CALC 7

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y= arg cosech xy= arg cotgh x	 Jay
Funções 	 61
y= arg tgh x
Figura 2-37
INVERSA DA FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA
Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cosseno hiperbólico, para
definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio
Seja f: [O, + co) --> [O, 1] a função dada por f (x) = sech x. A sua função inversa
é denotada por arg sech. Para y O, temos
y = arg sech x <=> x = sech y
Na Figura 2.38 podemos ver um esboço do gráfico da função arg sech.
arg senti x = ln (x + 11x2 + 1 ), x qualquer;
arg cosh x = ln (x + 11x2 — 1), x �. 1;
arg tgh x = 2— ln 1 — x
1 	 (1 + x — 1 < x < 1 ;
arg sech x = In + -‘11 - X2 , O<X.̂ 1;
62 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Y
X
Figura 2-38
Podemos exprimir as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos
naturais. Isso decorre do fato das funções hiperbólicas serem definidas em termos da
função exponencial, que admite a função logaritmo natural como inversa.
A seguir apresentamos essas expressões, que aparecem freqüentemente na
integração.
arg cotgh x = 2— ln x
x
 + 
1
r 	 1 , 	 lx I > 1 ;1
[1 	 -1 + x2 \arg cosech x = ln —
x 
+ 1 
lx1 )
, x 	 O.
Funções 	 63
EXEMPLO. Mostrar que arg senh x = ln (x + •NI x2 + 1 ), para todo valor de x.
Sejam xeRey= arg senh x.
Então, x = senh y —
e portanto,
eY — e-Y
2
- 2x — = O.
Multiplicando ambos os membros da igualdade por e, temos
e2Y — 2xeY — 1 = O.
Resolvendo esta equação para eY pela fórmula quadrática, obtemos
2x + •Ni 4x2 + 4_ 	 _ x ± x2+ 1 .
2
Como e > O para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser
descartada. Portanto,
ey = x + x2 + 1 .
Tomando o logaritmo natural, temos
y = ln (x + x2 + 1 ) , ou seja,
arg senh x = ln (x + x2 + 1 ) .
2.16 EXERCÍCIOS
1. Construir os gráficos das funções de 1 9 grau. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = kx ; se k = O, 1, 2, 1/2, — 1, —2
(b) y=x+b, se b=0,1,-1
(c) y = 1,5x + 2.
64	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = ax2, se a = 1, 1/2 e -2
(b) y = x2 + c, se c = O, 1, 1/2, -3
(c) y = yo + (x- 1)2, se yo = O, 1, -1
(d) y = ax2 + bx + c, se a = 1, b = -2 e c = 5.
3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = 2 + (x - 1)3 (b) y = x4 	(c) y = 2x2 - 4.
4. Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
	
. 1 	 x - 1 (a) y = -	 2 	(b) y =	 (c) y -
(x - 1)2 	X 	 X -I- 4
5. A função f (x) é do 1 2 grau. Escreva a função se
f(-1)= 2 e f (2) = 3.
6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares
(a) f (x) = 3x4 - 2x2 + 1	 (b) f (x) = 5x3 - 2x
(c) f (s) = s2 + 2s -I- 2 	 (d) f (t) = t6 - 4
3
	f(y) - Y	 Y
y2 +1
1
(h) .ft	 -2x) = (a' + a-x)
(j) flx) = ln (x + 'N/ 1 + x2 ) .
(e) f (x) =I xl
x - 1 
(g) f(x) =
x + 1
(i) f(x) = ln 1 + x
1 - x
x + 1(c) f(x) — 
x — 1 (d) f(x)=Ix1+Ix-11.
Funções 	 65
7. Demostre que sef e g são funções ímpares, então (f + g) e (f — g) são também funções ímpares.
8. Demonstre que se f e g são funções ímpares, então f-g e flg são funções pares.
9. Mostre que a função —1 [f(x) + f(—x)] é par e que a função —1 ff (x) — f (—x)] é ímpar.2 	 2
10. Demonstre que qualquer função f: R R pode ser expressa como a soma de urna função par
com uma função ímpar.
11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar
(a) f (x) = x2 2 	 (b) 	 (x) = x3 — 1
12. Seja f (x) uma função, cujo gráfico para x O, tem o aspecto indicado na figura. Completar
esse gráfico no domínio x < O, se:
a) f (x) é par;
b) f (x) é ímpar.
13. Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função
dada e de sua inversa.
(a) y = 3x + 4 (b) y — 	 1x — a
(c) y= X+ a+ (d) y = 1, 	x> Ox a
66 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(e) y = .Nrx - 1, x>_1	 (f) y = - 	 - x, x5 a
x2 
(g) Y -
1
 x O 	 (h) y = x2 - 4 , 	 O
x- + 
(i) y = x2 - 4 , x 	 O.
14. Mostrar que a função y = f(x) - x + 2
- 1 coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y)2x ou f (f (x)) = x.
15. Dada a função y = f(x) = 
1 +
	 definida para todo x real, demonstrar que sua inversa
"\1 
é a função x = g (y) \h. 	 y2 	definida para ly I < 1.
se x < 1
16. Seja f(x) = x2, 	 se 1 .^ x 5 9
27 -\rx- , 	 se x > 9 .
Verifique que f tem uma função inversa e encontre! 1 (x).
17. Se f (x) e g (x) são periódicas de período T, prove que:
(a) h(x) = f (x) + g (x) tem período T.
(b) h(x) = f (x) • g (x) é periódica de período T.
(c) h(x) = g() , g (x) # O V x, é periódica de período T.
18. Se f (x) é periódica de período T, prove que 3T também é período de f
19. Sabendo que f (x) é uma função par e periódica de período T = 4, complete o seu gráfico.
Funções	 67
20. Se f (x) = 2x, mostrar que
f (x + 3) -f (x -1) = 15/2f (x).
21. Seja 4)(x) = 1/2 (ax + a-x) e 111(x) = 1/2 (a' - a-x) .
Demostrar que
4T(x + y) =4)(x) 4)(Y) + Ni(x) • NI(Y) e
ni(x + =4)(x) - V(Y) +4)(Y) • 111(x).
22. Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais.
(a) y = ax, se a = 2, 1/2, e (e = 2,718 ...)
(b) y = 10 1 Ix
(c) y = e-x2
(d) Y = - 2x
23. Dada 4)(x) = ln 1 - x1 + x 
verifique a igualdade 4)(a) + 4)(b) -
24. Sejam f (x) = log x e g (x) = x3 .
r a + b 
1 + ab
68	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Forme as expressões
(a) f [g (2)]
(c) g[f (a)], a > O.
(b) f [g (a)], a > O
25. Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas.
(a) y =ln (—x)
(c) y=ln(x+1)
(e) y=x1nx.
(b) y= ln I xl
(d) y = logax se a = 10, 2 e 1/2
26. Se f (x) = arc tg x prove que
.f(x) + KY) — f (ir	 x yY ) •
27. Prove que arc tg a — arc tg b = arc cotg b — arc cotg a.
28. Sejaft0) = tg O . Verifique a igualdade f (2 O) = 	 2 f (0)
29. Seja f (x) = arc cos (log 10 x).
Calcular f (1110), f (1) e f (10).
30. Determinar o domínio das seguintes funções:
x(a) y = arc cos 2 +1 	 x (b) y = arc sen (log 10 x/10)
(c) y = Nisen 2x . 
31. Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas. Verificar se são periódicas e em
caso afirmativo determinar o período.
I.
1 — LAO) 1 2
Funções 	 69
(a) y = sen kx, k = 2, 3, 1/2 e 1/3
(c) y=kcos 2x, k=2,-1 e 1/2
(e) y = cos (x + n12)
(g) y = cotg (x + rc/4)
(i) y = 1 + sen x
(b) y = k cos x, k = 2, 3, 1/2, 1/3 e —1
(d) y =- sen (x — rc/2)
(I) y = tg (x — 37r/2)
(h) y = tg 2x
(j) y=l+Isen2x1
32. Dada a função f (x) = 2 senh x — 3 tgh x, calcule f (2),f (-1) e f (0).
33. Prove as identidades:
(a) 1 — tgh2 u = sech2 u 	 (b) 1 — cotgh2 u = cosech2 u.
34. Defina uma função inversa para y = cosh x, para x O. Esboce o gráfico.
35. Mostre a validade das expressões:
(a) arg cosh x = ln (x + "si x2 — 1), x 1;
(b) arg tgh x = 1/21n
1 + x )
1 — x , —1 < x < 1;
(c) arg sech x = ln r i+ ,11 — x2 \
x
, O < x 1.
36. Sendo f (x) = cosh x, mostre que
f [In ( x + "\Ix2 — 1)] = x
37. Mostre que as funções senh x, tgh x, cotgh x e cosech x são ímpares.
38. Mostre que as funções cosh x e sech x são pares.
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CAPÍTULO 3 EDITORA
DAU
LIMITE E CONTINUIDADE
O objetivo deste capítulo é dar uma definição de LIMITE de uma maneira
intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos analisar propriedades e
teoremas referentes a' limites de funções. Finalmente, definiremos a continuidade das
funções usando limites.
3.1 NOÇÃO INTUITIVA
Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que, no conjunto dos
números reais, podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer
regra pré-estabelecida.
Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas.
(1) 1, 2, 3, 4, 5, ...
(2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
(3) 1, 0, —1, —2, —3, ...
(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...
Na sucessão (1), os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um
LIMITE. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encon-
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