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3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. FICHA DE APOIO Cd: Edson Samuel Manhoso 1. Leis de Composição Internas 1.2.Definição 1. (Operação sobre E ou lei de composição interna sobre E). Definição: Sendo um conjunto não vazio toda a aplicação Recebe o nome operação sobre E (ou em E) ou lei de composição interna sobre E (ou em E). Nas considerações de carácter geral que faremos a seguir neste parágrafo, uma operação f sobre E associa a cada par de um elemento de E que será simbolizado por (lê-se estrela ’) Assim é uma forma de indicar Diremos também que E é um conjunto munido da operação *. O elemento x*y é chamado composto de x e y pela operação . Os elementos do composto x e y são chamados termos do composto . Os termos x e y do composto x*y são chamados, respectivamente, primeiro e segundo termos ou, então, termo do esquerdo e termo do direito. Outras notações poderão ser usadas para indicar uma operação sobre F. a) Notação aditiva Nesse caso, o símbolo da operação é +, a operação é chamada adição, o com posto é chamado sorna, e os termos x e y são as parcelas b) Notação multiplicativa 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. Nesse caso, o símbolo da operação é ou a simples justaposição, a opera ção é chamada multiplicação, o composto ou é chamado produto, e os ter mos x e y são os factores. c) Outros símbolos utilizados para operações genéricas são ⨂ 2. Propriedades 3.1.Propriedade associativa Como é do conhecimento geral que a propriedade associativa é aquela em que os termos de uma operação podem ser agrupados indistintamente, obtendo sempre o mesmo resultado. É regra que se cumpre na adição e multiplicação. Diz-se que goza da propriedade associativa quando satisfaz o seguinte: Quais que sejam Exemplos 1: 1) As adições em ou são operações que gozam da propriedade associativa. (Costuma-se dizer que são operações associativas) 2) As multiplicações em ou são operações associativas 3) A adição em Conjunto das matrizes do tipo m x n com elementos reais, é operação associativa. 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 4) A multiplicação em ) é operação associativa. 5) A composição de funções de em é operação associativa. 1) A potenciação em não é operação associativa, pois: = 2) A divisão em R* não é operação associativa, pois: Observação O fato de urna operação ser associativa possibilita indicar o composto de mais de dois elementos sem necessidade de usar os parênteses, uma vez que qualquer associação entre os elementos presentes conduz ao mesmo resultado. Por exemplo: Se uma operação não é associativa, temos a obrigação de usar parênteses para indicar como deve ser calculado um composto de três ou mais elementos, pois, caso contrário, deixamos o composto sem significado. Por exemplo, em Não tem significado, pois: 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. Exemplo: Verifique se é associativa Resposta: 1º Primeiro vai se substituir , teremos 2º Olhando para condição teremos Logo não é associativa. 3.2.Propriedade comutativa Como é do nosso conhecimento é aquela que mesmo alterando os factores o resultado não altera, ou seja continua o mesmo. Diz-se que goza da propriedade comutativa quando satisfaz o seguinte: Quais que sejam . Exemplos 1: 1) As adições em ou são operações que gozam da propriedade comutativa. (Costuma-se dizer que são operações comutativas.) 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 2) As multiplicações em ou são operações comutativas. 2) A adição em é operação comutativa. Exemplo 2: Verifique se em ; é comutativa Resposta: 4. Logo é comutativa, porque goza da propriedade ou seja satisfaz a condição para ser comutativa. 3.3. Propriedade (existência de elemento neutro) Dizemos que um elemento neutro é qualquer elemento cuja utilização numa operação binária bem definida não causa alteração de identidade no outro elemento com qual entra em operação. Definição: Dizemos que e é um elemento neutro para operação * quando Exemplo 1: 1) O elemento neutro das adições em ou é o número O, pois para qualquer número x. 2) O elemento neutro das multiplicações em ou é o número 1, pois para qualquer número K. 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 3) O elemento neutro da adição em matriz nula do tipo ). pois ,quaIquer que seja . 4) O elemento neutro da multiplicação em é In,., (matriz identidade do tipo ), pois In n qualquer que seja . 5) 0 elemento neutro da composição em É a função i (função idêntica em ), pois ‘ , qualquer que seja Proposição: Se uma operação sobre tem um elemento neutro, * E então ele é único Demonstração: Suponhamos que sejam elementos neutros da operação *. Como e é elemento neutro e E. então . Por raciocínio análogo, chega-se à conclusão de que . De onde. 3.4. Elementos simetrizáveis Definição: Seja * uma operação sobre E que tem elemento neutro a Dizemos que é um elemento simetrizáve! Para essa operação se existir tal que ’ O elemento é chamado simétrico de para a operação *. Quando a operação é uma adição, o simétrico de x também é chamado oposto de x e indicado por — . Quando a operação è uma multiplicação, o simétrico de também é chamada inverso de e indicado por .Exemplos: 1) é um elemento simetrizável para a adição em , e seu simétrico (ou oposto) é pois: 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 2) 3 é um elemento simetrizável para a multiplicação em , e seu simétrico (ou inverso) , Pois: O não é simetrizável para a mesma operação, pois não há elemento tal que: 3) Existem apenas dois elementos simetrizáveis para a multiplicação em : o e o — , que são iguais aos seus respectivos inversos. Já o não é simetrizável para a multiplicação em , uma vez que não existe tal que 4) ( )é simetrizável para a adição em , e seu simétrico é ( ) pois: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. ( ) não é simetrizável para a multiplicação em pois, supondo que sua inversa pudesse ser ( ) teríamos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { E esse sistema não tem solução. Proposição : Seja * uma operação sobre E que é associativa e tem elemento to neutro e. a) Se um elemento é simetrizável, então o simétrico de x é único. b) Se é sinietrizável, então seu simétrico também é e c) Se são simetrizáveis, então é simetrizável e 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. Demonstração: a) Suponhamos que e sejam simétricos de Temos : b) Sendo o simétrico de temos: E pela definição , x é o simétrico de x ou seja, x = (x’)’. c) Para provarmos que ’ é o simétrico de devemos mostrar que: De fato, temos: ] ] (2) Analogamente. # Por indução, pode-se generalizar a propriedade C): se , São elementos de E, então ( )’= , Notação: conjunto dos simetrizáveis Se * operação sobre E com elemento neutro e, indica-se por (E) o conjunto dos elementos simetrizáveis de E para a operação *. (E)={ | } Exemplos: { } 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. { } { | } { } Podemos notar que , Pois necessariamente e uma vez que 3.5. Elementos regulares Definição: Seja * uma operação sobre E Dizemos que um elemento a E é regular (ou simplificável ou que cumpre a lei do cancelamento) à esquerda em relação à operação * se, para quaisquer tais que , vale Dizemos que um elemento a E é regular (ou simplificável) à direita relativamente à operação * se, para quaisquer tais que , vale Se a E é um elemento regular à esquerda e à direita para a operação * dizemos simplesmente que o é regular para essa operação. Exemplos: 1) é regular para a adição em N, pois: Quaisquer que sejam 2) 3 é regular para a multiplicação em . pois: Quaisquer que sejam 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. 3) 0 Não é regular para a multiplicação em , pois: 4.) ( ) é regular para a adição cm , pois: Se ( ) ( ) ( ) ( ) então ( )=( ) e dai de onde ( ) ( ) . Proposição : Se a operação * sobre E é associativa, tem elemento neutro e e um elemento simetrizável, então a é regular. Demonstrações Sejam elementos quaisquer de E tais quo e Da primeira dessas hipóteses, segue que Daí, considerando-se a associatividade, , ou seja, De onde, . Analogamente se prova que, se então . Portanto, a é regular. Notação: conjunto dos regulares Sendo * uma operação sobre E, indica-se com o conjunto dos elementos regulares de E para a operação *. Exemplo : ( ) 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. Podemos notar que, se * tem elemento neutro , então e, portanto, Podemos notar também que, se * é associativa e tem elemento neutro então Conforme mostrou a proposição. 3.6. Propriedade distributiva Como é do nosso conhecimento que a distribuitividade de duas operações binárias, em que a ordem em que as são efectuadas pode, de certa forma, ser trocada. Definição: Sejam * e duas operações sobre E Dizemos que é distributiva à esquerda relativamente a * se: Quaisquer que sejam Dizemos que é distributivo à direita relativamente a * se; Quaisquer que sejam Quando A é distributiva à esquerda e à direita de 1c dizemos simplesmente que A é distributiva relativamente a . Exemplos: 1) A multiplicação em é distributiva em relação à adição em , pois: Quaisquer que sejam . 2) A multiplicação em é distributiva em relação à adição em pois; 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. Quaisquer que sejam . 3) Em , a potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação, Quaisquer que sejam . Entretanto, a potenciação em não ê distributiva à esquerda em relação à multiplicação, pois, por exemplo: 5. Parte fechada para uma operação Definição. Dizemos que A é uma parte de E, fechada para a operação * ou, simplesmente, que A é fechado para a operação *, se, e somente se, vale o seguinte: Neste caso, a operação *, definida em E, também é uma operação definida em A. Essa operação, definida em A , é chamada restrição de * ao conjunto A . Exemplo 1. O subconjunto A = {-1, 0, 1}, do conjunto Z, dos números inteiros, é fechado para a multiplicação de números inteiros. Exemplo 2. O subconjunto E = {1, i, -1, -i}, do conjunto C, dos números complexos, é fechado para a multiplicação de números complexos. Exemplo3 : o conjunto é uma parte fechada para adição e a multiplicação em pois : e 3. Referencias Bibliográficas 1. Domingues, H., & Iezzi, G.(1979) Álgebra Moderna. São Paulo, Actual. 2. Sá, Pedro. (2011) Universidade do estado do Pará departamento de matemática, estatística e informática licenciatura em matemática 3. Vasconcelos, Cleiton . (2019) Batista, Estruturas algébricas 1º ed. Quaisquer que sejam Exemplo 4: o conjunto é uma parte fechada para de para a adição e a multiplicação em pois e Quaisquer que sejam Exemplo 5: O conjunto é uma parte fechada de para operação de multiplicação em , pois: Quaisquer que sejam
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