sólido for um anel

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Se a seção transversal de um sólido for um anel, encontramos o raio interno e externo a partir de um esboço e calculamos a área do anel subtraindo a área do disco interno da área do disco externo, ou seja, . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo  da região delimitada pelas curvas  e  e assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, precisamos identificar o intervalo no qual a região está definida e, para isso, basta tomarmos o que implica e. Como no intervalo, o raio interno é e o raio externo é, assim, a área de uma seção transversal do sólido é. Calculando o volume, temos
O volume de um sólido pode ser calculado usando a integral definida. Se o sólido  está definido entre os valores de  e  e  é a área de uma seção transversal deste, temos que seu volume é . Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo  da região sob a curva  sendo e assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, vamos determinar a área de uma seção transversal do sólido, que é dada por. Aplicando a fórmula para o volume, obtemos
Geometricamente, o valor de uma integral representa o valor da área da região limitada por uma função e o eixo  em um intervalo . Porém, também é possível usar o cálculo da integral para determinar a área determinada por duas funções. Para isso, basta calcular , sendo que  e os valores de  e  são as interseções dos gráficos de  e . Dessa forma, calcule a área da região limitada pelas funções  e  e assinale a alternativa correta.
O trabalho  realizado pela força , quando um objeto se move de um ponto  para um ponto  é dado pela integral . Vamos supor que uma partícula se move ao longo do eixo  sob a ação de uma força . Se a partícula se deslocar da origem até a posição de , calcule o trabalho realizado pela partícula nesse movimento e assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta. Como trabalho é definido pela integral da força aplicada em um intervalo de deslocamento, temos que a variação do deslocamento ocorre no intervalo. Ao substituirmos os valores fornecidos no enunciado na definição de trabalho, temos. Portanto, o trabalho é de.
Algumas funções são definidas como derivadas de outras. Por exemplo, a função custo marginal  é dada como a derivada da função custo total . Como as operações de derivação e integração são inversas, a integral do custo marginal  em um intervalo resulta na variação total do custo  nesse intervalo, isto é, . Se a função custo marginal é dada por , contabilizado em reais, obtenha a variação total do custo para e assinale a alternativa correta.
O trabalho  é uma grandeza física que existe quando uma força  é aplicada em um corpo. o que provocará seu deslocamento , a unidade de medida do trabalho é o Joule (J). O trabalho pode ser definido pela integral , em que  é o intervalo de deslocamento do corpo. Vamos supor que a força aplicada em um corpo seja , calcule o trabalho desse corpo quando ele é deslocado da posição  para a posição e assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta. Como trabalho é definido pela integral da força aplicada em um intervalo de deslocamento, basta substituir os valores dados na definição, assim,