Atividade AOL 4 - Cálculo Integral - D 20231 E

Prévia do material em texto

Módulo E - 154952 . 7 - Cálculo Integral - D.20231.E 
 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras 
integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir 
os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), 
sec(x) e tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de 
substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e 
integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos: 
1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) (x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 3, 1, 4. 
2. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
3. 
1, 4, 3, 2. 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
2, 1, 3, 4. 
2. Pergunta 2 
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio 
delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. 
Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de 
integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um 
deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por 
partes, analise as afirmativas a seguir: 
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções. 
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das 
derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade. 
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv 
em outra em termos de du e um termo independente de integral. 
IV. A função cos(x) é integrável por esse método. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. Incorreta: 
I, II e IV. 
2. 
I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
II e IV. 
4. 
II e III. 
5. 
I, III e IV. 
3. Pergunta 3 
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e 
comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, 
especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a 
determinação de uma área de interesse. 
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola: 
 
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de 
integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um 
triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2. 
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2. 
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes 
integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, F, V, V. 
2. 
V, F, F, V. 
3. 
V, F, V, F. 
4. 
F, V, V, F. 
Resposta correta 
5. 
F, V, F, F. 
4. Pergunta 4 
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução 
analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar 
algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em 
integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de 
identidades trigonométricas. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus 
conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses 
tipos de funções, é correto afirmar que: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais 
2. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão 
trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 
3pi/2]. 
3. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w). 
Resposta correta 
4. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão 
trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2]. 
5. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = 
asen(w). 
5. Pergunta 5 
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz 
respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que 
aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em 
duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se 
derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração 
por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + 
C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv 
= cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por 
partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada 
a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado 
para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I. 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I. 
Resposta correta 
4. Incorreta: 
As asserções I e II são proposições falsas. 
5. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
6. Pergunta 6 
As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma 
integral indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a 
primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, dependendo do arranjo algébrico 
dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, como o método da 
substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida 
pelo método de integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da 
integração por partes, por se tratar do produto de duas funções. 
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C. 
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente 
igual a 6,28. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, V, V. 
Resposta correta 
2. 
F, V, V, V. 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
V, F, F, V. 
7. Pergunta 7 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de 
integração, associe os itens a seguir com os significados descritos: 
1) Integração por partes. 
2) Integração por substituição trigonométrica. 
3) Integração por frações parciais. 
4) Integração por substituição u du. 
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de 
integrais. 
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções. 
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicaisnos integrandos. 
( ) Utilizado para integração de funções racionais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
4, 1, 2, 3. 
Resposta correta 
2. 
2, 1, 3, 4. 
3. 
1, 2, 3, 4. 
4. 
3, 4, 2, 1. 
5. 
1, 2, 4, 3. 
8. Pergunta 8 
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e 
complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de 
funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada 
do integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para 
resolução desse método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
2. 
V, V, V, F. 
3. Incorreta: 
F, F, V, V. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
V, F, F, F. 
9. Pergunta 9 
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral 
pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar 
se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os 
métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações 
parciais, integrais por partes e afins. 
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas 
a seguir: 
I. pode ser resolvida pelo método de frações parciais. 
II. pode ser resolvida pelo método de substituição u du. 
III. é solúvel pelo método das substituições trigonométricas. 
IV. pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
III e IV. 
2. 
I, II e III. 
3. 
II e IV. 
4. 
II, III e IV. 
5. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
10. Pergunta 10 
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes 
de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, 
sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o 
método conhecido como frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as 
etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a 
utilização desse método de integração: 
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos 
dessas integrais. 
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( ) Substituir os valores nas integrais. 
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
2, 1, 3, 4, 5. 
2. 
2, 4, 1, 5, 3. 
3. 
5, 2, 3, 4, 1. 
4. 
3, 4, 2, 1, 5 
5. 
5, 1, 4, 2, 3. 
Resposta correta