Aula 3 - linear - fator integrante

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Uma equação diferencial de primeira ordem da forma:
EQUAÇÕES LINEARES
é chamada de equação linear na variável dependente y.
( ) ( ) ( )1 0
dya x a x y g x
dx
+ =
Dividindo ambos os lados por a1(x), temos a forma padrão:
( ) ( ) .1dy P x y f x eq
dx
+ =
Procuramos uma solução da equação na forma padrão em um
intervalo no qual as funções P e f sejam contínuas.
( ) ( )' .1y P x y f x eq+ =
Multiplica-se ambos os lados por: )(xµ
( ) ( ) ( ) ( )' ( ) .2x y x P x y x f x eqµ µ µ+ =
Assumindo: ( ) ( ) ( )' .3x P x x eqµ µ=
( ) ( ) ( ) ( )' .4dyx x y x f x eq
dx
µ µ µ+ =Tem-se:
Pela regra do produto, (4) torna-se:
( ) ( ) ( ) ( )' .5x y x x f x eqµ µ=  
 échamado de fator integrante( )xµ
( ) ( ) ( ) ( ) 1x y x x f x dx cµ µ= + →∫ 1
( ) ( )
( ) .6
( )
x f x dx c
y x eq
x
µ
µ
+
= ∫
Da eq.3: ( ) ( ) ( )' .3x P x x eqµ µ=
( )
( ) ( )
' x
P x
x
µ
µ
= →
( ) ( ) ( )2 3 .7P x dx c P x dxx e c e eqµ +∫ ∫= =
( )( ) ( )ln 'x P xµ = → ( ) ( ) 2ln x P x dx cµ = +∫
para se livrar de uma constante, podemos usar:
( ) ( ) .8P x dxx e eqµ ∫=
( ) 1ln ' 'y u y u
u
= → =
( )
( ) ( )
( )
.9
P x dx
x f x dx c
y x eq
e
µ +
=
∫
∫
A solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem é
então:
( ) ( )P x dxx eµ ∫= fator integrante
Método de Resolução
i) Escreva a equação linear na forma padrão eq.1;
ii) Identifique P(x) por meio da forma padrão e encontre o fator
integrante: ;
iii) Multiplique ambos os lados da equação pelo fator integrante;
( ) ( )P x dxx eµ ∫=
iv) Integre ambos os lados e resolva para y;
( ) ( ) .1dy P x y f x eq
dx
+ =
Exemplo: 3 6dy y
dx
− = ( ) ( ) .1
dy P x y f x eq
dx
+ =
3 6dy y
dx
− = →
Sol: 
( ) 3P x = − → ( ) 3dxx eµ −∫= → ( ) 3xx eµ −=
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
3 33 6x xdye y e
dx
− − ⋅ − = ⋅ →  
3 3 33 6x x xdye e y e
dx
− − −⋅ − = ⋅ →
( )3 36x xd e y e dx− −= ⋅ →
equivale à
( ) ( )P x dxx eµ ∫=
3 6dy y
dx
− =
( )3 36x xd e y e dx− −= ⋅ →∫ ∫
Integrando:
3 316
3
x xe y e c− − = ⋅ − ⋅ + → 
 
3 32x xe y e c− −=− ⋅ + →
cuja solução explícita é:
3
3
2 x
x
e cy
e
−
−
− ⋅ +
= → 32 xy c e= − + ⋅
3
3
3 3
? 3 3
3
1 ; como:
3
1
3
x
x u u u
x x
du due dx u x dx
dx
e dx e du e du e c
e dx e c
−
−
− −
= → = − → = − → = − →
 = − = + 
 
 = − + 
 
∫
∫ ∫ ∫
∫
Exemplo: ( ) ( )1 2xdyx x y e sen x
dx
−+ + =
( ) ( ) .1dy P x y f x eq
dx
+ =
multiplica-se a eq. por ( )1 11 2xdy y e sen x
dx x x
− + + = 
 
( ) 11P x
x
 = + → 
 
( )
11 dx
xx eµ
 +∫ 
 = →
( ) xx xeµ =
( ) ( )P x dxx eµ ∫=
( )
( ) ( ) ( )
( )
ln ln
11 ln ;
x x x x
x
dx x x
x
x e x e e
x xe
µ µ
µ
+
 + → + 
 
= → = ⋅
=
∫
Sol:
1
x
 
 
 
( )1 11 2x x xdyxe y xe e sen x
dx x x
−    + + = →        
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
( ) ( )2xd xe y sen x dx= →
equivale à
( ) ( )1 11 2x x x xdyxe xe y xe e sen xdx x x
− + + = 
 
Integrando: ( ) ( )2xd xe y sen x dx= →∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 ? cos
2 2
2
2
2
1 1 cos
2 2
sen x dx sen u du u c
du duu x dx
dx
dusen x dx sen u
sen u du u
= → = − +
= → = → = →
= =
 = = − 
 
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )1 cos 2
2
xxe y x c= − + →
( )1 11 2xdy y e sen x
dx x x
− + + = 
 
1 cos 2 , 0
2
x
x cey e x x
x x
−
−= − + < < ∞
( )1 1 cos 2
2x
y x c
xe
   = ⋅ − + →   
   
( ) ( )1 cos 22
xxe y x c= − + →
Exemplo: ( )2 1' 2 , 1
2
xy y x x y+ = − = ( ) ( ) .1
dy P x y f x eq
dx
+ =
multiplica-se a eq. por 
2' 1y y x
x
+ = −
( ) 2P x
x
= → ( )
2 dx
xx eµ
 
∫ 
 = →
( ) ( )P x dxx eµ ∫=
( ) 2x xµ =( ) ( )2 ln xx eµ ⋅= →
( )2 22 1dyx y x x
dx x
 + = − →  
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
( )2 22 1dyx xy x x
dx
+ = −
Sol.:
1
x
  → 
 
2' 1y y x
x
+ = −
( ) ( )2 2 1d x y x x dx= − →
equivale à
( )2 22 1dyx xy x x
dx
+ = −
Integrando: ( ) ( )2 3 2d x y x x dx= − →∫ ∫
4 3
2
4 3
x xx y c= − + →
4 3
2
1
4 3
x xy c
x
 
= − + → 
 
( )
2 1, 1
4 3 2
x xy c y= − + =
( )211 1
2 4 3
c= − + →
7
12
c =
2 7
4 3 12
x xy = − +Portanto:
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