Derivação Implícita

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Derivação Implícita 
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 A maioria das funções estudadas até agora era descrita por uma 
 expressão da seguinte forma: 
)(xfy 
 Quando não é possível colocar uma equação F (x, y) = 0 na forma 
 y = f (x) para derivá-la da maneira usual, determina-se a derivada 
 dy/dx usando a técnica de Derivação Implícita. 
Contudo, existem várias equações como as do tipo: 
que definem uma relação implícita entre as variáveis x e y. 
09e025 3322  xyyxyx
 Este processo consiste em derivar os dois lados da equação em 
 relação a x e, em seguida, determinar y na equação resultante. 
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Sol: Sabe-se que o círculo é a combinação de duas funções deriváveis: 
 Exemplo 1: Determine o coeficiente angular da reta tangente ao 
 círculo no ponto (3, - 4). 2522  yx
No ponto desejado, tem-se que: 
2
2
2
1 25e25 xyxy 
Como o ponto (3, - 4) está no gráfico de y2, pode-se 
determinar o coeficiente angular como sendo: 
)2()25(
2
1 2122 xx
dx
dy
 
2
2
25 x
x
dx
dy


4
3
3
2 
xdx
dy
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Contudo, pode-se derivar implicitamente a equação do círculo: 
Finalmente: 
)25()()( 22
dx
d
y
dx
d
x
dx
d
 022 
dx
dy
yx
y
x
dx
dy
 No ponto desejado, tem-se: 
4
3

dx
dy
OBS1: A derivação implícita fornece uma equação que é válida para todos 
os pontos do círculo. 
OBS2: A expressão da derivada envolve as duas variáveis x e y. 
 Exemplo 2: Sendo , 
 calcule a derivada dy/dx. 
)(sen22 xyxy 
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 Exemplo 3: Determine a tangente e a normal à curva 
 no ponto (2, 4). 
0933  xyyx
Fólio de Descartes 
1. Derive os dois lados da equação em relação a x, considerando y como uma 
 função derivável de x. 
 Resumo do processo de derivação implícita 
2. Reuna os termos que contem dy/dx de um lado da equação. 
3. Determine dy/dx. 
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 Derivadas de Ordem Superior 
 A derivação implícita pode ser utilizada para encontrar derivadas de 
 ordem superior. 
 Exemplo 4: Sendo , determine no ponto (2, 2). 1633  yx 2
2
dx
yd
OBS1: A derivação implícita pode ser utilizada para demonstrar que a 
regra da potência abaixo é válida para quando n for um número racional. 
1 n
n
xn
dx
dx
 Exemplo 9: Determine dy/dx para a função abaixo: 
62/32/1  xyyx
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Resp: 


 




r
r
d
dr
b
y
xy
dx
yd
a
sen
cosec
.
)1(
.
2
3
22
2
2
 Exercício 1: Utilizando derivação implícita, determine as derivadas 
 indicadas abaixo: 
2
2
22 ,2
dx
yd
xxy 
b. 
a. 


d
dr
rr ,cotgcos 
 Exercício 2: Determine a tangente e a normal à curva abaixo 
 no ponto (-1, 0). 
0617236 22  yyxyx
6
7
6
7
:normalReta
7
6
7
6
:tangenteReta


xy
xy