PC_2018-1_AD1-Q1_GABARITO

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AD1 – Q1 – 2018-1 GABARITO Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
GABARITO da Questão 1 da Avaliação a Distância 1 (AD1-Q1) 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [5,0 pontos] 
(a) [valor: 1,5] Considere os polinômios 
𝐷(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 1, 𝑑(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ 
(a.1) Sabendo-se que, pelo Algoritmo de Euclides, 𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥), determine o 
quociente 𝑞(𝑥) e o resto 𝑟(𝑥) da divisão de 𝐷(𝑥) por 𝑑(𝑥). 
(a.2) Sabendo-se que 𝑥 = −1 é uma raiz dupla de 𝐷(𝑥), encontre as outras raízes reais de 𝐷(𝑥) 
e fatore esse polinômio em ℝ como produto de fatores lineares (ou seja, tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores 
quadráticos irredutíveis em ℝ (ou seja, tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique a sua 
fatoração, deixando claro como encontrou todas as raízes. 
RESOLUÇÃO 
(a.1) Dividindo 𝐷(𝑥) por 𝑑(𝑥), encontramos: 
𝑞(𝑥) = 3𝑥 + 2 
𝑟(𝑥) = −𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 
 
 
 
 
 
 
(a.2) Como 𝑥 = −1 é raiz dupla podemos começar a fatorar 𝐷(𝑥) da seguinte forma: 
𝐷(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)𝑞1(𝑥), onde temos que determinar 𝑞1(𝑥), que é 
um polinômio de grau 3. Para determinar 𝑞1(𝑥) vamos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes seguidas. 
 3 2 −1 3 2 −1 
−1 3 −3 + 2 = −1 1 − 1 = 0 0 + 3 = 3 −3 + 2 = −1 1 − 1 = 0 
−1 3 −3 − 1 = −4 4 + 0 = 4 −4 + 3 = −1 1 − 1 = 0 
 
Assim, 𝑞1(𝑥) = 3𝑥
3 − 4𝑥2 + 4𝑥 − 1. Agora, para encontrar as outras raízes de 𝐷(𝑥), precisamos 
encontrar as raízes de 𝑞1(𝑥), para isso vamos começar procurando as possíveis raízes inteiras de 𝑞1(𝑥), que são:
 ±1 (são os divisores de 1, o termo independente). 
𝑞1(1) = 3(1)
3 − 4(1)2 + 4(1) − 1 = 3 − 4 + 4 − 1 = 2 ≠ 0, logo 1 não é raiz de 𝑞1(𝑥). 
𝑞1(−1) = 3(−1)
3 − 4(−1)2 + 4(−1) − 1 = −3 − 4 − 4 − 1 = −12 ≠ 0, logo −1 não é raiz de 𝑞1(𝑥). 
Donde concluímos que 𝑞1(𝑥) não possui raízes inteiras. 
3𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑥4 + 2𝑥 
−3𝑥5 − 6𝑥2 3𝑥 + 2⏟ 
=𝑞(𝑥)
 
 2𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 
−2𝑥4 − 4𝑥 
 −𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 − 1⏟ 
=𝑟(𝑥)
 
AD1 – Q1 – 2018-1 GABARITO Pré-Cálculo 
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Vamos procurar as possíveis raízes racionais não inteiras de 𝑞1(𝑥), que são: ±
1
3
 (divisores de 1, o termo 
independente, divididos por ±3, que são dos divisores do coeficiente o termo de maior grau, diferentes de ±1). 
𝑞1 (
1
3
) = 3 (
1
3
)
3
− 4(
1
3
)
2
+ 4(
1
3
) − 1 =
3
27
−
4
9
+
4
3
− 1 = 0, logo 
1
3
 é raiz de 𝑞1(𝑥). 
Assim, podemos fatorar 𝑞1(𝑥) = 3𝑥
3 − 4𝑥2 + 4𝑥 − 1 = (𝑥 −
1
3
) 𝑞2(𝑥), onde temos que determinar 𝑞2(𝑥), 
que é um polinômio de grau 2. Para determinar 𝑞2(𝑥) vamos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini. 
 
 3 −4 4 −1 
1
3
 
3 1 − 4 = −3 −1 + 4 = 3 1 − 1 = 0 
Logo, 𝑞1(𝑥) = 3𝑥
3 − 4𝑥2 + 4𝑥 − 1 = (𝑥 −
1
3
) (3𝑥2 − 3𝑥 + 3). 
vamos calcular o discriminante de 3𝑥2 − 3𝑥 + 3 , Δ = (−3)2 − 4 ∙ 3 ∙ 3 = 9 − 36 = −27 < 0. 
Donde concluímos que 3𝑥2 − 3𝑥 + 3 não possui raízes reais, 3𝑥2 − 3𝑥 + 3 é irredutível em ℝ. 
Logo a única raiz de 𝐷(𝑥), diferente da raiz dupla 𝑥 = −1, é a raiz 𝑥 =
1
3
. 
Portanto a fatoração de 𝐷(𝑥) é: 
𝐷(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) (𝑥 −
1
3
) (3𝑥2 − 3𝑥 + 3) 
Que pode ser reescrita como, 
𝐷(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 3(𝑥 + 1)(𝑥 + 1) (𝑥 −
1
3
) (𝑥2 − 𝑥 + 1) 
Ou ainda, como 
𝐷(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(3𝑥 − 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1), ou ainda 
𝐷(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)2(3𝑥 − 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1) 
 
(b) [valor: 2,3] Considere os polinômios 
𝑝(𝑥) = 4 − 3𝑥 e 𝑞(𝑥) = (3𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)3 , 𝑥 ∈ ℝ 
(b.1) Analise o sinal de 𝑝(𝑥). Essa análise de sinal deve ser justificada! 
(b.2) Analise o sinal de 𝑞(𝑥). Essa análise de sinal deve ser justificada! 
(b.3) Analise o sinal da função 𝑓(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
. Essa análise de sinal deve ser justificada! 
(b.4) Determine o domínio da função 𝑔(𝑥) = √
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
. Justifique! 
(b.5) Determine o domínio da função ℎ(𝑥) = √
|𝑞(𝑥)|
𝑝(𝑥)
. Justifique! 
 
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RESOLUÇÃO 
(a.1) 4 − 3𝑥 = 0 
 −4 
⇔ −3𝑥 = −4 
 ÷(−3) 
⇔ 𝑥 =
−4
−3
=
4
3
 
4 − 3𝑥 > 0 
 −4 
⇔ −3𝑥 > −4 
 ÷(−3) 
⇔ 𝑥 <
4
3
 (dividir por número negativo inverte a desigualdade) 
4 − 3𝑥 < 0 
 −4 
⇔ −3𝑥 < −4 
 ÷(−3) 
⇔ 𝑥 >
4
3
 (dividir por número negativo inverte a desigualdade) 
Outra forma de pesquisar o sinal é usando a reta de equação 𝑦 = 4 − 3𝑥 
Conclusão do sinal de 𝑝(𝑥): 
𝑝(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 =
4
3
 ou, em forma de conjunto, 𝑥 ∈ {
4
3
} 
𝑝(𝑥) > 0 se e só se 𝑥 <
4
3
 ou, em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,
4
3
) 
𝑝(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 >
4
3
 ou, em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (
4
3
, ∞) 
(b.2) 𝑞(𝑥) = (3𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)3, vamos usar tabela de sinal com fatores (3𝑥 − 1)2 e (𝑥 + 2)3. 
Expoente de (3𝑥 − 1)2 é PAR, logo 
(3𝑥 − 1)2 = 0 ⟺ 3𝑥 − 1 = 0 ⟺ 3𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 =
1
3
 
(3𝑥 − 1)2 > 0 ⟺ 3𝑥 − 1 ≠ 0 ⟺ 3𝑥 ≠ 1 ⟺ 𝑥 ≠
1
3
 
Expoente de (𝑥 + 2)3 é ÍMPAR, isto significa que o sinal de (𝑥 + 2)3 é o mesmo sinal da base (𝑥 + 2), logo 
(𝑥 + 2)3 = 0 ⟺ 𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = −2 
(𝑥 + 2)3 > 0⟺ 𝑥 + 2 > 0 ⟺ 𝑥 > −2 
(𝑥 + 2)3 < 0⟺ 𝑥 + 2 < 0 ⟺ 𝑥 < −2 
 (−∞,−2) −2 (−2,
1
3
) 
1
3
 (
1
3
, ∞) 
(3𝑥 − 1)2 + + + 0 + 
(𝑥 + 2)3 − 0 + + + 
𝑞(𝑥) = (3𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)3 − 0 + 0 + 
Conclusão do sinal de 𝑞(𝑥): 
𝑞(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 = −2 ou 𝑥 =
1
3
 ou, em forma de conjunto, 𝑥 ∈ {−2 ,
1
3
} 
𝑞(𝑥) > 0 se e só se 𝑥 > −2 e 𝑥 ≠
1
3
 ou, em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−2,
1
3
) ∪ (
1
3
, ∞) 
𝑞(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 < −2 ou, em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,−2) 
 
4
3
 
0 + 
− 
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(b.3) 𝑓(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
=
(3𝑥−1)2(𝑥+2)3
4−3𝑥
, vamos construir a tabela de sinais de 𝑓(𝑥) usando os sinais estudados nos 
itens (b.1) e (b.2). 
 (−∞,−2) −2 (−2,
1
3
) 
1
3
 (
1
3
,
4
3
) 
4
3
 (
4
3
, ∞) 
(3𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)3 − 0 + 0 + + + 
4 − 3𝑥 + + + + + 0 − 
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
=
(3𝑥−1)2(𝑥+2)3
4−3𝑥
 − 0 + 0 + 𝑛𝑑 − 
 
Conclusão do sinal de 𝑓(𝑥): 
𝑓(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 = −2 ou 𝑥 =
1
3
 ou, em forma de conjunto, 𝑥 ∈ {−2,
1
3
} 
𝑓(𝑥) > 0 se e só se −2 < 𝑥 <
4
3
 e 𝑥 ≠
1
3
 ou, em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−2,
1
3
) ∪ (
1
3
,
4
3
) 
𝑓(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 < −2 ou 𝑥 >
4
3
 ou, em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (
4
3
, ∞) 
 
(b.4) As restrições do domínio de 𝑔(𝑥) = √
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
 são: 
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
≥ 0 e 𝑝(𝑥) ≠ 0. 
Pelo item (b.3), 
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
= 𝑓(𝑥) e 𝑓(𝑥) ≥ 0 se e só se {𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 =
1
3
} ou {−2 < 𝑥 <
4
3
 𝑒 𝑥 ≠
1
3
} . 
Logo, 
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
≥ 0 se e só se {−2 ≤ 𝑥 <
4
3
}. 
Pelo item (b.1), 𝑝(𝑥) ≠ 0 se e só se 𝑥 ≠
4
3
. 
Concluindo, o domínio de 𝑔 pode ser descrito por: {−2 ≤ 𝑥 <
4
3
} 
ou, em forma de intervalo, 𝑑𝑜𝑚(𝑔) = [−2,
4
3
). 
 
(b.5) As restrições do domínio de ℎ(𝑥) = √
|𝑞(𝑥)|
𝑝(𝑥)
 são: 
|𝑞(𝑥)|
𝑝(𝑥)
≥ 0 e 𝑝(𝑥) ≠ 0. 
Como o módulo ou valor absoluto de qualquer número real é positivo ou nulo, sabemos que |𝑞(𝑥)| ≥ 0 para 
todo número real 𝑥, donde o sinal de 
|𝑞(𝑥)|
𝑝(𝑥)
 só depende do sinal de 𝑝(𝑥), ou seja, 
|𝑞(𝑥)|
𝑝(𝑥)
≥ 0 e 𝑝(𝑥) ≠ 0 se e só se 𝑝(𝑥) > 0, e, pelo item (b.1), 𝑝(𝑥) > 0 se e só se 𝑥 <
4
3
. 
Concluindo, o domínio de ℎ pode ser descrito por: 𝑥 <
4
3
, 
ou, em forma de intervalo, 𝑑𝑜𝑚(ℎ) =(−∞,
4
3
). 
 
(c) [valor: 1,2] Considere a função 𝑚(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1. 
(c.1) Aplicando a definição de módulo em |𝑥 − 2|, escreva a função 𝑚(𝑥) como função partida em dois 
intervalos disjuntos (lembre que intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
(c.2) Encontre a abscissa de cada um dos pontos de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑚(𝑥) com o eixo 
𝑥 e a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑚(𝑥) com o eixo 𝑦. 
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(c.3) Esboce o gráfico da função 𝑚(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1. Sugestão: use os itens anteriores para construir o 
gráfico. 
RESOLUÇÃO 
(c.1) A definição de módulo é |𝑎| = {
 𝑎 𝑠𝑒 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑒 𝑎 < 0
 
Para aplicar a definição em |𝑥 − 2|, na definição temos que substituir 𝑎 por 𝑥 − 2. 
|𝑥 − 2| = {
 𝑥 − 2 𝑠𝑒 𝑥 − 2 ≥ 0
−(𝑥 − 2) 𝑠𝑒 𝑥 − 2 < 0
 simplificando, |𝑥 − 2| = {
 𝑥 − 2 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 
𝑚(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1 = {
 𝑥 − 2 − 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 2 − 1 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 donde, simplificando, 
𝑚(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1 = {
 𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 
 
(c.2) Na interseção com o eixo 𝑥, temos que 𝑦 = 0 ou seja, 𝑦 = 𝑚(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1 = 0. 
Resolvendo, 
|𝑥 − 2| − 1 = 0 ⟺ |𝑥 − 2| = 1 ⟺ 𝑥 − 2 = 1 𝑜𝑢 𝑥 − 2 = −1 ⟺ 
𝑥 = 2 + 1 𝑜𝑢 𝑥 = 2 − 1 ⟺ 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = 1. 
Logo são dois pontos de interseção com eixo 𝑥, as abscissas desses pontos: 𝑥 = 3 ou 𝑥 = 1. 
Na interseção com o eixo 𝑦, temos que 𝑥 = 0 ou seja, 𝑦 = 𝑚(0) = |0 − 2| − 1 = 2 − 1 = 1. 
Logo a ordenada da interseção com o eixo 𝑦 é 𝑦 = 1. 
 
(c.3) Do item (c.1), temos que: 
Para 𝑥 ≥ 2, 𝑦 = 𝑚(𝑥) = 𝑥 − 3 e sabemos que 𝑦 = 𝑥 − 3 é equação de reta. 
Podemos escolher dois valores de 𝑥, sendo 𝑥 ≥ 2, e determinar a 
abscissa e a ordenada de dois pontos da reta. 
Escolhendo, por exemplo, 𝑥 = 2 e 𝑥 = 4, 
𝑥 = 2 ⟹ 𝑦 = 2 − 3 = −1, 
𝑥 = 4 ⟹ 𝑦 = 4 − 3 = 1. 
Logo dois pontos da reta 𝑦 = 𝑥 − 3, 𝑥 ≥ 2 são: 
(2, −1) e (4, 1). 
A parte da reta para 𝑥 ≥ 2 está desenhada ao lado. 
Para 𝑥 < 2, 𝑦 = 𝑚(𝑥) = −𝑥 + 1 e sabemos que 𝑦 = −𝑥 + 1 é equação de reta. 
Podemos escolher dois valores de 𝑥, sendo 𝑥 < 2, e determinar a abscissa e a ordenada de dois pontos da reta. 
Escolhendo, por exemplo, 𝑥 = −2 e 𝑥 = 0, 
𝑥 = −2 ⟹ 𝑦 = −(−2) + 1 = 3 
𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = −0 + 1 = 1. 
Logo dois pontos da reta 𝑦 = −𝑥 + 1, 𝑥 < 2 são: (−2, 3) e (0, 1). 
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Observe que se 𝑥 = 2 o valor de 𝑦 seria 𝑦 = −(2) + 1 = −1. Mas 
𝑥 = 2 não está no intervalo 𝑥 < 2, assim o ponto (2, −1) não faz 
parte do gráfico ao lado e por esse motivo está com bolinha vazia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de 
𝑚(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1 = {
 𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 2