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Análise Combinatória
Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Dirceu Zaleski Filho
Revisão Técnica
Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas
Revisão Textual:
Prof. Esp. Natalia Mendonça Conti
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• História da Análise Combinatória
• Princípio Fundamental da Contagem
• Fatorial
A proposta desta aula é informá-lo a respeito de dois conceitos da Análise Combinatória que 
estão ligados ao nosso cotidiano e são pré-requisitos para os estudos posteriores.
Ao findar esta aula, esperamos que você tenha entendido os conceitos:
• Princípio Fundamental da Contagem
• Fatorial
Para ajudá-lo, realize a leitura do texto indicado no Conteúdo Teórico, acompanhe e refaça os 
exemplos resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao 
final do conteúdo. Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo e alguns 
exercícios resolvidos.
Nesta aula iniciaremos o estudo de um ramo importante da 
Matemática, que é a Análise Combinatória. Situações em que 
ela está envolvida aparecem em muitos momentos do cotidiano.
Falaremos sobre a História da Análise Combinatória, sobre o 
Princípio Fundamental da Contagem e o Fatorial de um número.
Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
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Unidade: Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Contextualização
Os veículos são identificados no Brasil por 
placas emitidas pelos Departamentos Estaduais 
de Trânsito (DETRAN) de cada estado, as quais 
seguem uma sequência única para todo o país.
Essas placas são formadas por três letras e 
quatro algarismos, sendo que o número “0000” 
não é utilizado.
Quantas placas podem ser formadas?
A resposta a esse problema é um dos temas que a Análise combinatória irá estudar, como 
veremos no decorrer de nossos estudos.
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História da Análise Combinatória
A Análise combinatória é o ramo da Matemática que estuda a resolução de problemas em 
que, basicamente é necessário “escolher, arrumar” objetos de um conjunto. Ela então estuda 
coleções finitas de objetos que obedecem a determinados critérios visando a contagem dos 
grupos formados.
Segundo LACAZ NETO (1962), matemáticos e astrônomos hindus já se ocupavam de 
problemas ligados à Análise Combinatória.
No livro Siddanta S’iromani (Diadema de um Sistema Astronômico), do ano de 1150, 
Baskara Acarya mostra como se calcula o número das permutações e combinações.
Os matemáticos Luca Pacioli, Cardano e Tartaglia também estudaram questões ligadas à 
Análise Combinatória.
Como um corpo organizado na Matemática, sua origem vem do século XVII por meio das 
obras de Pascal (Traîte Du Triangle Aritmétique), Jacomo Bernoulli (Ars Conjectandi) e Moivre 
(Doctrine of Changes) entre outros.
Vale destacar que um dos grandes precursores desse ramo de estudo foi o matemático 
grego Arquimedes (287-212 a.C.), criador do quebra-cabeças Stomachion. Esse quebra-
cabeça é formado por um conjunto de 14 peças planas de várias formas poligonais com duas 
características fundamentais: 
• podem unir-se de modo a formar um quadrado;
• a área de cada peça é comensurável com a área do quadrado anterior, isto significa 
dizer que o quociente entre a área de cada peça e a área do quadrado total é um 
número racional.
 Esse jogo é construído a partir de um quadrado 
de lado igual a 12 unidades. O uso de um papel 
quadriculado facilita a construção. Marcam-se em 
seguida os pontos indicados na figura e unem-
se esses pontos. São obtidas 14 figuras que 
constituem o Stomachion.
Arquimedes tentou descobrir quantos 
quadrados poderiam ser construídos utilizando 
todas essas 14 peças e na época não conseguiu. 
Hoje se sabe, com a ajuda de computadores, que 
o número de possibilidades é de 17.152.
A Análise combinatória ganha reconhecimento 
com a publicação de “Análise Combinatória” 
de Percy Alexander MacMahon em 1915 e foi 
posteriormente sistematizada por Gian Carlo 
Rota nos anos 1960.
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Unidade: Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Princípio Fundamental da Contagem
Como já foi comentado anteriormente, a Análise combinatória é a parte da Matemática que 
se preocupa com a resolução de problemas nos quais é necessário “escolher e arrumar” os 
objetos de um conjunto.
Veja:
Joana deve escolher entre as roupas abaixo uma blusa e uma saia para ir a uma festa. De 
quantas maneiras ela pode fazer esta escolha.
T
hinkstock/G
etty Im
ages
Observe que ela deverá fazer a escolha entre as 4 blusas e três saias disponíveis. Antes de 
continuar pense como ela poderá fazer isso e quantas são essas maneiras.
Você encontrou 12 maneiras? Menos de 12? Mais de 12?
Ela poderia escolher o conjunto saia e blusa assim. Ela possui 4 blusas que poderiam ser 
utilizadas com as três saias assim:
1. Blusa preta e saia cinza
2. Blusa preta e saia vermelha
3. Blusa preta e saia bege
4. Blusa roxa e saia cinza
5. Blusa roxa e saia vermelha
6. Blusa roxa e saia bege
7. Blusa rosa e saia cinza
8. Blusa rosa e saia vermelha
9. Blusa rosa e saia bege
10. Blusa verde e saia cinza
11. Blusa verde saia vermelha
12. Blusa verde e saia bege
9
Cada uma das 4 blusas poderá ser vestida com 3 saias diferentes o que dará um total de 12 
maneiras diferentes para Joana ir vestida à festa.
Será que já é possível descobrir um procedimento geral para resolver problemas deste tipo? 
Mas vamos a outro problema.
O “segredo” de uma mala, código dos números que travam a fechadura, 
é formado por dois discos giratórios contendo os algarismos de 0 a 9 em 
cada um deles. Quantas possibilidades de escolha existem para determinar 
esse “segredo”.
Antes de continuar sua leitura pense em quantas são essas possibilidades.
Então vamos lá!
Cada disco é formado pelos algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, assim o número 0 do disco de 
cima da figura pode formar os seguintes códigos com os números do disco de baixo da figura: 
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09. Temos as dez primeiras possibilidades de formação de códigos. 
Na sequência fazemos o mesmo para os números dos códigos iniciados por:
1. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. (dez códigos)
2. 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29. (dez códigos)
3. 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39. (dez códigos)
4. 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49. (dez códigos)
5. 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. (dez códigos)
6. 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69. (dez códigos)
7. 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79. (dez códigos)
8. 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89. (dez códigos)
9. 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99. (dez códigos)
O que totaliza 100 possibilidades de códigos “segredo” para se travar a fechadura da mala.
No primeiro exemplo tínhamos 4 blusas e três saias e 12 foram as possibilidades de Joana 
escolher como Joana iria vestida á festa. No segundo exemplos tínhamos 10 possibilidades em 
cada um dos dois discos de escolher um algarismo e encontramos um total de 100 códigos. 
Qual seria a operação matemática que deveria ser feita entre os números 3 e 4 para se obter 12 
e entre os números 10 e 10 para se obter 100?
Isso mesmo, a multiplicação!
3 x 4 =12 maneiras de serem escolhidas blusa e saia
10 x 10 =100 maneiras de serem escolhidos os códigos para a mala.
Podemos então definir o princípio que é utilizado para a resolução de problemas desse tipo.
T
hi
nk
st
oc
k/
G
et
ty
 Im
ag
es
10
Unidade: Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Se dois determinados acontecimentos puderem ocorrer de m e n modos 
distintos, independentes um do outro, a sucessão dos dois acontecimentos 
poderá ser obtida de m.n maneiras distintas.
Observe que no problema em que Joana deve escolher entre 4 blusas e três saias tem-se:
 » m= 4 e n= 3, portanto m.n = 4.3 = 12.
No problema do código para travar a fechadura da mala com dez algarismos em cada disco tem-se:
 » m= 10 e n=10, portanto m.n = 10.10 = 100.
Exemplos:
1) 11 caminhos conduzem ao topo de uma montanha. De quantas maneiras uma pessoa pode 
subir e descer por caminhosdiferentes?
Resolução:
Para subir temos 11 caminhos e como a pessoa deve descer por caminhos diferentes ela terá 
10 caminhos para descer.
Lembrando que pelo Princípio Fundamental da Contagem a resposta será dada pelo produto 
11.10. Assim:
 · Para subir = 11 caminhos = m
 · Para descer = 10 caminhos = n
 · m.n = 11.10 = 110
 · Resposta: Poderá subir e descer de 110 maneiras.
2) Uma companhia de móveis tem 10 desenhos de mesas e 5 desenhos de cadeiras. Quantos 
pares de desenhos de mesas e cadeiras a companhia pode fazer?
Resolução:
Estão disponíveis 10 desenhos para as mesas e 5 desenhos para as cadeiras, portanto m 
=10 e n= 5. 
 · O produto m.n será igual a 10.5 = 50
 · Resposta: A companhia pode fazer 50 pares de desenhos.
3) Dois dados de seis faces cada são jogados, um imediatamente após o outro. De quantos 
modos pode ocorrer número par no primeiro dado e número ímpar no segundo.
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Resolução:
 · Como os dados possuem 6 faces, podem ocorrer em cada lançamento os números 
1,2,3,4,5,6.
 · Para o primeiro dado deve ocorrer um número par, ou seja, 2,4,6.
 ·
Número par é todo número divisível por 2, isto é a divisão possui resto zero.
 · Para o segundo dado deve ocorrer número primo, ou seja 2,3,5
 · Número natural primo é o número que têm apenas dois divisores diferentes: 
o 1 e ele mesmo.
Os números naturais primos menores que 20 são {2,3,5,7,11,13,17,19}.
Fazendo:
 · m = 3 (ocorrer número par )
 · n = 3 (ocorrer número ímpar)
 · Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos m.n = 3.3 = 9
4) Um restaurante possui um cardápio com 3 tipos de salada diferentes, 4 tipos de carne, 5 de 
bebidas e 3 sobremesas. De quantas maneiras uma pessoa pode servir-se escolhendo uma 
salada, um tipo de carne, uma bebida e uma sobremesa?
Resolução:
Neste problema devemos perceber que são quatro as condições impostas. Escolher entre 3 
tipos de salada, 4 de carne, 5 de bebida e 3 de sobremesa. Então teremos:
 · m= 3 (tipos de salada)
 · n= 4 (tipos de carne)
 · p= 5 (tipos de bebida)
 · q= 3 (tipos de sobremesa)
 · Pelo Princípio Fundamental da Contagem o número de escolhas será dado por:
 · m.n.p.q = 3.4.5.3 = 180 maneiras de escolha.
 · Resposta: A pessoa pode servir-se de 180 maneiras diferentes.
5) Uma prova contém 10 testes do tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas maneiras uma pessoa 
poderá responder os dez testes?
Resolução:
A resposta de cada teste poderá ser Verdadeiro ou Falso, logo cada teste tem duas maneiras 
de ser respondido.
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Unidade: Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Teste 1 pode ser verdadeiro ou falso, então a resposta pertence ao conjunto {V,F}.
Teste 2 pode ser verdadeiro ou falso, então a resposta pertence ao conjunto {V,F}.
Teste 3: {V,F}.
Teste 4: {V,F}.
Teste 5: {V,F}. 
 .
 .
 . 
 Teste 9: {V,F}. 
 Teste 10: {V,F}. 
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências como a vista acima 
é dado por 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 210 = 1024.
Resposta: São 1024 maneiras de responder a prova.
6) Quantos números de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal de numeração?
Resolução:
Os números 21 e 52 possuem dois algarismos e 01 e 03 por começarem pelo “0”’(zero) não 
são considerados números de dois algarismos. Com isso devemos prestar a atenção de que o 
zero não pode estar na primeira posição.
O problema não pede que os algarismos sejam diferentes. Então temos 9 algarismos para a 
primeira posição que é a dos algarismos das dezenas e 10 para a segunda posição que é a dos 
algarismos das unidades.
P1 - O zero não entra na posição 1. - P1
P2 - Todos os algarismos entram na posição 2. - P2
 · Temos então 9 possibilidades para P1 e 10 possibilidades para P2.
 · Temos então pelo Princípio Fundamental da Contagem m = 9 e n = 10 e portanto a 
quantidade de números é 9.10 =90.
 · Resposta: Existem 90 números de dois algarismos no sistema decimal de numeração.
Atividades Práticas
1) Um edifício possui três portas de entrada que dão para um saguão no qual existem 5 
elevadores. Um visitante deve subir ao 100º andar utilizando-se de um dos elevadores. De 
quantas maneiras poderá fazê-lo?
Resposta: 15 maneiras.
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2) Antes de começar uma partida de futebol cada jogador de um time cumprimenta os jogadores 
da equipe adversária? Quantos apertos de mão são dados?
Resposta: 121 apertos de mão.
3) Cinco duplas disputam um torneio de vôlei de praia. Quantas são as possibilidades de 
classificação para os três primeiros lugares?
Resposta: 60 possibilidades
4) Existem 4 estradas de ferro e 3 rodovias entre as cidades as cidades A e B. Quantos percursos 
diferentes podem ser usados para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia 
e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?
Resposta: 24 percursos diferentes.
5) Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados no sistemal decimal?
Resposta: 81 números
6) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 7 cadeiras?
Resposta: 210 modos
RESOLUÇÃO:
1. Resposta: 15 maneiras. (3.5 = 15)
2. Resposta: 121 apertos de mão. (11 . 11 = 121)
3. Resposta: 60 possibilidades ( 5.4.3 = 60)
4. Resposta: 24 percursos diferentes. (4.3.2 = 24)
5. Resposta: 81 números (9.9 = 81)
6. Resposta: 210 modos ( 3.7 = 210)
Fatorial
Fatorial é um produto de números muito utilizado na Análise Combinatória.
Veja:
Para fazer um sanduíche pode-se escolher entre três tipos de pães, dois de frios e um 
condimento. Quantos tipos de sanduíches podem ser feitos escolhendo-se um tipo de pão, um 
de frios e o condimento.
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Unidade: Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem resolvemos esse problema 
assim:
 · Três tipos de pães, portanto, m = 3;
 · Dois tipos de frios, portanto, n = 2;
 · Um tipo de condimento, p = 1.
 · Basta então que façamos a multiplicação m.n.p = 3.2.1 = 6. 
Nas condições do problema podem ser feitos 6 tipos sanduíches.
Observe o produto 3.2.1 = 6. Usando a notação de Fatorial esse produto é escrito assim 
3.2.1 = 3! Que se lê “fatorial de três” ou “três fatorial”.
Se tivermos:
 · 1.2.3.4, este produto será indicado por 4! (quatro fatorial) e então 4! =4.3.2.1 = 24.
 · 1.2.3.4.5, este produto será indicado por 5! (cinco fatorial), então 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
 · Podemos então definir Fatorial.
Considere n ∈ N (n é um número natural). Fatorial de n ou n fatorial é indicado por n! e 
definido assim:
 ·
n = 0 0! = 1
n = 1 1! = 1
n ≥ 2 n! = n(n-1)(n-2)...3.2.1
Você deve estar pensando a razão que levou a definição de 0! = 1. Mais adiante justificaremos 
o fato de 0! ser igual a 1. 
Veja:
 · 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
 · “Seis fatorial” ou “fatorial de 6” é igual ao produto dos números naturais de 6 até 1.
 · 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
 · “Sete fatorial” ou “fatorial de 7” é igual ao produto dos números naturais de 7 até 1.
 · O número 6! pode ser escrito assim:
 · 6! = 6.5!
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E o número 7! Pode ser escrito assim:
 · 7! = 7.6!
 · Pense porque?
 · É por que 6.5! = 6.5.4.3.2.1 = 120 e 7.6! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
 · Então podemos escrever que:
 · n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1
 · O que de modo geral é escrito por
 · n! = n(n-1)!
Veja:
 · 8! = 8.7! lembrando que 7! = 7.6.5.4.3.2.1.
 · (n-1)! = (n-1) (n-2)! Lembrando que (n-2)! = (n-2) (n-3) (n-4)... 3. 2. 1.
Exemplos:
1) Calcule o valor da expressão abaixo:
a) 3! + 4!
Resolução:
 · 3! + 4! = 3.2.1 + 4.3.2.1 = 6 + 24 = 30.
2) Calcular o valor de 10!
9!
Resolução:
 · 10!
9!
 = 10.9!
9!
 = 10
3) Simplifique a expressão 7!9!
6!8!
Resolução:
 · 7!9!
6!8!
 = 7.6!9.8!
6!8!
 = 7.9
1
 = 7.9 = 63.
4) Simplifique a expressão (n+1)!
n!
Resolução:
 · (n+1)!
n!
 = (n+1)!
n!
 = n+1, pois (n+1)! =(n+1)(n+1-1)! = (n+1)n!
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Unidade: Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Atividades Práticas
1) Calcule o valor da expressão 6! – 5! + 2!.
 · Resposta: 602.
2) Calcule (2!)3 – (3!)2
 · Resposta: -28
3) Qual o valor de 9!
7!
Resposta: 72
4) Simplifiquea expressão 6!4!
5!2!
Resposta: 72
5) Simplifique a expressão (0!) + 2!
2.(0!)
Resposta: 3/2
6) Calcule (1!+0!)5
Resposta: 32
Resoluções das Atividades Práticas
Princípio Fundamental da contagem
1) O edifício possui três portas de entrada e 5 elevadores, portanto m = 3 e n = 5 e pelo 
Princípio Fundamental da Contagem m.n = 3.5 = 15 de se chegar ao décimo andar
Resposta: 15 maneiras.
2) Cada time de futebol possui 11 jogadores. Temos então os 11 jogadores de um time 
cumprimentado os 11 jogadores de outro time. Podemos escrever que m =11 e n = 11 e 
m.n = 11.11 = 121.
Resposta: 121 apertos de mão.
3) São 5 duplas para ocupar 3 lugares. O primeiro lugar pode ser ocupado por qualquer uma 
delas, o segundo lugar pode ser ocupado por 4 equipes, pois uma já foi campeã, o terceiro 
lugar por 3 equipes, pois, uma já foi campeã e a outra foi vice-campeã. Temos então m = 5, 
n = 4 e p = 3. Pelo Princípio Fundamental da Contagem
Temos:
 · m.n.p = 5.4.3 = 6
 · Resposta: 60 possibilidades
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4) A solução desse problema deve ser dividida em duas partes
a) Ida da cidade A para a cidade B
 · 4 estradas de ferro, portanto m = 4;
 · 3 rodovias, portanto n = 3.
 · Pelo Principio Fundamental da Contagem, temos m.n = 4.3 = 12
b) Volta da cidade B para a cidade A
 · 3 rodovias, portanto m = 3.
 · 4 estradas de ferro, portanto n = 4;
 · Pelo Principio Fundamental da Contagem, temos m.n = 3.4 = 12
 · Somando-se os percursos da cidade A para a cidade B e da B para a A, temos:
 · 12+12 = 24
 · Resposta: 24 percursos diferentes.
5)Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal?
Como o problema pede que os algarismos sejam diferentes. Então temos 9 algarismos para 
a primeira posição que é a dos algarismos das dezenas (o zero não pode ocupar essa casa) e 
9 para a segunda posição que é a dos algarismos das unidades, pois, o algarismo que ocupa a 
posição das dezenas não poderá ocupar a posição das unidades.
P1 - O zero não entra na posição 1. - P1
P2 - Todos os algarismos entram na posição 2. - P2
Temos então 9 possibilidades para P1 e 9 possibilidades para P2.
Temos então pelo Princípio Fundamental da Contagem m = 9 e n = 9 e, portanto, a 
quantidade de números é 9.9 =81.
Resposta: Existem 81 números de dois algarismos no sistema decimal de numeração.
Resposta: 81 números
6) 3 pessoas podem sentar-se em 7 cadeiras.
 · A primeira pessoa pode sentar-se em um dos 7 lugares, portanto, m = 7;
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Unidade: Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
 · A segunda pessoa pode sentar-se em um dos 6 lugares restantes, portanto, n = 6;
 · A terceira pessoa pode sentar-se em um dos 5 lugares restantes, portanto, p = 5.
 · Logo m.n.p = 7.6.5 = 210.
 · Resposta: 210 modos
Fatorial
1) 6! – 5! + 2! = 6.5.4.3.2.1 – 5.4.3.2.1 + 2.1 = 720 – 120 + 2 = 602
 · Resposta: 602.
2) (2!)3 – (3!)2 = ( 2.1)3 – (3.2.1)2 = 23 - 62 = 8 – 36 = -28
 · Resposta: -28
3) 9!
7!
 = 9.8.7!
7!
 = 9.8 = 72
Resposta: 72
4) 6!4!
5!2!
 = 
6.5!4.3.2!
5!2!
 = 6.4.3 = 72
Resposta: 72
5) 
(0!)2 + 20!
2. (0!) = 
(1)2 + 21
2. (1)
 =
1+ 2
2 = 
3
2
Resposta: 3/2
6)(1!+0!)5 = (1+1)5 = 25 = 32
Resposta: 32
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Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre esta unidade, consulte os sites a seguir:
Site Matemática Didática:
 » http://www.matematicadidatica.com.br/principiofundamentalcontagem.aspx
 » http://www.matematicadidatica.com.br/fatorial.aspx
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Unidade: Princípio Fundamental da Contagem e Fatorial
Referências
BACHX, Arago de Carvalho et ali. Prelúdio á Análise Combinatória. São Paulo: Editora 
Nacional, 1975
HAZZAN, Samuel. Combinatória e Probabilidade. Coleção Fundamentos de Matemática 
Elementar. São Paulo: Atual, 1992. 
LACAZ NETTO, Francisco Antonio. Lições de Análise Combinatória. São Paulo: Nobel, 1962
NOGUEIRA, Rio. Análise Combinatória. São Paulo: Atlas, 1975.
TROTTA, Fernando. Análise Combinatória, Probabilidades e Estatística. São Paulo: 
Scipione, 1988.
21
Anotações
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