Ponto Crítico de uma Função

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Ponto Crítico
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 09/04/2015 - Atualizado em 08/08/2017
Como encontrar o(s) ponto(s) crítico(s) de uma função?
Encontre um  ∈ R tal que ƒ ′() seja igual a zero. Se existir então (, ƒ ()) é um
ponto crítico.
Procure também algum ponto b que não pertença ao domínio de ƒ ′. Se existir
então (b, ƒ (b)) será outro ponto crítico.
Exemplo 1: Encontre o(s) ponto(s) crítico(s) da função ƒ () = 2.
Solução:
Primeiro derivamos a função.
ƒ ′() = 2.
Igualamos a derivada a zero e encontramos o valor de .
2 = 0
⇒  = 0
Assim um ponto crítico de ƒ está na coordenada (0, f(0)) = (0, 0).
Como o domínio de ƒ ′ é todo o R então a função só possui um ponto crítico.
Exemplo 2: Encontre os pontos críticos da função ƒ () = 4/3 + 41/3.
Solução:
A derivada de ƒ () é:
ƒ ′() =
4
3
�
1/3 +
1
3
p
2
�
Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação chega-se a  = −1.
1
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4
3
�
1/3 +
1
3
p
2
�
= 0
⇒ 1/3 +
1
3
p
2
= 0
⇒  = −1
Logo temos um ponto crítico em  = −1 ou (−1, ƒ (−1)) = (−1,−3).
Olhando a função ƒ ′ note que 0 /∈ Dm(f’), sendo assim, temos outro ponto crítico
em  = 0, ou no ponto (0, ƒ (0)) = (0,0).
Exemplo 3: Encontre os pontos críticos da função f(x) = sen()cos()
Solução:
Primeiro derivamos a função ƒ ().
ƒ ′() = sen′()cos() + sen()cos′()
⇒ ƒ ′() = cos()cos() + sen()(−sen())
⇒ ƒ ′() = cos2() − sen2()
Como cos2() + sen2() = 1 então −sen2() = cos2() − 1 e então:
ƒ ′() = cos2() + (−sen2())
⇒ ƒ ′() = cos2() + (cos2() − 1)
⇒ ƒ ′() = cos2() + cos2() − 1
⇒ ƒ ′() = 2 · cos2() − 1
Agora vejamos os valores de  para o qual ƒ ′() = 0.
ƒ ′() = 0
⇒ 2 · cos2() − 1 = 0
⇒ 2 · cos2() = 1
⇒ cos2() = 1/2
2
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(cos())2 = 0.5 ⇒ cos() = ±
p
2
2
⇒  =
1
2
π + kπ
Logo temos k pontos críticos. São eles:
�
1
2
π + 1π, ƒ
�
1
2
π + 1π
��
,
�
1
2
π + 2π, ƒ
�
1
2
π + 2π
��
, . . . ,
�
1
2
π + kπ, ƒ
�
1
2
π + kπ
��
.
Note que neste caso o domínio de ƒ ′ é todo o R, assim não há pontos críticos
além dos já citados.
3
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4
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