problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (627)

Prévia do material em texto

Caṕıtulo 16
Polinomios en una variable
16.1. División eucĺıdea de polinomios
1. Efectuar la división de A(x) = x4+6x3+10x2+3x−6 entre B(x) = x2+3x.
Deducir de ello la descomposición de A(x) en producto de dos trinomios de
segundo grado.
2. En R[x] hallar los siguientes restos
a) De la división de p(x) = x1237 − 1 entre q(x) = x2 − 1.
b) De la división de p(x) = x1237 − 1 entre q(x) = (x+ 1)2.
3. En R[x] hallar los siguientes restos
a) De la división de p(x) = (x+
√
3)16 entre q(x) = x2 + 1.
b) De la división de (cosh a+ x senh a)n entre x2 − 1.
4. Sean a y b números reales distintos y p(x) un polinomio real. Determinar
el resto de la división de p(x) entre (x−a)(x−b) en función de p(a) y de p(b).
5. (a) Usando el algoritmo de Euclides, hallar el máximo común divisor
mónico D(x) de los polinomios de Q[x] :
p(x) = x4 + x3 + 2x2 + x+ 1, q(x) = x3 − 2x2 − 2x− 3.
(b) Encontrar polinomios α(x), β(x) en Q[x] tales que
α(x) p(x) + β(x) q(x) = D(x).
Solución. 1. Efectuando la división obtenemos
A(x) = B(x)(x2 + 3x+ 1)− 6.
613
	Polinomios en una variable
	División euclídea de polinomios