AOL 02 - CÁLCULO VETORIAL

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1. Pergunta 1
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Para se calcular integrais duplas de funções de duas variáveis é necessário conhecer as regiões de integração. Além das regiões retangulares, existem dois tipos de regiões específica, as do Tipo I, limitadas funcionalmente no eixo y, e as do Tipo II, limitadas funcionalmente no eixo x. 
Com seus conhecimentos acerca dessas regiões de integração, associe os gráficos a seguir com suas respectivas afirmativas:
1) 
2)
3)
4)
( ) Região retangular [0,6]x[0,10]
( ) Região do tipo I limitada em y por pelas funções g(x) = x e h(x)=x+2.
( ) Região retangular [3,6]x[5,10].
( ) Região do tipo I, limitada em y pelas funções m(x) = x² e n(x) = x.
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
3, 1, 4, 2.
2. 
3, 2, 4, 1.
3. 
2, 3, 4, 1.
4. 
4, 3, 1, 2.
5. 
1, 4, 3, 2.
2. Pergunta 2
1/1
Uma das utilidades principais de integrais triplas é o cálculo do volume de uma região no espaço. Uma vez definido o elemento de volume  , o volume de uma região R pode ser definido como .
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais triplas, analise as afirmativas a seguir:
I. A função de integração em  é .
II. A integral tripla  na região  é igual a .
III. O resultado da integral tripla  é igual a .
IV. O resultado da integral tripla  é igual a .
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I e II.
2. 
I, II e III.
3. 
I, III e IV.
4. 
II e IV.
5. 
II e III.
3. Pergunta 3
1/1
O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas para representar o espaço. Isso faz sentido pois, dado um problema, resolvê-lo por um método ou outro não o altera.
Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ou esféricas em alguns problemas porque:
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1. 
permite integrar em qualquer ordem as coordenadas.
2. 
reduz uma integral tripla em um produto de três integrais.
3. 
reduz o número de coordenadas e integrais.
4. 
só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica.
5. 
a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da integral mais simples nessas coordenadas.
4. Pergunta 4
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Uma função de duas variáveis associa um ponto (x, y) a um valor numérico, também chamado de escalar, z. Em um campo vetorial de duas variáveis, no entanto, cada ponto do espaço tem um outro conjunto de pontos associado, que é o que chamamos de vetor.
Com base nos seus conhecimentos acerca da representação gráfica de campos vetoriais, associe os itens a seguir com os seus campos vetoriais:
1) 
2)
3)
4)
( ) .
( ) .
( ) .
( ) .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
4, 2, 3, 1.
2. 
2, 4, 3, 1.
3. 
1, 4, 3, 2.
4. 
3, 4, 1, 2.
5. 
2, 3, 1, 4.
5. Pergunta 5
1/1
Quando se faz a integral em uma função de uma variável, é suficiente dois pontos para definir uma região de integração. Ao ir para duas variáveis por exemplo, para definir as regiões no plano xy utiliza-se curvas. Porém, há uma possibilidade que não existe no caso de uma variável, que é a integração de   ao longo de uma curva no plano xy. Isso se chama integral de linha.
 Acerca dos seus conhecimentos de integral de caminho, é correto afirmar que a parametrização é necessária porque:
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1. 
uma curva, mesmo que no plano xy, possui apenas um parâmetro livre e para se integrar é necessário escrever x e y em função desse parâmetro integrável.
2. 
não é possível derivar a função sem parametrizar.
3. 
representa o elemento de comprimento é .
4. 
a parametrização representa a variável dependente  ao longo da linha.
5. 
sem parametrizar a curva o resultado da integral seria diferente.
6. Pergunta 6
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As coordenadas cilíndricas auxiliam na resolução de certos tipos de integrais triplas e seu uso é recomendado quando se observa uma certa simetria na figura em um eixo específico. 
Figura – Representação de um sólido entre um plano e um paraboloide.
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos de integrais em coordenadas cilíndricas, é correto afirmar que o sólido pode ter seu volume calculado em integrais com coordenadas cilíndricas porque:
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1. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo y.
2. 
o eixo z varia de 0 a 10.
3. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo x.
4. 
há uma simetria da figura com relação ao eixo z.
5. 
o sólido é limitado por duas superfícies.
7. Pergunta 7
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Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de linha, analise as afirmativas a seguir:
I. A função  descreve um campo vetorial.
II. A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica.
III.  é uma representação de uma integral de linha.
IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II e III.
2. 
I, III e IV.
3. 
II, III e IV.
4. 
II e IV.
5. 
I e II.
8. Pergunta 8
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Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um sistema de coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os elementos de área ou volume, caso contrário, o resultado da integração pode ficar comprometido.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas, analise as afirmativas a seguir:
I. O elemento de área em coordenadas polares é .
II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é .
IV. Dada uma função  em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é escrita como .
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, III e IV.
2. 
I, II e IV.
3. 
II e III.
4. 
I e II.
5. 
II e IV.
9. Pergunta 9
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As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar volumes.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I.  é uma integral que mensura volume.
II.  , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume.
III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: .
IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II e IV.
2. 
I e II.
3. 
II e IV.
4. 
I, III e IV.
5. 
I, II e III.
10. Pergunta 10
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Sabendo como cada coordenada se relaciona entre cada sistema, basta fazer a substituição na função. Por exemplo,   em coordenadas polares é .
De acordo com essas informações e com os seus conhecimentos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função  em coordenadas cilíndricas é  .
II. ( ) A função  em coordenadas polares é .
III. ( ) A função  em coordenadas polares é  .
IV. ( ) A função  em coordenadas esféricas é  .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Mostrar opções de resposta 
1. 
V, F, V, F.
2. 
F, V, V, F.
3. 
V, V, F, F.
4. 
V, F, F, V.
5. 
F, F, V, V.