Questões resolvidas
Um computador pode representar um conjunto finito dos números racionais, desta forma, os números muitas vezes são representados em uma forma aproximada. Um caso clássico dessa representação aproximada é o valor de ???? que por não possuir um valor finito de casas decimais sempre será representado por meio de uma aproximação. Essas aproximações geram erros nos cálculos, defina e explique as diferenças entre erros inerentes, erros de truncamento e erros de arredondamento.
A forma como os erros são representados podem alterar o entendimento sobre a magnitude do erro. Algumas representações permitem parametrizar de forma mais eficiente o erro dentro dos limites e amplitudes avaliados. Determine a diferença entre erro absoluto, erro relativo e erro percentual dando exemplos sobre onde cada erro poderia ser aplicado.
Um número pode ser representado em diferentes bases, sendo que as mais tradicionais são a base binária, a decimal e a hexadecimal. A base representa a quantidade de algoritmos que se dispõe para representar um número. Com base no que foi estudado em sala qual seria a conversão dos seguintes números para a base binária?
a) (123)10
b) (88)10
c) (91)10
d) (104)10
e) (77)10
A utilização de programas computacionais como o Matlab busca facilitar e otimizar a resolução de problemas cotidianos. A rotina computacional busca passar para o computador os cálculos que seriam realizados manualmente garantindo uma busca mais eficiente pela resolução. Abaixo é apresentada um trecho da rotina computacional que realiza a conversão de números decimais para binário. Realizando um teste de mesa determine qual o valor final das variáveis: t, deci, vetor e a
dec = 113.15;
t = abs(fix(dec));
deci = abs(dec) - t;
a=1;
while t>=1;
vetor(a) = mod(t,2);
t = fix(t/2);
a=a+1;
end;
A base binária é utilizada pelo computador como forma de leitura dos dados, assim quando se informa um valor em outra base o computador realiza a conversão e salva em formato binário. Com base no que foi visto em sala determine qual a conversão dos seguintes números para a base decimal.
a) (1110001)2
b) (111001)2
c) (110001)2
d) (111010101)2
e) (101010001)2
Considere que se deseja determinar o zero da função ????(????) = 19????3 − 45 adotando como pontos iniciais para o intervalo os valores [0,4] adotando o Método da Bissecção (Método do Meio Intervalo) na busca pelo zero da função determine:
a) Se a condição inicial de busca é satisfeita, caso não quais os valores deveriam ser adotados no intervalo inicial?
b) Quais seriam os intervalos [a,b] dos primeiros cinco laços iterativos partindo do ponto inicial [0,4]?
c) Quantos laços iterativos são necessários para garantir que o resultado tenha uma precisão de 0,01?
O Método de Newrton-Raphson busca uma forma simplificada definindo uma formulação matemática para a geradora do processo iterativo. Neste caso a geradora de sequência pode ser definida como: ????????+1 = ???????? − ????(????????)/????′(????????). Para a função ????(????) = 25????2 − 12 utilizando o método de Newton-Raphson determine o valor da raiz demonstrando detalhadamente o passo a passo o processo de iteração adotando uma precisão de 0,01 e tomando como ponto de partida:
a) ????0 = −1,0
b) ????0 = 1,0
O Método de Newrton-Raphson busca uma forma simplificada definindo uma formulação matemática para a geradora do processo iterativo. Neste caso a geradora de sequência pode ser definida como: ????????+1 = ???????? − ????(????????)/????′(????????). Para a função ????(????) = 19????3 − 45 utilizando o método de Newton-Raphson determine o valor da raiz demonstrando detalhadamente o passo a passo o processo de iteração tomando como ponto de partida ????0 = 1,5 e uma precisão de 0,01.
ne as principais diferenças entre o Método da Bissecção, o Método de Newton-Raphson e o Método das Secantes especificando as vantagens, desvantagens e limitações de cada método.
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CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU DE CARUARU CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS LISTA DE EXERCÍCIOS – 1ª UNIDADE ASSUNTO: Teoria dos Erros ; Conceitos de Programação COMPETÊNCIA: QUESTÃO 1 PONTUAÇÃO: Um computador pode representar um conjunto finito dos números racionais, desta forma, os números muitas vezes são representados em uma forma aproximada. Um caso clássico dessa representação aproximada é o valor de 𝜋 que por não possuir um valor finito de casas decimais sempre será representado por meio de uma aproximação. Essas aproximações geram erros nos cálculos, defina e explique as diferenças entre erros inerentes, erros de truncamento e erros de arredondamento. ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ASSUNTO: Teoria dos Erros ; Conceitos de Programação COMPETÊNCIA: QUESTÃO 2 PONTUAÇÃO: A forma como os erros são representados podem alterar o entendimento sobre a magnitude do erro. Algumas representações permitem parametrizar de forma mais eficiente o erro dentro dos limites e amplitudes avaliados. Determine a diferença entre erro absoluto, erro relativo e erro percentual dando exemplos sobre onde cada erro poderia ser aplicado. ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ASSUNTO: Bases ; Aritmética do Ponto Flutuante COMPETÊNCIA: QUESTÃO 3 PONTUAÇÃO: CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU DE CARUARU CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS LISTA DE EXERCÍCIOS – 1ª UNIDADE Um número pode ser representado em diferentes bases, sendo que as mais tradicionais são a base binária, a decimal e a hexadecimal. A base representa a quantidade de algoritmos que se dispõe para representar um número. Com base no que foi estudado em sala qual seria a conversão dos seguintes números para a base binária? a) (123)10 b) (88)10 c) (91)10 d) (104)10 e) (77)10 ASSUNTO: Bases ; Aritmética do Ponto Flutuante COMPETÊNCIA: QUESTÃO 4 PONTUAÇÃO: A utilização de programas computacionais como o Matlab busca facilitar e otimizar a resolução de problemas cotidianos. A rotina computacional busca passar para o computador os cálculos que seriam realizados manualmente garantindo uma busca mais eficiente pela resolução. Abaixo é apresentada um trecho da rotina computacional que realiza a conversão de números decimais para binário. Realizando um teste de mesa determine qual o valor final das variáveis: t, deci, vetor e a dec = 113.15; t = abs(fix(dec)); deci = abs(dec) - t; a=1; while t>=1; vetor(a) = mod(t,2); t = fix(t/2); a=a+1; end; OBS: Função mod = retorna o resto da divisão de t por 2 Função fix = retorna o valor do inteiro ASSUNTO: Bases ; Aritmética do Ponto Flutuante COMPETÊNCIA: QUESTÃO 5 PONTUAÇÃO: A base binária é utilizada pelo computador como forma de leitura dos dados, assim quando se informa um valor em outra base o computador realiza a conversão e salva em formato binário. Com base no que foi visto em sala determine qual a conversão dos seguintes números para a base decimal. a) (1110001)2 b) (111001)2 c) (110001)2 d) (111010101)2 e) (101010001)2 CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU DE CARUARU CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS LISTA DE EXERCÍCIOS – 1ª UNIDADE ASSUNTO: Aritmética do Ponto Flutuante COMPETÊNCIA: QUESTÃO 6 PONTUAÇÃO: A representação em ponto flutuante é baseada na notação científica: 𝑥 = ±𝑑 . 𝛽𝑒 onde 𝑑 é a mantissa, 𝛽 é a base do sistema de numeração e 𝑒 é o expoente. Um sistema de ponto flutuante pode ser definido como 𝐹(𝛽, 𝑡, 𝐿, 𝑈). Se uma máquina trabalha com os seguintes pontos flutuantes qual o menor e o maior número positivo que a máquina consegue representar? a) 𝐹(2, 6, −4, 4) b) 𝐹(2, 10, −8, 8) c) 𝐹(10, 4, −9, 9) d) 𝐹(10, 5, −8, 9) ASSUNTO: Método do Meio Intervalo COMPETÊNCIA: QUESTÃO 7 PONTUAÇÃO: Considere que se deseja determinar o zero da função 𝑓(𝑥) = 19𝑥3 − 45 adotando como pontos iniciais para o intervalo os valores [0,4] adotando o Método da Bissecção (Método do Meio Intervalo) na busca pelo zero da função determine: a) Se a condição inicial de busca é satisfeita, caso não quais os valores deveriam ser adotados no intervalo inicial? b) Quais seriam os intervalos [a,b] dos primeiros cinco laços iterativos partindo do ponto inicial [0,4]? c) Quantos laços iterativos são necessários para garantir que o resultado tenha uma precisão de 0,01? ASSUNTO: Método do Meio Intervalo COMPETÊNCIA: QUESTÃO 8 PONTUAÇÃO: Considere que se deseja determinar o zero da função descrita pelo gráfico da figura abaixo utilizando o método da Bissecção. Determine: a) Qual intervalo inicial [a,b] você adotaria para iniciar o processo iterativo de busca? b) Qual a raiz dessa função adotando uma precisão de 0,01? CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU DE CARUARU CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS LISTA DE EXERCÍCIOS – 1ª UNIDADE ASSUNTO: Método das Aproximações Sucessivas ; Método de Newton-Raphson COMPETÊNCIA: QUESTÃO 9 PONTUAÇÃO: O Método de Newrton-Raphson busca uma forma simplificada definindo uma formulação matemática para a geradora do processo iterativo. Neste caso a geradora de sequência pode ser definida como: 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓′(𝑥𝑖) Para a função 𝑓(𝑥) = 25𝑥2 − 12 utilizando o método de Newton-Raphson determine o valor da raiz demonstrando detalhadamente o passo a passo o processo de iteração adotando uma precisão de 0,01 e tomando como ponto de partida: a) 𝑥0 = −1,0 b) 𝑥0 = 1,0 ASSUNTO: Método das Aproximações Sucessivas ; Método de Newton-Raphson COMPETÊNCIA: QUESTÃO 10 PONTUAÇÃO: CENTRO UNIVERSITÁRIO MAURÍCIO DE NASSAU DE CARUARU CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS LISTA DE EXERCÍCIOS – 1ª UNIDADE O Método de Newrton-Raphson busca uma forma simplificada definindo uma formulação matemática para a geradora do processo iterativo. Neste caso a geradora de sequência pode ser definida como: 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓′(𝑥𝑖) Para a função 𝑓(𝑥) = 19𝑥3 − 45 utilizando o método de Newton-Raphson determine o valor da raiz demonstrando detalhadamente o passo a passo o processo de iteração tomando como ponto de partida 𝑥0 = 1,5 e uma precisão de 0,01. ASSUNTO: Método da Bissecção ; Método de Newton-Raphson ; Métododas Secantes COMPETÊNCIA: QUESTÃO 11 PONTUAÇÃO: Baseado nos conceitos que foram estudados e nas rotinas iterativas analisadas determine as principais diferenças entre o Método da Bissecção, o Método de Newton-Raphson e o Método das Secantes especificando as vantagens, desvantagens e limitações de cada método. ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________
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