Aula 02 AFRFB 2009 RACIOCÍNIO LÓGICO

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo – Teoria e Exercícios 
p/ Receita Federal do Brasil 
Prof. Moraes Junior 
 
Aula 02: Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos 
4. Trigonometria. 
5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 
 
 
1. Introdução 
 
Tudo bem? Bom, a notícia do momento foi a publicação do edital de 
Analista Tributário da Receita Federal do Brasil. Mais um concurso a caminho. 
E também há raciocínio lógico-quantitativo (RLQ), com 10 questões e peso 2. 
 
Na verdade, o edital de Analista Tributário, na parte de RLQ, quase não 
mudou em relação ao edital de Auditor-Fiscal. Portanto, se você está fazendo este 
curso e também vai prestar o concurso de Analista Tributário, não se 
preocupe, pois este curso engloba todo conteúdo de Analista e mais um pouco. 
 
Seguem, abaixo, os assuntos que serão vistos aqui e que não 
constam do conteúdo programático de Raciocínio
 Lógico-Quantitativo para Analista Tributário: 
 
 
A) Solução de Sistemas Lineares; 
B) Combinações, Arranjos e Permutação; 
C) Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade, 
Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão; e 
D) Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 
 
Outra coisa. Havia prometido uma aula com, no máximo, 60 páginas, mas 
não posso deixar de falar nos conceitos importantes para a prova. 
Portanto, nesta aula, mais uma vez, me excedi um pouco no número 
de páginas. Vou me controlar para as próximas, mas, é claro, sem prejudicar 
o estudo da matéria. 
 
Vamos iniciar a aula de hoje, então, com as nossas tradicionais 
questões adaptadas de Malba Tahan: 
 
Problema 1: Um poderoso cheique de Damasco mandou chamar suas 
três filhas e disse-lhes: 
 
“Aqui estão 90 maçãs que vocês deverão vender no mercado. Fátima, 
que é a mais velha, levará 50. Cunda levará 30 e Siha, a caçula, será 
encarregada de vender 10 restantes. 
 
Se Fátima vender as 7 maças por um dinar, as outras deverão vender, também, 
pelo mesmo preço, isto é, 7 por um dinar; se Fátima fizer a venda das 
maçãs a três dinares cada uma, será esse o preço pelo qual Cunda 
e Siha deverão vender as que levam. O negócio deve fazer-se de sorte 
que as três apurem, com a venda das respectivas maçãs, a mesma quantia” 
 
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O cheique ainda informou às filhas que não é possível se desfazer de 
nenhuma das maçãs. É necessário vendê-las. Resolva o problema e assinale 
a alternativa correta: 
 
 
(a) Fátima vendeu 42 maçãs por 7 dinares e 8 maçãs por 3 dinares. 
(b) Cunda vendeu 30 maças por 5 dinares. 
(c) Siha vendeu 7 maças por 1 dinar e 3 maças por 9 dinares. 
(d) Fátima vendeu 35 maças por 7 dinares e 15 maças por 3 dinares. 
(e) Cunda vendeu 21 maças por 4 dinares e 9 maçãs por 15 dinares. 
 
Problema 2: Um navio voltava do Sri Lanka trazendo grande 
quantidade de especiarias e foi “atacado” por violenta tempestade. A 
embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a 
bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, 
manejaram as velas com extrema perícia. O comandante do navio, 
querendo compensar os denotados marujos, deu-lhes certo
 número de moedas de ouro. Esse número era superior a 
duzentos, mas não chegava a trezentos. 
 
As moedas de ouro foram colocadas em uma caixa para que, no dia 
seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os 
três corajosos marinheiros. 
 
Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, 
lembrou- se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a minha 
parte. Assim, não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus 
amigos”. E, sem nada a dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até 
onde se achava guardado o dinheiro, 
dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata 
e que sobrava uma moeda de ouro. “Por causa desta mísera moedinha 
é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o 
marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a 
sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. 
 
Horas depois, o segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em 
que se depositava o prêmio coletivo dividiu-o em três partes iguais. 
Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dívidas, veio à 
lembrança de atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se 
julgava com direito. 
 
O terceiro marinheiro, ignorando por completo a antecipação dos dois 
colegas, teve o mesmo alvitre. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, 
à caixa das moedas de ouro. Dividiu as moedas que lá encontrou em três 
partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou uma moeda de ouro. Não 
querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, 
retirou a terça parte para si e voltou tranqüilo para o seu leito. 
 
 
No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio 
encontrou 
70 moedas de ouro na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos 
 
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marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos 
marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez, a divisão não foi exata. 
Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou para si. 
 
É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles 
estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do 
dinheiro. 
 
Calcule qual era a quantidade total de moedas de ouro, quanto recebeu 
cada um dos marujos e assinale a alternativa correta: 
 
 
(a) O primeiro marinheiro recebeu 103 moedas de ouro. 
(b) O segundo marinheiro recebeu 75 moedas de ouro. 
(c) O terceiro marinheiro recebeu 59 moedas de ouro. 
(d) O número total de moedas de ouro é 238. 
(e) O número total de moedas de ouro é 244. 
 
 
E aí, gostou das questões de Malba Tahan? Semana que vem tem mais. 
============================================== 
ERRATA da Aula 01 – foram corrigidas as soluções dos exercícios 
16 de Proposições e 16 de Argumentação Lógica, que estão na sessão 
de dúvidas interessantes. O arquivo da aula também está atualizado no site 
(atualização de 
10/10/2009). 
============================================== 
Coluna “Dúvidas Interessantes” 
 
1. Comentário de questão – Parte 1: um aluno solicitou que eu 
comentasse a questão abaixo, resolvida na aula 01, de outra maneira. 
 
12. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Um renomado 
economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros 
aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado 
economista equivale a dizer que: 
 
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. 
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. 
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. 
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. 
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 
 
 
Resolução 
 
Esta questão é umtipo clássico de questão cuja resolução se dá por proposições 
equivalentes. Por que cheguei a esta conclusão: porque estou partindo de 
uma proposição disjuntiva (ou) e todas as respostas
 possuem proposições condicionais. 
 
 
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Além disso, sei (preciso saber) que existem as seguintes proposições 
equivalentes: p q ~p v q (proposições equivalentes) 
 
 
A informação que temos no enunciado é: 
1. A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. 
Tipo de Proposição: Disjuntiva 
A inflação não baixa v a taxa de juros aumenta. 
 
 
Considere que: 
~p = A inflação não baixa 
q = A taxa de juros aumenta 
Achando a proposição equivalente: 
p = A inflação baixa 
q = A taxa de juros aumenta 
Proposição Equivalente: 
p q => A inflação baixa A taxa de juros aumenta 
Ou seja: Se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. 
 
 
GABARITO: D 
 
2. Comentário de questão - Parte 2: um aluno fez uma outra solução para 
a questão 16 de proposições que, inicialmente, achei que seria mais 
simples. Contudo, depois, ele mesmo viu que havia um equívoco. Analisei 
a solução e, mais uma vez, prefiro adotar o procedimento das proposições 
equivalentes, pois sei que irá funcionar em todas as questões. Vou resolver 
novamente a questão, para não restar dúvidas, explicando melhor alguns pontos 
(já atualizei a aula 01 no site com a resolução abaixo). 
 
16. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Se X > 
Y, então Z > Y; se X < Y, então Z > Y ou W > Y; se W < Y, então Z < Y; se W > 
Y, então X > Y. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que: 
 
a) X > Y; Z > Y; W > Y 
b) X < Y; Z < Y; W < Y 
c) X > Y; Z < Y; W < Y 
d) X < Y; W < Y; Z > Y 
e) X > Y; W < Y; Z > Y 
 
 
Resolução 
 
1. Se X > Y, então Z > Y. Tipo de 
Proposição: Condicional 
 
 
p q ~q ~p 
 
 
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p: X > Y 
q: Z > Y 
p q => X > Y Z > Y 
 
 
~p: X ≤ Y 
~q: Z ≤ Y 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => Z ≤ Y X ≤ Y 
 
2. Se X < Y, então Z > Y ou W > Y. 
Tipo de Proposição: Condicional 
 
 
p q ~q ~p 
 
 
p: X < Y 
q: Z > Y v W > Y 
p q => X < Y (Z > Y v W > Y) 
 
 
~p: X ≥ Y 
~q: Z ≤ Y ^ W ≤ Y 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => (Z ≤ Y ^ W ≤ Y) X ≥ Y 
 
 
3. Se W < Y, então Z < Y. Tipo 
de Proposição: Condicional 
 
 
p q ~q ~p 
 
 
p: W < Y 
q: Z < Y 
p q => W < Y Z < Y 
 
 
~p: W ≥ Y 
~q: Z ≥ Y 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => Z ≥ Y W ≥ Y 
 
 
4. Se W > Y, então X > Y. Tipo 
de Proposição: Condicional 
 
 
p q ~q ~p 
 
 
p: W > Y 
q: X > Y 
p q => W > Y X > Y 
 
 
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~p: W ≤ Y 
~q: X ≤ Y 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => X ≤ Y W ≤ Y 
 
 
Conclusões: 
1) X > Y Z > Y 
2) Z ≤ Y X ≤ Y (equivalente de “1”) 
3) X < Y (Z > Y v W > Y) 
4) (Z ≤ Y ^ W ≤ Y) X ≥ Y (equivalente de “3”) 
5) W < Y Z < Y 
6) Z ≥ Y W ≥ Y (equivalente de “5”) 
7) W > Y X > Y 
8) X ≤ Y W ≤ Y (equivalente de “7”) 
 
 
A questão, diferentemente das outras resolvidas até agora, não forneceu 
nenhuma informação extra. Portanto, vamos analisar as alternativas, 
partindo- se da premissa dada no enunciado: “Com essas 
informações pode-se, com certeza, afirmar que” 
 
 
a) X > Y; Z > Y; W > Y 
Hipótese: W > Y (V) De acordo com a 
conclusão 7: W > Y X > Y. 
Logo, pode-se concluir que X > Y (V). De acordo 
com a conclusão 1: X > Y Z > Y 
Logo, pode-se concluir que Z > Y (V). De acordo 
com a conclusão 6: Z ≥ Y W ≥ Y 
Logo, pode-se concluir que W > Y (V), que está de acordo 
com a nossa hipótese. 
 
 
A alternativa está CORRETA. 
 
 
b) X < Y; Z < Y; W < Y 
Hipótese: W < Y (V) De acordo com a 
conclusão 5: W < Y Z < Y 
Logo, pode-se concluir que Z < Y (V). De acordo 
com a conclusão 2: Z ≤ Y X ≤ Y 
Logo, pode-se concluir que X < Y (V). 
 
 
Contudo, de acordo com a conclusão 4: (Z ≤ Y ^ W ≤ Y) X ≥ Y 
 
 
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Logo, pode-se concluir que X > Y (V), o que está em desacordo com a 
alternativa. 
A alternativa está INCORRETA. 
 
 
c) X > Y; Z < Y; W < Y 
Hipótese: W < Y (V) De acordo com a 
conclusão 5: W < Y Z < Y 
Logo, pode-se concluir que Z < Y (V). De acordo 
com a conclusão 2: Z ≤ Y X ≤ Y 
Logo, pode-se concluir que X < Y (V), o que está em desacordo com a 
alternativa. 
A alternativa está INCORRETA. 
 
 
d) X < Y; W < Y; Z > Y 
Hipótese: Z > Y (V) 
 
 
De acordo com a conclusão 6: Z ≥ Y W ≥ Y 
Logo, pode-se concluir que W > Y (V), o que está em desacordo 
com a alternativa. 
A alternativa está INCORRETA. 
 
 
e) X > Y; W < Y; Z > Y 
Hipótese: Z > Y (V) 
 
 
De acordo com a conclusão 6: Z ≥ Y W ≥ Y 
Logo, pode-se concluir que W > Y (V), o que está em desacordo 
com a alternativa. 
A alternativa está INCORRETA. 
 
 
GABARITO: A 
 
3. Comentário de questão - Parte 3: quando resolvi a questão 16 de 
lógica de argumentação havia entendido, erradamente, que o 
enunciado pedia o número de alunos matriculados em dois cursos. Na 
verdade, a questão pede o número de matriculados em mais de um 
curso. Já havia feito a correção da aula, mas vou resolver novamente a 
questão aqui para que não fiquemos com dúvidas. 
 
16. (AFC-CGU-2006-Esaf) Uma escola de idiomas oferece apenas três 
cursos: um curso de Alemão, um curso de Francês e um curso de 
Inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em 
quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão 
matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de 
Inglês. Sabendo-se que 5% dos 
 
 
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alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos 
matriculados em mais de um curso é igual a 
 
a) 30 
b) 10 
c) 15 
d) 5 
e) 20 
 
 
Resolução 
 
 
Total de alunos = 200 
 
Curso de Alemão = 50% x 200 100 
Curso de Francês = 30% x 200 60 
Curso de Inglês = 40% x 200 80 
Número Total de Matrículas 240 
 
Alunos matriculados nos três cursos = 5% x 200 = 10 
 
 
 
 
Inglês Francês 
 
 
z 
p q 
 
10 
 
x y 
 
 
 
r 
 
Alemão 
 
 
 
 
Do diagrama, temos: 
p + q + r + x + y + z + 10 = 200 => p + q + r = 190 – (x + y + z) (I) 
 
 
Curso de Alemão = 100 = r + x + y + 10 => r + x + y = 90 
Curso de Francês = 60 = q + z + y + 10 => q + z + y = 50 
Curso de Inglês = 80 = p + x + z + 10 => p + x + z = 70 
Somando os três: p + q + r + 2 (x + y + z) = 210 (II) 
 
 
Substituindo (I) em (II), teríamos: 
 
190 – (x + y + z) + 2 (x + y + z) = 210 => x + y + z = 20 (número de alunos 
matriculados em dois cursos simultaneamente) 
 
 
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Número de alunos matriculados em mais de um curso: 
Número de alunos matriculados em dois cursos 20 
Número de alunos matriculados em três cursos 10 
Número de alunos matriculadosem mais de um curso 30 
 
 
GABARITO: A 
 
4. Resolução de Questão: foi solicitada, no fórum de dúvidas, a 
resolução da seguinte questão: 
 
(AFC-STN-2002-Esaf) Se Iara não fala italiano, então Ana fala 
alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala 
dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas 
Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não 
fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, 
 
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. 
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. 
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. 
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. 
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. 
 
 
Resolução 
 
1. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. 
Tipo de Proposição: Condicional 
 
 
p q ~q ~p 
 
 
p = Iara não fala italiano 
q = Ana fala alemão 
p q => Iara não fala italiano Ana fala alemão 
 
 
~p = Iara fala italiano 
~q = Ana não fala alemão. 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => Ana não fala alemão Iara fala italiano 
 
 
2. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou 
Débora fala dinamarquês. 
Tipo de Proposição: Condicional 
 
 
p q ~q ~p 
 
 
p = Iara fala italiano 
 
 
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q = r v s = ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês 
(disjunção exclusiva) 
 
p q => Iara fala italiano ou Ching fala chinês ou Débora 
fala dinamarquês 
 
 
~p = Iara não fala italiano 
 
 
Relembrando (negação da disjunção exclusiva): 
Proposição Negação 
r v s r ↔ s 
~q = ~(r v s) = Ching fala chinês se e somente se Débora fala dinamarquês 
 
 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => (Ching fala chinês se e somente se Débora fala 
dinamarquês) Iara não fala italiano 
 
3. Se Débora fala dinamarquês, (então) Elton fala espanhol. 
Tipo de Proposição: Condicional 
 
 
p q ~q ~p 
 
p = Débora fala dinamarquês 
q = Elton fala espanhol 
p q => Débora fala dinamarquês Elton fala espanhol 
 
 
~p = Débora não fala dinamarquês 
~q = Elton não fala espanhol. 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês 
 
4. Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que 
Francisco não fala francês 
 
 
É o mesmo que dizer: 
Elton fala espanhol se e somente se for mentira que Francisco não 
fala 
Francês. 
 
Ou ainda: Elton fala espanhol se e somente se Francisco fala 
Francês. 
 
 
5. Informação para resolver a questão: Francisco não fala francês 
e 
Ching não fala chinês. 
De acordo com o item 4: 
Elton fala espanhol se e somente se Francisco fala Francês. 
 
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Logo, como “Francisco não francês” pode-se concluir que Elton não 
fala espanhol. 
 
 
De acordo com o item 3: 
Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês 
Logo, pode-se concluir que Débora não fala dinamarquês. 
 
 
De acordo com o item 2: 
Ching fala chinês se e somente se Débora fala dinamarquês Iara não 
fala italiano. 
 
No antecedente da proposição condicional, temos uma proposição bicondicional: 
Ching fala chinês se e somente se Débora fala dinamarquês. 
 
 
Tabela verdade da bicondicional: 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
No caso concreto da questão, estamos na linha 4: 
Ching fala chinês (F) se e somente se Débora fala dinamarquês (F) => 
logo, a bicondicional é verdadeira e, conseqüentemente: 
 
[Ching fala chinês (F) se e somente se Débora fala dinamarquês (F)](V) 
Iara não fala italiano. 
Logo, pode-se concluir que Iara não fala italiano. 
 
De acordo com o item 1: Iara não fala 
italiano Ana fala alemão 
Logo, pode-se concluir que Ana fala alemão. 
 
 
Conclusões: 
1. Francisco não fala francês. 
2. Ching não fala chinês. 
3. Elton não fala espanhol. 
4. Débora não fala dinamarquês. 
5. Iara não fala italiano. 
6. Ana fala alemão. 
 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
 
a) Iara não fala italiano (V) e Débora não fala dinamarquês (V) = (V). 
(V) ^ (V) = (V). A alternativa está CORRETA. 
 
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b) Ching não fala chinês (V) e Débora fala dinamarquês (F). 
(V) ^ (F) = (F). A alternativa está INCORRETA. 
 
 
c) Francisco não fala francês (V) e Elton fala espanhol (F). 
(V) ^ (F) = (F). A alternativa está INCORRETA. 
 
 
d) Ana não fala alemão (F) ou Iara fala italiano (F). 
(F) v (F) = (F). A alternativa está INCORRETA. 
 
 
e) Ana fala alemão (V) e Débora fala dinamarquês (F). 
(V) ^ (F) = (F). A alternativa está INCORRETA. 
 
 
GABARITO: A 
 
 
5. Curiosidades matemáticas: para descontrair um pouco. 
1 x 8 + 1 = 9 
12 x 8 + 2 = 98 
123 x 8 + 3 = 987 
1234 x 8 + 4 = 9876 
12345 x 8 + 5 = 987 65 
123456 x 8 + 6 = 987654 
1234567 x 8 + 7 = 9876543 
12345678 x 8 + 8 = 98765432 
123456789 x 8 + 9 = 987654321 
 
6. Diagramas Lógicos: uma aluna solicitou que eu
 disponibilizasse mais questões de 
diagramas lógicos. Vou colocar mais uma por aula, para que 
possamos treinar mais. 
 
(Inédita) A ASBAC (Associação dos Servidores do Banco Central), 
tradicional clube de Brasília, possui 60 crianças associadas, das quais 
40 gostam de futebol, 30 gostam de tênis e 20 gostam de voleibol. 
Dentre as crianças que gostam de futebol, 10 não gostam de nenhum outro 
esporte, 3 gostam dos três esportes e 14 gostam também de tênis, mas 
não gostam de voleibol. Sabendo- se que há apenas 1 criança que gosta 
de tênis e voleibol, mas não gosta de futebol, assinale que indica 
quantas crianças não gostam de nenhum dos três esportes: 
 
a) zero 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
 
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Resolução 
 
 
A partir do enunciado, obtemos o seguinte diagrama lógico: 
 
 
 
Futebol Tênis 
 
10 t 
41 y 
 
 
3
x 1
 
 
 
z 
Voleibol 
 
 
 
t => crianças que não gostam de nenhum dos três esportes 
 
 
Total = 60 = x + y + z + 10 + 14 + 3 + 1 + t =28 + x + y + z + t 
 
 
Futebol = 40 = 10 + 14 + 3 + x => x = 40 – 27 = 13 
Tênis = 30 = 14 + 3 + 1 + y => y = 30 – 18 = 12 
Voleibol = 20 = x + z + 3 + 1 = 13 + z + 3 + 1 => z = 20 – 17 = 3 
 
 
Total = 28 + x + y + z + t = 60 => 28 + 13 + 12 + 3 + t = 60 => 
t = 60 – 56 => 
t (crianças que não gostam de nenhum dos esportes) = 4 
 
 
GABARITO: E 
 
Ufa! Terminamos a sessão de dúvidas que, na primeira aula, já 
começou movimentada. Foram 13 páginas até aqui. Vamos a parte 
principal da aula de hoje? Então se prepare para a
 trigonometria, matrizes, determinantes e 
sistemas lineares. 
============================================== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Trigonometria 
 
 
4.1. Conceitos Iniciais 
 
Ângulo: é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não 
contidas na mesma reta. 
 
 
Exemplo:A 
 
 
 
β 
O 
 
B 
 
Lados do ângulo: OA e OB. 
Vértice do ângulo: O 
Ângulo: Ô ou AÔB ou BÔA ou β 
Unidade de Medida: º (graus) ou radianos (rd) 
 
Ângulos Suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma de 
suas medidas é 180º. 
 
 
Exemplo: β + θ = 180º 
A 
 
 
βθ 
 
O B 
 
Ângulo Reto: ângulo cuja medida é igual a 90º. 
 
 
Exemplo: β = 90º 
 
 
 
 
 
β 
 
 
Ângulo Agudo: ângulo cuja medida é menor que 90º. 
 
 
Exemplo: β < 90º 
 
 
 
 
β 
 
 
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Ângulo Obtuso: ângulo cuja medida é maior que 90º e menor que 180º. 
Exemplo: 90º < β < 180º 
 
 
 
 
 
β 
 
 
Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares quando a soma 
de suas medidas é 90º. 
Exemplo: β + θ = 90º 
 
 
 
 
 
β 
θ 
 
Triângulo: a reunião de três segmentos de reta não colineares 
forma um triângulo. 
Exemplo: Triângulo ABC 
 
 
A 
 
δ 
 
 
θ 
β 
C B 
 
 
 
 
Vértices: A, B e C 
Lados: AB, BC e CA 
Ângulos: δ, β e θ => δ + β + θ = 180º 
 
 
Triângulo Retângulo: é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto 
(= 90º). 
Exemplo: δ = 90º 
 
 
 
θa 
 
b 
δ 
β 
 
c 
 
 
 
 
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Considerando o ângulo β, teríamos: 
a = Hipotenusa b = Cateto 
oposto c = Cateto adjacente 
4.2. Razões Trigonométricas em um Triângulo Retângulo 
Seno = sen; Cosseno = cos; Tangente = tg; Cotangente = cotg 
Considerando o triângulo retângulo do item anterior: 
 
 
sen 
 
 
CatetoOposto b 
 =β 
Hipotenusa 
= 
a 
 
cos 
 
CatetoAdjacente c 
 =β 
Hipotenusa 
= 
a 
 
 
 CatetoOposto bβ = = 
gt 
CatetoAdjacente c 
b 
 
tg β 
 
 
senβ= cos β 
 
= a b= 
c c 
a 
 
cot g 
CatetoAdjacente c 
 
=β 
CatetoOposto 
= 
b 
c 
 
cot gβ cos β a c = 
senβ 
 
 
1
tg β = 
cot g β 
= 
b 
= 
b 
a 
 
 
 
 
 
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (I) 
 
 
Dividindo (I) por a2 => 1 = b2/a2 + c2/a2 = (b/a)2 + (c/a)2 => 
1= (seno β)2 + (cosseno β)2 => 
 
 
(seno β)2 + (cosseno β)2 = 1 (II) => IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Outras relações: 
 
 
I – Relação entre cosseno e tangente: 
 
 
Dividindo (II) por (cosseno β)2, temos: 
 
 
(seno β)2/(cosseno β)2 + 1 = 1/(cosseno β)2 => 
(tangente β)2 + 1 = 1/(cosseno β)2 => 
(cosseno β)2 = 1/[(tangente β)2 + 1] (III) 
 
 
II – Relação entre seno e tangente: 
 
 
Dividindo (II) por (seno β)2, temos: 
 
 
1 + (cosseno β)2/(seno β)2 = 1/(seno β)2 => 
1 + 1/(tangente β)2 = 1/(seno β)2 => 
[(tangente β)2 + 1]/ /(tangente β)2 = 1/(seno β)2 => 
(seno β)2 = (tangente β)2 /[(tangente β)2 + 1] (IV) 
 
 
Como β + θ = 90º (β e θ são complementares), temos as seguintes relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s e n β 
 
 
 
 
θa 
 
b 
δ 
β 
 
c 
= c o s θ b= 
a 
 
c o s β 
 
= s e nθ c= 
a 
 
tg tgβ ×
 θ 
 
b c
= × = 
c b 
1
 
 
c o t g β × 
 
 
c o t gθ 
 
c b
= × = 
b c 
1
 
tg β 
 
tg β 
 
= c o t gθ 
1
=
 
t gθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.3. Razões Trigonométricas Especiais 
 
 
Partindo do ângulo para achar o valor: 
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 
Seno 0 1 
2 
 
Cosseno 1 3 
 
2 
32 1 0 -1 0 
 
22 
12 0 -1 0 1 
22 
Tangente 0 3 
 
3 
1 3 ∞ 0 -∞ 0 
 
 
Cotangente ∞ 3 1 3 
 
3 
0 -∞ 0 ∞ 
 
 
∞ = infinito 
Partindo do valor para achar o ângulo: 
Ângulo 0 1 
2 
32 1 
 
22 
Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º 
Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º 
 
 
Exemplos: Arco Seno 0 
= 0º Arco Seno (1/2) 
= 30º Arco Cosseno 
(1) = 0º 
 
 
Ângulo 3 1 3 
 
3 
Arco Tangente 30º 45º 60º 
Arco Cotangente 60º 45º 30º 
Limites: 
-1 ≤ seno x ≤ 1 
-1 ≤ cosseno x ≤ 1 
-∞ ≤ tangente x ≤ +∞ 
-∞ ≤ cotangente x ≤ +∞ Reações de pi ( π ) 
=> radianos para graus. 
π =180º 
π 
2 
= 90º 
π 
3 
= 60º 
π 
6 
= 30º 
 
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Ciclo Trigonométrico: 
C 
 
B 
π/2 
D 
P 
P2 
 
 
π 
 
O P1 A 
 
 
 
 
 
3π/2 
 
OA => eixo dos cossenos (sentido positivo => O -> A) 
OB => eixo dos senos (sentido positivo => O -> B) 
C => eixo das tangentes (sentido positivo => o mesmo do eixo dos senos) 
D => eixo das cotangentes (sentido positivo => o mesmo do eixo dos 
cossenos) 
 
 
Cosseno P = OP1 
Seno P = OP2 
 
Se definirmos sen α, cos α, tg α e cotg α no ciclo trigonométrico: α 
está no intervalo de 0 a 2π radianos. Ou seja: 
 
 
0 = 2π = 4π = 6π = 2nπ 
π/2 = 2π + π/2 = 4π + π/2 = 6π + π/2 = 2nπ + π/2 
π = 3π = 5π = 2nπ + π 
3π/2 = 2π + 3π/2 = 4π + 3π/2 = 6π + 3π/2 = 2nπ + 3π/2 
 
 
Quadrantes: 
 
 
Primeiro Quadrante: de 0 a π/2 
Segundo Quadrante: de π/2 a π 
Terceiro Quadrante: de π a 3π/2 
Quarto Quadrante: de 3π/2 a 2π 
 
 
Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x 
1 positivo positivo positiva positiva 
2 positivo negativo negativa negativa 
3 negativo negativo positiva positiva 
4 negativo positivo negativa negativa 
 
 
 
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Tabela de valores: 
X Seno x Cosseno X 
0 = 0º 0 1 
π/6 = 30º 1 3 
2 2 
π/3 = 60º 3 1 
2 2 
π/2 = 90º 1 0 
2π/3 = 120º 3 − 
1 
2 2 
5π/6 = 150º 1 − 3 
2 2 
π = 180º 0 -1 
7π/6 = 210º 
− 
1 − 3 
2 2 
4π/3 = 240º − 3 − 
1 
2 2 
3π/2 = 270º -1 0 
5π/3 = 300º − 3 1 
2 2 
11π/6 = 330º 
− 
1 3 
2 2 
2π = 360º 0 1 
 
 
Exemplos: 
 
 
senα = 0 => α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquer 
senα = 1 => α = π/2, 2π + π/2, ... = nπ + π/2, n inteiro qualquer senα 
= -1 => α = 3π/2, 2π + 3π/2, ... = nπ + 3π/2, n inteiro qualquer 
 
cos α = 0 => α = π/2, 3π/2, 5π/2,... = nπ + π/2, n inteiro qualquer 
cos α = 1 => α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer 
cos α = -1 => α = π, 3π, 5π, ... = 2nπ + π, n inteiro qualquer 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.4. Transformações Cosseno da soma: cos (a + b) = cos 
a . cos b – sen a . sen b Como ficaria o cos (a + a)? 
cos (a + a) = cos 2a = cos a . cos a – sen a . sen a = cos2 a – sen2 a (I) 
Como sen2 a + cos2 a = 1 => sen2 a = 1 – cos2 a (II) 
 
 
Substituindo (II) em (I): 
cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a) = 2 . cos2 a – 1 
ou 
Como sen2 a + cos2 a = 1 => cos2 a = 1 – sen2 a 
(III) Substituindo (III) em (I): 
cos 2a = 1 – sen2 a – sen2 a = 1 – 2 . sen2 a Cosseno da 
diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b Seno da 
soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
Como ficaria o sen (a + a)? 
sen (a + a) = sen 2a = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a 
 
 
Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
 
Curiosidade: A fórmula do seno da soma me faz lembrar um professor meu 
do antigo “segundo grau” (é, estou ficando velho), que dizia (para 
memorizar a fórmula): 
 
 
“Minha terra tem palmeiras ondecanta o sabiá, seno a cosseno b, 
seno 
b cosseno a”. E aí, sentiu a sonoridade? Risos. Tangente da 
soma: tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a . tg b) Como ficaria a 
tg (a + a)? 
tg (a + a) = tg 2a = (tg a + tg a)/(1 – tg a . tg a) 
 
 
tg 2a = 2 . tg a/(1 – tg2 a) 
 
Tangente da diferença: tg (a - b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a . tg b) 
Essas são pouco prováveis de serem cobradas, mas, por via das dúvidas: 
Cotangente da soma: 
cotg (a + b) = (cotg a . cotg b - 1)/(cotg a + cotg b) 
 
 
Cotangente da diferença: 
cotg (a - b)=(cotg a . cotg b + 1)/(cotg b - cotg a) 
 
 
 
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5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 
 
 
5.1. Matrizes 
 
 
5.1.1. Introdução 
 
Uma matriz representa um conjunto de elementos representados em 
linhas e colunas. Cada elemento da matriz está
 associado a uma posição, que é identificada da 
seguinte forma: 
 
m = número de linhas da matriz n 
= número de colunas da matriz a 
= elemento da matriz 
 
 
a11 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 1. 
a12 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 2. 
..... 
axy = representa o elemento localizado linha x e na coluna y. Ordem de uma 
matriz: representa a quantidade de linhas e colunas da matriz. Uma matriz de m 
linhas e de n de colunas é uma matriz de ordem m x n. Exemplos: 
 
 
a11 a12 a13 ... a1n 
 
 
a21 a22 a23 ... a2n 
 
 
a31 a32 a33 ... a3n 
 
... ... ... ... ... 
am1 am2 am3 ... amn 
 
 
 
= Matriz m x n (m linhas e n colunas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 2 
 
6 13 
 
 
4 2 
 
 
= Matriz 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas) 
 
 
3 
 − 7 
 
0 2 3 
 
 
 1 6 8 
 
= Matriz 3 x 3 (3 linhas e 3 colunas) 
 
 
 
 
− 
 5 
0 4
 1− 
 
= Matriz 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) 
 2 
= Matriz 1 x 1 (1 linha e 1 coluna) 
 
3 
 
7 = Matriz 3 x 1 (3 linhas e 1 coluna) 
 
 1
− 
1 
 
 
Podemos, também, identificar uma matriz por sua notação explícita ou por 
sua notação condensada. 
 
 
 3 5 1− 
 
A = 1−
 2
− 
7 => notação explícita 
 
 1 4 9 
 
 
 
1 2 3 
 
A = 2 2 3 => notação explícita 
 
3 3 3 
 
 
Exemplo de notação condensada (supondo a matriz acima): 
 
 
A =(aij)3x3, onde aij = i, se i ≥ j 
j, se i < j 
 
 
5.1.2. Matrizes Especiais 
 
Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, é toda matriz que 
possui uma única linha. 
 
Matriz Coluna: é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, é toda matriz que 
possui uma única coluna. 
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Matriz Nula: é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero. 
 
 
Exemplos: 
A = 0 5 4
 3− 
 
 
 
 => matriz linha 
 
 
 2 
A = => matriz coluna 
 3− 
 
 
0 0 0 
 
A = 0 0 0 => matriz nula 
 
0 0 0 
 
Matriz Quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, o número 
de linhas da matriz é igual ao número de colunas. 
Exemplos: 
 2 1 4 
 
A = 
 1− 
1 3 5 => matriz quadrada de ordem 3 
 
 7 −13 8 
 
 
a11 a12 a13 ... a1n 
 
 
a21 a22 a23 ... a2n 
 
 
a31 a32 a33 ... a3n 
 
... ... ... ... ... 
an1 an2 an3 ... ann 
 
 
 
= matriz quadrada de ordem n 
(n linhas e n colunas) 
 
 
 
 
 
Diagonal Principal: é o conjunto de elementos de uma matriz 
quadrada de ordem n que possui dois índices iguais. 
 
 
Na matriz n x n acima: Diagonal Principal = {a11, a22, a33, ...., ann} 
 
Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada 
de ordem n cuja soma dos índices é igual a (n + 1). 
 
 
Na matriz n x n acima: Diagonal Secundária = {a1n, a2(n-1), a3(n-2), ...., an1} 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
 
 
 
Diagonal Secundária = {4,3,7} 
 
 2 1 4 
 
A = 
 1− 
1 3 5 => matriz quadrada de ordem 3 
 
 7 
 
−13 8 
 
 
 
Diagonal Principal = {2,3,8} 
 
 
 
Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos 
que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. 
 
 
Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (In): é toda 
matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. 
 
 
Exemplos: 
 
 
2 0 0 
 
A = 0 3 0 
 
0 0 8 
 
 
 
 
=> matriz diagonal 
 
 
 
 
 
1 0 0 
 
A = 0 1 0 => matriz unidade ou identidade (I3) 
 
0 0 1 
 
 
Matriz Triangular Superior: é toda matriz em que todos os elementos 
acima da diagonal principal são iguais a zero. 
 
 
Matriz Triangular Inferior: é toda matriz em que todos os elementos 
abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
1 0 0 
 
A = 3 1 0 => matriz triangular superior 
 
2 5 1 
 
 
 
 
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1 5 3 
 
A = 0 2 7 => matriz triangular inferior 
 
0 0 3 
 
Nota: Se uma matriz for triangular superior e triangular inferior, ela será 
uma matriz diagonal. 
 
 
Matriz Escalar: é uma matriz diagonal onde todos os elementos são iguais. 
 
 
Exemplo: 
 
 
2 0 0 
 
A = 0 2 0 => matriz escalar 
 
0 0 2 
 
 
5.1.3. Igualdade 
 
 
Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais quando aij = bij qualquer 
que seja i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 2, 3, ..., n}. Ou seja, duas 
matrizes serão iguais quando forem de mesma ordem e
 os elementos de posições correspondentes forem iguais. 
 
 
Exemplo: 
 
 
1 2− 0 
 
 
1 −2 0 
 
A = 3 4 −1 = B = 3 4 1− 
 
5 7
 3− 
5 7 3− 
 
a11 = b11 = 1; a12 = b12 = -2; a13 = b13 = 
0; a21 = b21 = 3; a22 = b22 = 4; a23 = b23 = 
-1; a31 = b31 = 5; a32 = b32 = 7; a33 = b33 
= -3; 
 
A igualdade de matrizes costuma ser cobrada em prova da seguinte maneira: 
Exemplo: Determine x e y de forma que a igualdade das matrizes abaixo 
seja verdadeira: 
 
 
 x + y 
 
 
1 4 1 
 = 
 4 x − y 4 2 
 
 
 
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Como as matrizes são iguais, temos: 
x + y = 4 => x = 4 – y (I) 
x – y = 2 (II) 
 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
4 – y – y = 2 => 2y = 2 => y = 1 (III) 
 
 
Substituindo (III) em (I): x = 4 – y = 4 – 1 => x = 3 
 
 
5.1.4. Adição 
 
 
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a soma A + B será uma matriz C 
= (cij)mxn, tal que cij = aij + bij, para todo i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 
2, 3, ..., n}. Ou seja, a soma de duas matrizes A e B de ordem m x n 
será uma matriz C de mesma ordem em que cada elemento
 será a soma dos elementos correspondentes das matrizes A 
e B. 
 
 
Exemplo: 
1 2 2 0 
 
 
 
1+ 2 2 + 0 3 2 
 + = = 
3 4 4 5 3 + 4 4 + 5 7 9 
 
 
1 
 4− 
 
 
 1− 4 3− 
 
 2 + 3 = 2 + 3 = 5 
 
 3 
 1− 
 
 3 −1 2 
 
 
Nota: Só é possível somar matrizes de mesmonúmero de 
linhas e mesmo número de colunas. 
 
 
Propriedades da adição de matrizes m x n: 
I. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
II. Comutativa: A + B = B + A 
III. Elemento neutro: A + Matriz Nula = A 
IV. Elemento simétrico: A – A = Matriz Nula 
 
 
Matriz Oposta: Dada a matriz A = (aij)mxn, denomina-se oposta de A 
(-A) a matriz B = (bij)mxn, tal que A + B = 0. 
Exemplo: 
 
 
1
 2
− 
 
 
 1− 2 
A = ⇒ − A = 
4 3 
 4
− 
−3 
 
 
 
 
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5.1.5. Produto de Número por Matriz 
 
 
Dados um número k e uma matriz A = (aij)mxn, o produto kA será uma matriz 
B 
= (bij)mxn, tal que bij = k bij, qualquer que seja i = {1, 2, 3, ..., m} e j = 
{1, 2, 
3, ..., n}. Ou seja, a multiplicação de uma matriz A de ordem m x n 
por um número k será uma matriz B formada pelos elementos de A, todos 
multiplicados por k. 
 
 
Exemplo: 
 
 
1 −2 1× 4 2− × 4 4 
 
 
−8 
A = 4× ⇒ B = = 
4 3 4× 4 3× 4 1 6 12 
 
Propriedades do produto de um número por uma matriz m x n (k 
e p são números reais): 
 
 
I. Associativa: k x (p x B) = (kp) x B 
II. Distributiva em relação à adição: k x (A + B) = k x A + k x B 
III. Dist. em relação à adição de números: (k + p) x A = k x A + p x A 
IV. Elemento neutro: 1 x A = A 
 
 
5.1.6. Produto de Matrizes 
 
 
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp, o produto AB será uma matriz C 
= (cij)mxp, tal que 
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k +....+ ain . bnk 
para todo i = {1, 2, 3, ..., m} e k = {1, 2, 3, ..., p}. 
Observações: 
1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas 
de A for igual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem 
m x n e B da ordem n x p. 
 
 
2) A matriz C, originada do produto AB, será uma matriz da ordem m 
x p 
(mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da 
matriz 
B). 
 
 
3) O elemento cik da matriz C = AB será obtido de acordo com o 
seguinte procedimento: 
 
 
(I) Toma-se a linha i da matriz A: ai1; ai2; ai3; ....; ain (n elementos) 
 
 
 
 
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(II) Toma-se a coluna k da matriz B: b1k 
b2k 
b3k 
.... 
bnk (n elementos) 
 
 
(III) Coloca-se a linha i da matriz A na “vertical”, ao lado da coluna k da 
matriz 
B: 
ai1 b1k 
ai2 b2k 
ai3 b3k 
.... .... 
ain bnk (n elementos) 
 
 
(IV) Calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado: 
ai1 x b1k 
ai2 x b2k 
ai3 x b3k 
.... .... 
ain x bnk 
 
 
(V) Somam-se esses n produtos, obtendo cik: 
cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k +....+ ain . bnk 
 
 
Exemplos: 
 
 
)1 
0 1 
A = 
2 3 
1 2 
B = 
3 4 
Calcular AB. 
 
 
I) Primeira linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “B”: 
0 x 1 = 0 
1 x 3 = 3 
c11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 0 x 1 + 1 x 3 = 3 
 
 
II) Primeira linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “B”: 
0 x 2 = 0 
1 x 4 = 4 
c12 = a11 . b12 + a12 . b22 = 0 x 2 + 1 x 4 = 4 
 
 
 
 
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III) Segunda linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “B”: 
2 x 1 = 2 
3 x 3 = 9 
c21 = a21 . b11 + a22 . b21 = 2 x 1 + 3 x 3 = 11 
 
 
IV) Segunda linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “B”: 
2 x 2 = 4 
3 x 4 = 12 
c22 = a21 . b12 + a22 . b22 = 2 x 2 + 3 x 4 = 16 
 
 
 3 4 
AB = C = 
1 1 16 
 
 
)2 
0 1 
A = 
2 3 
1 2 
B = 
3 4 
 
 
Calcular BA. 
 
 
I) Primeira linha de “B” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
1 x 0 = 0 
2 x 2 = 3 
c11 = b11 . a11 + b12 . a21 = 1 x 0 + 2 x 2 = 4 
 
 
II) Primeira linha de “B” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
1 x 1 = 1 
2 x 3 = 6 
c12 = b11 . a12 + b12 . a22 = 1 x 1 + 2 x 3 = 7 
 
 
III) Segunda linha de “B” (na vertical) x Primeira coluna de “A”: 
3 x 0 = 0 
4 x 2 = 8 
c21 = b21 . a11 + b22 . a21 = 3 x 0 + 4 x 2 = 8 
 
 
IV) Segunda linha de “B” (na vertical) x Segunda coluna de “A”: 
3 x 1 = 3 
4 x 3 = 12 
c22 = b21 . a12 + b22 . a22 = 3 x 1 + 4 x 3 = 15 
 
 
 
 
 
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4 7 
BA = C = 
8 15 
 
 
Portanto, percebe-se que AB é diferente de BA. 
 
ATENÇÃO!!! A multiplicação de matrizes não possui a propriedade 
comutativa. 
 
 
Propriedades da multiplicação de matrizes: 
I. Associativa: (A . B) . C = A . (B . C) 
 
II. Distributiva em relação à adição (à esquerda): 
A . (B + C) = A . B + A . C 
 
 
III. Distributiva em relação à adição (à direita): 
(A + B) . C = A . C + B . C 
 
 
IV. Elemento neutro: A . In = A, onde In é a matriz identidade de ordem n. 
Logo, A . A-1 = In (A
-1 é a matriz inversa de A, e será vista adiante). 
 
 
V. (kA) . B = A . (kB) = k . (AB) 
 
 
VI. Quando A . B = 0, não implica, necessariamente, que A = 0 ou B = 0. 
 
 
5.1.7. Matriz Transposta 
 
 
Uma matriz B = (bji)nxm é transposta de uma matriz A = (aij)mxn, se aij 
= bji, qualquer que seja i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 2, 3, ..., 
n}. Repare que a matriz B possui n linhas e m colunas, enquanto a que a 
matriz A possui m linhas e n colunas. 
 
Ou seja, matriz transposta B (representada At) representa a 
inversão dos elementos de A. O que era linha passa a ser coluna e o que 
era coluna passa a ser linha. 
 
 
Exemplos: 
 
 
1
 2
− 
A = 
 
 
 
⇒
 t
A 
 
 
 1 4 
= 
 
4 3 2
− 
3 
 1 4 2 1 3 1− 
 
A 3 8 7 
 
At 4 8 6 
= => = 
 
 1 − 6 5 
2 7 5 
 
 
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a11 = a
t
11 = 1; a12 = a
t
21 = 4; a13 = a
t
31 = 2 
a21 = a
t
12 = 3; a22 = a
t
22 = 8; a23 = a
t
32 = 7 
a31 = a
t
13 = -1; a32 = a
t
23 = 6; a33 = a
t
33 = 
5 
 
 
Propriedades (k é um número real): 
 
 
I. (At)t = A 
II. (A + B)t = At + Bt 
III. (kA)t = k . At 
IV. (AB)t = Bt . At 
 
Matriz Simétrica: Se a transposta At da matriz A for igual a própria 
matriz A, então At é uma matriz simétrica de A (só ocorre se a matriz A for 
quadrada). 
 
 
Exemplo: 
 
 
 1
 2
− 
A = 
 
 
 
 
 
 
⇒
 t
A 
 
 
 
 
 
 1 2− 
= 
 => matrizes simétricas 
 2
− 
3 
 2
− 
3 
 
Matriz Anti-Simétrica: corresponde a toda matriz quadrada A, de ordem n, 
tal que At = - A, ou seja, os elementos simetricamente dispostos em 
relação à diagonal principal são opostos. 
 
 
Exemplo: 
 
 
0
 1
− 
A = 
 
 
 
 
 
 
⇒
 t
A 
 
 
 
 
 
 0 1 
= 
 => A
t 
= - A => anti-simétrica 
1 0 1
− 
0 
 
 
5.1.8. Matriz Inversível 
 
Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz 
B tal que: AB = BA = In (matriz identidade). 
 
 
Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida 
como 
matriz inversa, sendo representada por A-1. 
 
Caso a matriz quadrada A não tenha matrizinversível, ela é denominada 
matriz singular. 
 
 
Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
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3 7 
A = 
5 11 
Solução : 
 
A 1
− 
 
 
A I× = 
2 
 
a b 3 7 1 0 
⇒ = ⇒ 
c
 d 5
 
11 0 1 
3a + 5b 7a +11b 1 0 
⇒ = 
3 c + 5d 7c +11d 0 1 
 
 
3a + 5b = 1 (I) 
7a + 11b = 0 => a = -11b/7 (II) 
 
 
Substituindo (II) em (I): 
3. (-11b/7) + 5b = 1 => (-33 + 35)b = 7 => b = 7/2 (III) 
 
 
Substituindo (III) em (II): 
a = -11 x (7/2)/7 = - 11/2 
 
 
3c + 5d = 0 => c = -5d/3 (IV) 
7c + 11d = 1 (V) 
 
 
Substituindo (IV) em (V): 
7 x (-5d/3) + 11d = 1 => (-35 + 33)d = 3 => d = -3/2 (VI) 
 
 
Substituindo (VI) em (IV): 
c = -5 x (-3/2)/3 = 5/2 
 
 
 1
− 
 
 
71 
 
A 1
− 
 2 2 
 
= 
 5 3− 
 
2 2 
 
 
 
 
5.2. Determinantes 
 
 
5.2.1. Definições e Propriedades 
 
 
Para obter o determinante de uma matriz quadrada A (det A), de ordem n (n 
≤ 
3), devemos adotar o seguinte procedimento: 
 
 
1) n = 1. Nesta situação, o determinante de A é o único elemento de A. 
A = [a11] => det A = a11 
 
 
 
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Exemplo: A = [23] => det A = 23 
 
2) n = 2. Nesta situação, o determinante de A será o produto dos 
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
 
 
 a a 
A = 
11 12 => det A = a 11 . a22 - a12 . a21 
 a a 21 22 
 
- + 
 
Exemplo: 
3 1− 
A = ⇒ det A = 3× 2 − 4× 
( 1− 
4 2 
cos x senx 
) =10 
 
 
 
B = ⇒ det B = cos .x cos y − sen .x seny = cos( x + y) 
 seny cos y 
 
 
3) n = 3. Nesta situação, temos: 
 a a a 
 11 12 13 
 
a a a A = 
 21 22 23 
 a a a 
 31 32 33 
 
 
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 – 
- a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 
 
Para memorizar esta fórmula, vamos adotar o seguinte procedimento, também 
conhecido como Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3: 
 
 
a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas 
 
 
 a a a 
 
 
 
a a 
 11 12 13 11 12 
 
a a a a a A = 
 21 22 23 21 22 
a a a a a 
 
31 32 33 
31 32 
 
 
– + 
 
 
b) Os termos precedidos do sinal “+” são obtidos multiplicando-se os 
elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal: 
a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 
 
 
 
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c) Os termos precedidos do sinal “-” são obtidos multiplicando-se os 
elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária: 
- a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 
 
 
Exemplo: 
1 3 4 
 
A = 5 2 3− 
 
1 4 2 
 
 
1 3 4 1 3 
 
det A = 5 2 −3 5 2 =1x2x2 + 
3x(−3) 1x 
+ 4x5x4 − 4x2 1x −1x(−3)x4 − 3 5x x2 
 
1 4 2 1 4 
 
 
det A = 4 − 9 + 80 − 8 +12 − 30 = 49 
 
 
Outra forma de memorizar: 
I) Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando-se os 
elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: 
 
 
 a a a 
 11 12 13 a13 x a21 x a32 
 
 
 A 
21 22 23 
= 
 
a a a 
 
a12 x a23 x a31 
 a a a 
 31 32 33 
 
 
 
 
a11 x a22 x a33 
 
 
II) Os termos precedidos pelo sinal “-” são obtidos multiplicando-se os 
elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: 
 
 
 
 a a a 
 
a13 x a22 x a31 
 
 
 11 12 13 a11 x a32 x a23 
 A 
21 22 23 
= 
 
a a a 
 
 a a a 
 31 32 33 a12 x a21 x a33 
 
 
 
 
 
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Propriedades dos determinantes (IMPORTANTE!!): 
 
 
I) det A = det At 
 
 
Exemplos: 
1
 2
− 
A = 
 
⇒
 t
A 
 1 4 
= 
 
4 3 2
− 
3 
det A = 3 1× − (−2)× 4 = 3 + 8 = 11 
det
 t
A 
 
= 1× 3 − 4× 
( 2− 
 
) = 3 + 8 =11 
 
 
 1 4 2 1 3 1− 
 
A 3 8 7 
 
At 4 8 6 
= => = 
 
 1
− 
6 5 2 7 5 
det A = 1×8×5 + 4× 7 × (−1) + 3× 6× 2 − 2×8× ( 1− 
det A = 40 − 28 + 36 +16 − 42 − 60 = −40 
) −1× 6 × 7 − 3× 4 ×5 ⇒ 
 
 
 
 
det
 t
A 
 
 
 
= 1×8×5 + (−1) × 4× 7 + 3× 6× 2 − ( 1− 
 
 
 
)×8× 2 −1× 6× 7 − 4×3×5 ⇒ 
det
 t
A 
 
= 40 − 28 + 36 +16 − 42 − 60 = 4− 0 
 
II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) 
de uma matriz A, de ordem n, forem todos nulos, então det A = 0. 
 
 
Exemplos: 
0 0 
A = 
4 3 
det A = 3× 0 − 0× 4 = 0 
 
 
0 4 2 
 
A = 0 8 7 
 
0 6 5 
det A = 0×8×5 + 4× 7× 0 + 0× 6× 2 − 2×8× 0 − 0× 6× 7 − 0 × 4× 5 = 0 
 
III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, 
por um número k, o determinante na nova matriz A´ será o 
produto de k pelo determinante de A. det A´= k . det A. Também é 
válida para divisão por um número k. Neste caso, teríamos: det A´= 
(1/k) . det A. 
 
 
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Exemplos: 
2 1 
A = 
4 3 
det A = 3× 2 −1× 4 = 2 
 
k = 2(colun 1a ) 
 
2× 2 1 4 1 
Á = = 
4× 2 3 8 3 
det Á = 4× 3 −1×8 = 4 = 2x2 
 
 
1 4 2 
 
A = 2 8 7 
 
3 6 5 
det A = 1×8×5 + 4× 7 ×3 + 2× 6× 2 − 2×8× 3 −1× 6× 7 − 2 × 4×5 ⇒ 
⇒ det A = 40 + 84 + 24 − 48 − 42 − 40 =18 
 
k = −1(linh 1a ) 
 
1× (−1) 4× 
( 1− 
 
) 2× 
( 1− 
 
) 1−
 4− 
 
−2 
 
Á = 2 8 7 = 2 8 7 
 
 3 6 5 3 6 5 
det Á = (−1) ×8× 5 + 
( 4− 
) × 7× 3 + 
( 2− 
)× 6× 2 − 
( 2− 
)×8×3 − 
( 1− 
)× 6 × 7 − 2× 
( 4− 
) ×5 ⇒ 
⇒ det Á =
 4− 
0 − 84 − 24 + 48 + 42 + 40 = 1− 8 
 
Nota: Como conseqüência da propriedade acima, se multiplicarmos toda 
a matriz por um número k, det (kA) = kn . det A, onde n é a 
ordem da matriz quadrada A. 
Exemplo: 
2 1 
A = , n = 2 
4 3 
det A = 3× 2 −1× 4 = 2 
 
4 2 
Á = 2.A = 
8 6 
det Á = 4× 6 − 2×8 = 24 −16 = 8 = 22 × 2 
 
IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de 
posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), 
obteremos uma nova matriz A´, tal que: det A´= - det A. 
 
 
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Exemplos: 
2 1 
A = 
4 3 
det A = 3× 2 −1× 4 = 2 
1 2 
Á = 
3 4 
det Á = 4 1× − 3× 2 = 2− 
 
 
1 4 2 
 
A = 2 8 7 
 
3 6 5 
det A = 1×8×5 + 4× 7 ×3 + 2× 6× 2 − 2×8×3 −1× 6× 7 − 2× 4 ×5 ⇒ 
⇒ det A = 40 + 84 + 24 − 48 − 42 − 40 = 18 
 
1 4 2 
 
Á = 3 6 5 
 
2 8 7 
det Á =1× 6× 7 + 3×8× 2 + 4×5× 2 − 2× 6× 2 −1×8×5 − 3× 4× 7 ⇒ 
⇒ det Á = 42 + 48 + 40 − 24 − 40 − 84 = 1− 8 
 
V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui 
duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por 
elementos respectivamente iguais. Portanto, det A = 0. 
Exemplos: 
2 2 
A = 
2 2 
det A = 2× 2 − 2× 2 = 0 
 
1 4 1 
 
A = 2 1 2 
 
3 6 3 
det A =1 1× ×3 + 4× 2×3 + 2× 6 1× −1 1× ×3 −1× 2× 6 − 2× 4 ×3 ⇒ 
⇒ det A = 3 + 24 +12 − 3 −12 − 24 = 0 
 
VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui 
duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por 
elementos respectivamenteproporcionais. Portanto, det A = 0. 
 
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Exemplos: 
2 1 
A = 
2 1 
det A = 2 1× −1× 2 = 0 
 
 
1 4 1 
 
A = 2 8 2 , linha2 = 2× linh 1a 
 
3 6 1 
det A =1×8 1× + 4× 2×3 + 2× 6 1× −1×8×3 −1× 2 × 6 − 2 × 4 1× ⇒ 
⇒ det A = 8 + 24 +12 − 24 −12 − 8 = 0 
 
VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que 
possui um fila que é uma combinação linear das outras filas. Portanto, 
det A = 0. Exemplo: 
 
 
1 2 1 
 
A = 2 5 3 , linha3 = 2xlinh 1a 
 
4 9 5 
 
 
 
 
+ linha2 
 
 
 
det A = 1×5×5 + 2×3× 4 + 2×9 1× −1×5× 4 −1×3×9 − 2× 2 ×5 ⇒ 
⇒ det A = 25 + 24 +18 − 20 − 27 − 20 = 0 
 
VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que 
possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal principal 
iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto 
dos elementos dessa diagonal. 
Exemplo: 
1 0 0 
 
A = 2 5 0 
 
4 9 5 
det A = 1×5×5 + 0× 0× 4 + 2×9× 0 − 0× 5× 4 −1× 0×9 − 2× 0 ×5 ⇒ det A =1×5×5 = 25 
 
IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos 
elementos acima ou abaixo da diagonal secundária iguais a zero. 
Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos 
dessa diagonal 
(secundária) multiplicado por: (-1)n.(n-1)/2, onde n é a ordem da 
matriz quadrada. 
 
 
 
 
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Exemplo: 
1 4 2− 
 
A = 2 5 0 
 
4 0 0 
det A = 1×5× 0 + 4× 0× 4 + 2× 0× ( 2− 
ou 
 
 
 
 
 
) − 
( 2− 
 
 
 
 
 
 
 
)× 5× 4 −1× 0× 0 − 2× 4 × 0 ⇒ det A = 2× 5× 4 = 40 
 
 
 
det A = 
( 1− 
 
3.(3 1− 
) 
) 2 
 
× 
( 2− 
 
) ×5× 4 = 40 
 
 
X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem 
n. det (AB) = det (A).det(B). 
Exemplo: 
2 0 
A = 
2 1 
det A = 2 1× − 0× 2 = 2 
1 2 
B = 
3 4 
det B = 1× 4 − 3× 2 = 2− 
det A× det B = 2× (−2) = 4− 
 
2 0 1 
 
2 2 1× + 0×3 2× 2 + 0× 4 2 4 
.A B = . = = 
2 1 3 4 2 1× +1×3 2× 2 +1× 4 5 8 
det AB = 2×8 − 5× 4 =16 − 20 = 4− 
 
 
Nota: Como A . A-1 = In, pela propriedade acima, temos: 
det(A.A-1)= det(In) => det A . det A
-1 = 1 => 
det A-1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do 
determinante da matriz. Uma outra conseqüência é que uma 
matriz somente terá matriz inversa se o seu determinante for 
diferente de zero. 
 
 
5.2.2. Menor Complementar e Complemento Algébrico ou Cofator 
 
Cofator ou Complemento Algébrico: o cofator ou complemento algébrico 
do elemento aij de uma matriz A é representado por: 
 
Aij = (-1)
i+j . Dij, onde Dij (ou menor complementar) é o determinante da 
matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A. 
 
 
 
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Exemplos de cálculo do menor complementar: 
 
 
)1 
1 3 4 
 
Seja A = 5 2
 3− 
 . Calcule D11, D21 e D31. 
 
1 4 2 
 
 
1 3 4 
 2 3− 
D 
A 
= 5 
 
2 3− 
⇒ 
 
11 
= det 
4 2 
 = 2× 2 − 
( 3− 
) × 4 =16 
 
 
1 
1 
4 2 
3 4 
 3 4 
D 
A 
= 5 
 
2 3− 
⇒ 
 
21 
= det 
4 2
 = 3× 2 − 4× 4 = 1− 0 
 
1 
1 
4 2 
3 4 
 3 4 
A 
= 5 
 
2
 3
− 
 
D 
⇒ 
31 
= det 
2
 3−
 
 = 3× 
( 3− 
 
) − 4× 2 = 1− 7 
 
 
1 4 2 
 
 
2) 
 
Seja 
 
 
 
 
 
7 8 
A = . Calcule D12 e D22. 
4 5 
 
 
7 8 
A = 
⇒ 
4 5 
 
 
 
D 
12 
= 7 
 
7 8 
A = 
⇒ 
4 5 
 
D 
22 
= 5 
 
 
 
Exemplos de cálculo do menor complemento algébrico: 
 
 
1 3 4 
 
1) Seja A = 5 2
 3− 
 . Calcule A11, A21 e A31. 
 
1 4 2 
 
 
 
 
 
 
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1 3 4 
 
−= ⇒ = 
− 
= × − − × = ⇒ = − + × = 
A 5 2 3 
 
2 3 
D det 
11 
 
4 2
 
2 2 ( 3) 4 16 
 
A ( 
1 1) 
11 
1 16 16 
 
1 
1 
4 2 
3 4 
 
 
 
 
 
5 2 3 D 
3 4 
det 
 
3 2 4 4 10 A ( 1)2 
1 
 
( 10) 10 
 + 
 
A = 
 
− ⇒ 
 
21 
= 
 = × − × = − ⇒ 
4 2 
21 
= − × − = 
 
1 
1 
4 2 
3 4 
 3 4 
A 
= 5 
 
2
 3
− 
 
D 
⇒ 
31 
= det 
2
 3−
 
= 3× 
( 3− 
 
) − 4× 2 =
 1
− 
 
⇒7 A 1+ 
31 
= (−1 3) 
× 
( 1− 
 
7) = 1− 
7 
 
 
1 4 2 
 
 
 
2) Seja 
 
 
 
 
7 8 
A = . Calcule A12 e A22. 
4 5 
 
 
7 8 
D 
 
 
A7 ( 1 1) +2 7 7 
54
A 
12 12 
= ⇒ = ⇒ = − × = − 
 
7 8 
D 
 
A5 ( 1)2+2 5 5 
54
A 
22 22 
= ⇒ = ⇒ = − × = 
 
 
 
5.2.3. Matriz dos Cofatores 
 
A matriz dos cofatores da matriz A, denominada A´, é formada pelos 
cofatores encontrados para cada elemento da matriz A. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
7 8 
1) Seja 
 
 
A = . Calcule a matriz do cofatores A´. 
4 5 
 
 
 
 
 
 
 
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7 8 
D 
 
A5 ( 1 1) 1+ 5 5 
54
A 
11 11 
= ⇒ = ⇒ = − × = 
 
7 8 
D 
 
A4 ( 1 1) +2 4 4 
54
A 
12 12 
= ⇒ = ⇒ = − × = − 
 
7 8 
D 
 
A8 ( 1)2 1+ 8 8 
54
A 
21 21 
= ⇒ = ⇒ = − × = − 
 
7 8 
D 
 
A7 ( 1)2+2 7 7 
54
A 
22 22 
= ⇒ = ⇒ = − × = 
 
 5 4− 
Á = 
 8
− 
7 
 
 
1 3 4 
 
2) Seja A = 5 2
 3− 
 . Calcule a matriz dos cofatores A´. 
 
1 4 2 
 
 
1 3 4 
 
−= ⇒ = 
− 
= × − − × = ⇒ = − + × = 
A 5 2 3 
 
2 3 
D det 
11 
 
4 2
 
2 2 ( 3) 4 16 
 
A ( 
1 1) 
11 
1 16 16 
 
1 
1 
4 2 
3 4 
 
 
 
 
 
5 2 3 D 
3 4 
det 
 
3 2 4 4 10 A ( 1)2 
1 
 
( 10) 10 
 + 
 
A = 
 
− ⇒ 
 
21 
= 
 = × − × = − ⇒ 
4 2 
21 
= − × − = 
 
1 
1 
4 2 
3 4 
 3 4 
A 
= 5 
 
2
 3
− 
 D 
⇒ 
31 = det 
2 3−
 
= 3× ( 3− 
 
) − 4× 2 = 1− 
 
⇒7
 
A
 1+ 
31 = 
(−1
 3) × ( 1− 
 
7) = 1− 7 
 
1 4 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 3 4 
 
= − ⇒ = 
− 
= × − − × = ⇒ = − + × = 
 
5 2 3 D 
5 3 
det 
5 2 ( 3) 1 13 A ( 
1 1) 
2 13 13 
 
A 12 1 2 12
 
1 
1 
4 2 
3 4 
 
 
 
 
 
5 2 3 D 
1 4 
det 
 
1 2 4 1 2 A ( 1)2 
2
 
 
( 2) 2 
 
 + 
 
A 
22 1 2 22 
= − ⇒ = 
 
 = × − × = − ⇒ = − × − = − 
 
1 
1 
 
4 2 
 
3 4 
 1 4 
D 
 
 
( 3
− 
 
 
) − 4× 5 = 2− 3 
⇒ 
 
 
32 
= 
( 1− 
)3+2 × 
( 2− 
 
 
3) = 23 
 
A = 5 2 3− 
⇒ 
 
32 = det 5 3−
 = 1× A 
 
 
1 4 2 
 
 
1 3 4 
 
5 2 3 D 
5 2 
det 
 
5 4 2 1 18 A ( 
1 1) 
3 18 18 
 
 + 
=A − ⇒ 
 
13 
=
 
 = × − × = ⇒ 
1 4 
13 
= − × = 
1 
1 
 
4 2 
 
3 4 
 
5 2 3 D 
1 3 
det 
 
1 4 3 1 1 A ( 1)2 3 1 1 
 
 + 
 
A 
23 1 4 23 
= − ⇒ = 
 
 = × − × = ⇒ = − × = − 
 
1 
1 
 
4 2 
 
3 4 
 1 3 
D 
 
 
⇒ 
33 
= 
( 1− 
)3 3
+ 
 
 
× 
( 1− 
 
 
3) = 1− 3 
 
A = 5 2 3− 
⇒ 
 
33 = det 5 2
 = 1× 2 − 3× 5 = 1− 3 A 
 
1 4 2 
 
 
 16 13 18 
 
Á = 10
 2
− 
−1 
 
−17 23
 1− 
3 
 
 
Matriz Adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores. 
 
 
Matriz Adjunta de A = (A´)t 
 
 
Exemplo: No exemplo anterior (2), a matriz adjunta seria: 
 
 
16 10 
 
 
−17 
 
A = 1 
3 
−2 23 
 
1 8
 1
− 
−13 
 
 
 
 
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Matriz Inversa: nós aprendemos a calcular a matriz inversa 
utilizando um sistema de equações (item 5.1.8). Agora, vamos aprender 
a calcular a matriz inversa utilizando a matriz dos cofatores. 
 
 
O procedimento é o seguinte para encontrar a matriz inversa da matriz A: 
 
 
1) Calcular o determinante da matriz A; 
2) Calcular a matriz dos cofatores; 
3) Obter a matriz adjunta da matriz A (transposta da matriz dos cofatores); 
4) Dividir cada um dos elementos da matriz ajunta pelo 
determinante da matriz A. 
 
 
Fórmula: 1 
 1 
 A 
det A 
A
 
− = × 
 
 
Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo? (é o mesmo 
exemplo do item 5.1.8 – vamos verificar se o resultado é o mesmo) 
 
 
3 7 
A = 
5 11 
Solução : 
det A = 
3 1× 
 
 
1− 5× 7 = 33 − 35 = 2− 
 
1
D 
1 
11 
 
1
A 
1 ( 1) 
+ 
 
 
11 11 
 
= ⇒ = − 
 
1 1 × = 
 
 
1
D 
2 
5 
 
1
A 
2 ( 1) 
+ 5 5 
 
= ⇒ = − 
 
1 2 × = − 
 
 
D
21 
7 
 
2
A 
1 ( 1) 
+ 7 7 
 
= ⇒ = − 
 
2 1 × = − 
 
 
D
22 
3 
 
2
A 
2 ( 1) 
+ 3 3 
 
= ⇒ = − 
 
2 2 × = 
 
 
 
11 5− 
Á (cofatores) = 
 7− 
11
 7
− 
3 
 
 
(A adjunta) = 
 5
− 
 
 
3 
 
 
 
 −11 7 
1 1 = 
 1 
× 
11 7− 
=
 2 2 
A− = × 
det A 
A
 
2 
 
− 5− 
3 5 3− 
 
2 2 
 
 
(está de acordo com o resultado do item 5.1.8) 
 
 
 
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Mais uma Propriedade dos determinantes: 
 
XI) Teorema de Laplace: é possível calcular o determinante de uma matriz de 
ordem n por meio do somatório do produto do elemento pelo seu cofator 
para uma única fila (linha ou coluna). 
 
 
Exemplo: Determine o determinante da matriz abaixo utilizando o teorema de 
Laplace? 
 
 
3 7 
A = 
5 11 
Solução : 
det A = 
3 1× 
 
 
1− 5× 7 = 33 − 35 = 2− 
 
1
D 
1 
11 
 
1
A 
1 ( 1) 
+ 
 
 
11 11 
 
= ⇒ = − 
 
1 1 × = 
 
 
1
D 
2 
5 
 
1
A 
2 ( 1) 
+ 5 5 
 
= ⇒ = − 
 
1 2 × = − 
 
 
 
Laplace : 
det A = 
1
a 
1 
× 
1
A 
1 
+ 
1
a 
2 
× 
1
A 
2 
= 3 1× 
 
 
 
 
1+ 7× 
( 5− 
 
 
 
 
 
) = 33 − 35 = 2− 
 
 
 
5.3. Solução de Sistemas Lineares 
 
 
Sistemas lineares são conjuntos de equações (duas ou mais) em que se 
deseja encontrar a solução, ou seja, uma solução que
 atende e torne todas as equações verdadeiras. 
Exemplos: 
 
 
S1: 2x + 6y = 4 
x – y = 5 
 
 
No sistema linear S1, temos duas equações e duas incógnitas (x e y). 
 
 
 
S2: 2x + 3y + 3z = 4 
x – y + z= 2 
3x + y – 2z = 0 
 
 
No sistema linear S2, temos três equações e três incógnitas (x, y e z). 
 
Se um sistema linear S tiver, pelo menos, uma solução, ele será 
possível ou compatível. Caso não tenha nenhuma
 solução, S será impossível ou incompatível. 
 
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5.3.1. Método da Substituição 
 
Por este método, você deve isolar uma variável em uma equação, 
substituir na seguinte, e assim por diante (dependendo do número de 
equações), de modo que, na última equação, você possua uma única variável a 
encontrar. 
 
Depois de encontrada a primeira variável, basta fazer o caminho inverso 
para encontrar as demais. Vamos a um exemplo para entender melhor o método. 
 
 
Exemplos: 
 
 
1) 
 
 
S1: 2x + 6y = 4 (I) 
x – y = 5 (II) 
 
 
Isolar x em (I): 
De (I), temos: 2x + 6y = 4 => 2x = (4 – 6y) => x = 2 – 3y (III) 
 
 
Encontrar y utilizando (II): 
Substituindo (III) em (II): 2 – 3y – y = 5 => -4y = 3 => y = -3/4 (IV) 
 
 
Fazer o caminho inverso: 
Substituindo (IV) em (III): x = 2 – 3 x (-3/4) = 2 + 9/4 => x = 17/4 
 
 
2) 
 
 
S2: x + y + z = 4 (I) 
x – y + 3z= 2 (II) 
3x + y – 2z = 3 (III) 
 
 
Isolar x em (I): x + y + z = 4 => x = 4 – y – z (IV) 
 
 
Substituir x em (II) e isolar y: 
Substituindo (IV) em (II): 4 – y – z – y + 3z = 2 => -2y + 2z = -2 => 
=> -y + z = -1 => -y = -1 – z => y = 1 + z (V) 
 
 
Substituir x (IV) e y (V) em (III) e encontrar z: 3x + y – 2z = 3 => 
3 (4 – y – z) + 1 + z – 2z = 3 =>12 – 3y – 3z + 1 – z = 3 => 
12 – 3(1+z) – 4z + 1 = 3 => 12 – 3 – 3z – 4z + 1 = 3 => 
-7z = 3 – 10 => -7z = -7 => z = 1 (VI) 
Fazer o caminho inverso: 
 
 
Substituir (VI) em (V): y = 1 + z = 1 + 1 => y = 2 (VII) 
Substituir (VI) e (VII) em (IV): x = 4 – y – z = 4 – 2 – 1 => x = 1 
 
 
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Também é possível representar um sistema linear por meio de matrizes: 
 
 
Exemplo: 
 
 
S2: x + y + z = 4 (I) 
x – y + 3z= 2 (II) 
3x + y – 2z = 3 (III) 
 
 
1 1 1 
 
 
 x 
 
 
4 1.x +1.y +1.z 4 
 
1
 1
− 
3 • y = 2 
⇒ 1 
.x −1.y + 3.z = 2 
 
3 1
 2− 
 z 3 3 .x +1.y − 2.z 3 
 
 
Primeira matriz: matriz incompleta (formada pelos coeficientes 
das variáveis) 
 
 
Segunda matriz: matriz das incógnitas 
 
Ainda há a matriz completa, que é formada pelos 
coeficientes das variáveis e pelos termos independentes (termos 
após o sinal de igual), conforme abaixo: 
 
 
1 1 1 4 
 
1
 1
− 
3 2 
 
3 1
 2− 
3 
 
 
Nota: Quando o número de equações do sistema é igual ao 
número de variáveis, e o determinante da matriz incompleta é 
diferente de zero, o sistema é denominado sistema normal. 
 
 
5.3.2. Regra de Cramer 
 
Para todo sistema normal, é possível obter a sua solução por meio do 
procedimento abaixo: 
 
 
x = Dx/D; y = Dy/D e z = Dz/D e, assim sucessivamente, para 
as demais variáveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas 
resoluções em sistemas normais de duas ou três variáveis. 
 
 
D => determinante da matriz incompleta. 
 
 
Dx => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
 
 
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Dy => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
 
 
Dz => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. 
 
 
Exemplo: 
 
 
S2: x + y + z = 4 (I) 
x – y + 2z= 2 (II) 
3x + y – 2z = 3 (III) 
 
 
1 1 1 
 
 
 x 
 
 
4 
 
1 −1 3 • y = 2 
 
Termos 
Independentes 
3 1
 2− 
 z 3 
 
 
 
Matriz 
Incompleta 
 
 
 
Matriz das 
Incógnitas 
 
 
D => determinante da matriz incompleta 
D = 1.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.1.1 – 1.(-1).3 – 1.1.(-2) – 1.1.3 => 
D = 2 + 9 + 1 + 3 + 2 – 3 = 14 
 
 
Dx => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
4 1 1 
 
2
 1
− 
3 => Dx = 4.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.2.1 – 1.(-1).3 – 2.1.(-2) – 4.1.3 
 
3 1 2− 
=> Dx = 8 + 9 + 2 + 3 + 4 – 12 =14 
x = D/Dx = 14/14 => x = 1 
 
Dy => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
1 4 1 
 
1 2 3 => Dy = 1.2.(-2) +4.3.3 + 1.3.1 – 1.2.3 – 4.1.(-2) – 1.3.3 => 
 
3 3 −2 
Dy = -4 + 36 + 3 – 6 + 8 – 9 =28 
y = D/Dy = 28/14 => y = 2 
 
 
 
 
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Dz => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. 
1 1 4 
 
1
 1
− 
2 => Dz = 1.(-1).3 + 1.2.3 + 4.1.1 – 4.(-1).3 – 1.1.2 – 1.1.3 => 
 
3 1 3 
Dz = -3 + 6 + 4 + 12 – 2 – 3 =14 
z = D/Dz = 14/14 => z = 1 
 
 
Nota: Análise de um sistema 
 
 
1) Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução) 
 
 
2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes 
Dx, Dy e Dz forem iguais a zero. 
 
 
3) Impossível: D = 0 e Dx, Dy e Dz forem diferentes de zero. 
 
 
Anexo (extra) 
Método de Eliminação de Gauss (vou ensinar mais este método de resolução de sistemas lineares, 
mas considere como uma leitura complementar, tendo em vista que os dois primeiros métodos já são 
suficientes para a resolução de questões). 
 
 
Suponha o seguinte sistema linear: 
 
X + 2Y + 4Z = 5 (I) 
2X - Y + 2Z = 8 (II) 
3X -3y - Z =7 (III) 
 
1 2 4 X 5 
2 -1 2 Y = 8 
3 -3 -1 Z 7 
 
Matriz Completa: 
 
1 2 4 5 
2 -1 2 8 
3 -3 -1 7 
 
I – Primeira Eliminação de Gauss: os coeficientes abaixo de a11 ficarão iguais a zero, fazendo a 
transformação abaixo: 
 
 
a11 = 1 (diferente de zero) 
 
 
λ1 = a21/ a11= 2/1 = 2 
a´22 = a22 - λ1 x a12 = -1 – 2 x 2 = -
5 a´23 = a23 - λ1 x a13 = 2 – 2 x 4 = -
6 a´24 = a24 - λ1 x a14 = 8 – 2 x 5 = -
2 
 
 
λ2 = a31/ a11= 3/1 = 3 
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a´32 = a32 – λ2 x a12 = -3 – 3 x 2 = -9 
a´33 = a33 – λ2 x a13 = -1 – 3 x 4 = -
13 a´34 = a34 – λ2 x a14 = 7 – 3 x 5 = 
-8 
 
1 2 4 5 
0 -5 -6 -2 
0 -9 -13 -8 
 
II – Segunda Eliminação de Gauss: os coeficientes abaixo de a22 ficarão iguais a zero, fazendo a 
transformação abaixo: 
 
 
a22 = -5 (diferente de zero) 
 
 
λ3 = a32/ a22= -9/-5 = 9/5 
a´33 = a33 – λ3 x a23 = -13 – 9/5 x (-6) = -13 + 54/5 = -11/5 
a´34 = a34 – λ3 x a24 = -8 – 9/5 x (-2) = -8 + 18/5 = -22/5 
 
1 2 4 5 
0 -5 -6 -2 
0 0 -11/5 -22/5 
 
 
III – Substituição retrocedida: 
 
 
 
1 2 4 X 5 
0 -5 -6 Y = -2 
0 0 -11/5 Z -22/5 
 
 
-11/5 x Z = -22/5 => Z = 2 (linha 3 da matriz) 
 
-5 Y – 6 Z = -2 => -5Y – 6 x 2 = -2 => -5Y = 10 => Y = - 2 (linha 2 da matriz) 
 
X + 2Y + 4Z = 5 => X + 2 x (-2) + 4 x 2 = 5 => X = 1 (linha 1 da matriz) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões Comentadas e Resolvidas 
 
 
Nota: Não se assustem com os anos das questões. Como não há 
muitas questões desses assuntos em provas da Esaf (no máximo, um 
ou duas por prova, quando aparece), tive “garimpar” questões até no 
século passado, ou seja, antes de 2000 (risos). Mas não há problema, 
pois, desde Aristóteles, que os conceitos básicos da matemática são os mesmos. 
 
1. (Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz 
quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da 
matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha
 da matriz por –3, o determinante da matriz fica: 
 
 
a) Multiplicado por –1. 
b) Multiplicado por –16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por –2/3. 
 
 
Resolução 
 
Repare que a questão pede o determinante de uma matriz 4 x 4. 
Aí, você poderia indagar: o professor ficou maluco, pois
 ele ensinou apenas o procedimento de cálculo 
das matrizes quadradas de ordem 1 (1 x 1), ordem 2 
(2 x 2) e de ordem 3 (3 x 3). E aí? Como fazer? 
 
Bom esta questão envolve as propriedades dos determinantes, que são 
aplicáveis a quaisquer matrizes quadradas, independentemente da ordem. 
 
Vamos relembrar a propriedade que será utilizada na questão: Se 
multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k, o
 determinante na nova matriz A´ será o produto de k pelo 
determinante de A: det A´= k . det A. Também vale para a divisão por k: 
det A´= (1/k) . det A. 
 
 
Consideramos a matriz 4 x 4 igual A e o determinante de A igual a: det(A) 
 
 
I. Linha 2 da matriz A multiplicada por 2: logo, o novo determinante será: 
2.det(A) 
 
 
II. Linha 3 da matriz A dividida por -3: logo, o novo determinante será: 
2.det(A). (-1/3) = (-2/3) . det(A) 
 
 
GABARITO: E 
 
 
 
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 2 1 0 
 
2. (ANA-2009-Esaf) O determinante da matriz B = a b c 
 
 
 
a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
 
 
Resolução 
 
 
Cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3: 
4 + a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 + b c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 1 0 2 1 
 
B = a b c a b 
 
4 + a 2 + b c 4 + a 2 + b 
 
 
det B = 2.b.c + 1.c.(4+a) + 0.a.(2+b) – 0.b.(4+a) – 2.c.(2+b) – 1.a.c => 
det B = 2bc + 4c + ca – 4c – 2bc – ac = 2bc – 2bc + 4c – 4c + ca – ca 
det B = 0 
 
 
GABARITO: E 
 
3. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente, 
qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, 
onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se 
localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante 
da soma das matrizes X = 
(xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i
1/2 e que yij = (i-j)
2, então a 
potência dada por (a22)
a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, 
iguais a: 
 
 
a) 2 e 2 
 
)b 2 e 0 
 
c) − 2 e 1 
d )2 e 0 
 
e) − 2 e 0 
 
 
Resolução 
 
 
A = (aij), de terceira ordem 
 
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A = X + Y 
X = (xij) 
Y=(yij) 
xij = i
1/2 
yij = (i-j)
2
 
 
I – Cálculo da (a22)
a12: 
 
Como a matriz A é soma das matrizes X e Y, cada elemento de A 
corresponde à soma dos elementos correspondentes de X e Y. Logo: 
 
 
a22 = x22 + y22 
x22 (i=2) = i
1/2 = 21/2 
y22 (i=2;j=2) = (i-j)
2 = (2-2)2 = 02 = 0 
a22 = x22 + y22 = 2
1/2 + 0 = 21/2 
 
 
a12 = x12 + y12 
x12 (i=1) = i
1/2 = 11/2 = 1 
y12 (i=1;j=2) = (i-j)
2 = (1-2)2 = (-1)2 = 1 
a12 = x12 + y12 = 1 + 1 = 2 
 
(a22)
a12 = (21/2)2 = 2 
 
II – Cálculo do determinante da matriz X: como A é de ordem 3 e é o 
resultado da soma de X e Y, tanto X quanto Y também possuem ordem 3. 
 
 
Matriz X: 
1ª linha (i=1): x11 = x12 = x13 = 1
1/2 = 1; 
2ª linha (i=2): x21 = x22 = x23 = 2
(1/2); e 
3ª linha (i=3): x21 = x22 = x23 = 3
(1/2). 
 
Vamos relembrar outra propriedade dos determinantes: Seja A uma matriz de 
ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas 
(duas linhas ou duas colunas) formadas
 por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det 
A = 0. 
 
Logo, como a linha 2 da matriz X é proporcional a linha 1: 
Linha 2 = 2(1/2) x Linha 1 
 
 
Então, det (X) = 0 
 
 
GABARITO: D 
 
 
 
 
 
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4. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando o 
sistema de equações lineares, 
 
 
x1 – x2 = 2 
2x1 + px2 = q 
 
 
pode-se corretamente afirmar que: 
 
 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
 
 
Resolução 
 
De acordo com a Regra de Cramer, temos: 
D => determinante da matriz incompleta. 
 
 
Dx => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
 
 
Dy => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
 
 
Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução) 
 
 
Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx e 
Dy 
forem iguais a zero. 
 
 
Impossível: D = 0 e Dx e Dy forem diferentes de zero. 
 
 
Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos: 
 
 
1
 1
− 
 
 
 
. 
1
x 
 
 
 
 
 2 
= 
 
 2 p 2
x 
 
q 
 
 
D = 1.p – (-1).2 
 
O determinante D da matriz incompleta será zero quando: 
D = p + 2 = 0 => p = -2 
 
 
 
 
 
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2 −1 
 => D p 
q p 
x = 2 − 
( 1− 
).q = 2 p + q 
 
 
Dx = 0, quando: 2p + q = 0 => p = -q/2 ou q = -2p 
 
 
1 2 
 
 2 
 => D q q 
q 
y =1. − 2.2 = − 4 
 
 
Dy = 0, quando: q – 4 = 0 => q = 4 
 
 
Portanto, teremos: 
 
 
I – Sistema possível e determinado: D ≠ 0 => p ≠ -2 
 
 
II – Sistema possível e indeterminado: D = 0, ou seja, p = -2 e Dx e 
Dy forem iguais a zero. 
 
 
Para p = -2, temos: Dx = -2p = -2 x (-2) = 4 ≠ 0 => 
logo, não há possibilidade deste sistema ser
 possível e indeterminado, pois Dx é 
diferente de zero para p = -2. 
 
 
Dy = 0, quando q = 4. 
 
 
III – Sistema impossível: D = 0, ou seja, p = -2 e; 
Dx≠ 0, para p = -2 => Dx = -2p = -2 x (-2) = 4 ≠ 0; e 
Dy≠ 0 => q – 4 ≠ 0 => q ≠ 4 
 
 
GABARITO: A 
 
 
5. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que 
 
x = arc 
 
a: 
cos 
 
2
 
2 
 
 
e que 
 
 
 
1
y = arcsen , então o valor da expressão cos(x - y) é igual 
2 
 
) 
 6 + 2 
a 
4
 
) 
 6 − 2 
b 
4
 
) 
 2 
c 
2
 
d ) 3 
 2+ 
2
 
e) 2 
 
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Resolução 
 
Vamos relembrar algumas relações: Partindo do valor para achar o ângulo 
(a questão não irá informar este valores => temos que saber para a 
prova): Partindo do valor para achar o ângulo: 
Ângulo 0 1 
2 
32 1 
 
22 
Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º 
Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º 
 
x = arc 
 
cos 
 
2
 
2 
 
=> x = 
 
 
45o 
 
1 
30 
y = arcsen 
2
 => y = o 
 
 
cos (x – y) = cos (45º - 30º) => aquí, temos que utilizar a 
equação de diferença de ângulos para o cosseno, tendo em vista que 
não conhecemos o valor de cos 15º, que é 45º - 30º. 
 
 
Relembrando: 
Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
 
cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º => 
 
 
⇒ cos(45o − 30o ) = 2 × 3 + 2 × 1 = 2×3 + 2 = 6 + 2 
2 2 2 2 4 4 4 
 
 
GABARITO: A 
 
6. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Qualquer elemento de 
uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha 
e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma 
matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também 
de terceira ordem, dada por: Sabendo-se que o determinante da 
matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: 
 
 
 1b 1 = 3a 1 1b 2 = 3a 2 1b 3 = 3a 3 
 = = = 
2b 1 2a 1 2b 2 2a 2 2b 3 2a 3 
 3b 1 = 1a 1 3b 2 = 1a 2 3b 3 = 1a 3 
 
 
 
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a) 50 
b) -50 
c) 0 
d) -100 
e) 100 
 
 
Resolução 
 
Mais uma questão de propriedade de determinantes: repare que a linha 
1 da matriz B corresponde a linha 3 da matriz A, e vice-versa. A linha 2 de 
ambas as matrizes, A e B, são iguais. Ou seja, houve a troca de duas 
linhas (3 e 1), da matriz A para a matriz B. 
 
Logo, temos que utilizar a seguinte propriedade: Seja A uma 
matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de 
posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), 
obteremos uma nova matriz A´, tal que: det A´= - det A. 
 
 
Portanto, na questão , teremos: det (B) = - det (A) = - 100 
 
 
GABARITO: D 
 
7. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Uma matriz 
X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A 
matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da
 matriz X por 10. Desse modo, o 
determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
 
 
Resolução 
 
 
Matriz X (quinta ordem => n=5) => Det (X) = 10 
 
 
Matriz B = 10 x Matriz X 
 
Propriedade a ser aplicada: se multiplicarmos toda a matriz por um 
número k, det (kA) = kn . det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. 
 
 
Portanto, det (B) = 105 x det (A) = 105 x 10 = 106 
 
 
GABARITO: D 
 
 
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8. (Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + 
sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: 
 
a) -4/3 
b) 4/3 
c) 5/3 
d) -5/3 
e) 1/7 
 
 
Resolução 
 
 
3 cos x + sen x = -1 (I) 
 
A questão só fornece uma equação, mas temos que conhecer a equação oriunda 
do Teorema de Pitágoras: sen2 x + cos2 x = 1 (II) 
 
 
Portanto, temos um sistema: 
3 cos x + sen x = -1 (I) 
sen2 x + cos2 x = 1 (II) 
 
 
De (I), temos: sen x = -1 – 3 cos x (III) 
 
 
Substituindo (III) em (II): 
(-1 – 3 cos x)2 + cos2 x = 1 => 1 + 6 cos x + 9 cos2 x + cos2 x = 1 => 
10 cos2 x + 6 cos x = 0 => cos x . (10 cos x + 6) = 0 
 
 
Nota: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 
(-1 – 3 cos x)2=(-1)2 + 2.(-1).(-3 cos x) + (-3cos x)2 = 1 + 6cos x + 9cos2 x 
 
 
Soluções da equação: cos x . (10 cos x + 6) = 0 
cos x = 0 
10 cos x + 6 = 0 => cos x = - 6/10 = -3/5 
 
 
Quando cos x = 0 => sen x = -1 – 3 cos x = -1 – 3 . 0 =-1 
Quando cos x = -3/5 => sen x = -1 – 3 . (-3/5) = -1 + 9/5 = 4/5 
 
 
Solução 1: cos x = 0; sen x = -1 => tg x = sen x/cos x = -1/0 = -∞ 
 
 
Solução 2: cos x = -3/5; sen x = 4/5 => 
tg x = sen x/cos x = (4/5)/(-3/5) = -4/3 
 
 
GABARITO: A 
 
 
 
 
 
 
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9. (Auditor-Fiscal da Receita Estadual-MG–2005-Esaf) A, B e C são 
matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da 
matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também 
uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto,é igual a: 
 
a) A-1 B C 
b) A C-1 B-
1 c) A-1 C 
B-1 d) A B 
C-1 
e) C-1 B-1 A-1 
 
 
Resolução 
 
 
Vamos relembrar alguns conceitos: 
Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada 
matriz singular. Logo, uma matriz não singular é uma matriz que 
possui matriz 
inversa. 
 
 
Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (In): é toda 
matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. 
 
 
Da questão, temos: C = A.Z.B e queremos isolar Z. 
 
 
Para isso, precisamos lembrar uma propriedade das matrizes: A . A-1 = 
In, ou seja, a multiplicação da matriz pela sua
 inversa é igual a matriz identidade, que, por sua 
vez, é um elemento neutro na multiplicação. 
 
Voltando a questão: C = A.Z.B => A.Z.B = C (I) Multiplicando 
(I) por A-1, do lado de A (matriz inversa de A): A-1.A.Z.B = A-
1.C => In .Z.B = A
-1.C => Z.B = A-1.C (II) Multiplicando (II) 
por B-1, do lado de B (matriz inversa de B): Z.B.B-1 = A-1.C.B-
1 => Z.In = A
-1.C.B-1 => Z = A-1.C.B-1 
 
Nota: temos que multiplicar do lado certo, pois, como vimos na teoria, a 
multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB é 
diferente de BA. É claro que isto não vale para a multiplicação 
da matriz pela sua inversa, pois A . A-1 = A-1.A = In. 
 
 
GABARITO: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2005-Esaf) O 
menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o 
determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse 
elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a 
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se 
que (aij) = (i+j)
2 e que bij = i
2 , então o menor complementar do elemento y23 é 
igual a: 
 
a) 0 
b) -8 
c) -80 
d) 8 
e) 80 
 
 
Resolução 
 
 
Y = (yij), de terceira ordem 
Y = A + B 
 
 
A = (aij) => aij = (i+j)
2
 
B=(bij) => bij = i
2
 
 
I – Repare que a questão explica o que é menor complementar e pede o 
menor complementar de y23: 
 
Menor complementar: O menor complementar de um elemento genérico xij de 
uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a 
coluna em que esse elemento se localiza. 
 
 
Logo, para achar o menor complementar de y23, devemos, inicialmente, 
suprimir a linha 2 e a coluna 3 da matriz Y. Veja abaixo: 
 
 
 y y y 
 11 12 13 
 
y y y 21 22 23 
 
 y y y 
 31 32 33 
 
 
A partir daí, temos que achar o determinante da matriz: D23 = 
 
y y 
11 12 
 y y 
 
Det (D23) = y11.y32 - y12.y31 
 31 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II – Cálculo da y11, y12, y31 e y32,: 
 
Como a matriz Y é soma das matrizes A e B, cada elemento de Y 
corresponde à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: 
 
 
y11 = a11 + b11 
a11 (i=1;j=1) = (i+j)
2= (1+1)2 = 22 = 4 
b11 (i=1) = i
2 = 12 = 1 
y11 = a11 + b11 = 4 + 1 = 5 
 
 
y12 = a12 + b12 
a12 (i=1;j=2) = (i+j)
2= (1+2)2 = 32 = 9 
b12 (i=1) = i
2 = 12 = 1 
y12 = a12 + b12 = 9 + 1 = 10 
 
 
y31 = a31 + b31 
a31 (i=3;j=1) = (i+j)
2= (3+1)2 = 42 = 16 
b31 (i=3) = 3
2 = 9 
y31 = a31 + b31 = 16 + 9 = 25 
 
 
y32 = a32 + b32 
a32 (i=3;j=2) = (i+j)
2= (3+2)2 = 52 = 25 
b32 (i=3) = 3
2 = 9 
y32 = a32 + b32 = 25 + 9 = 34 
 
 
III – Cálculo do menor complementar de y23: 
 
 
Det (D23) = y11.y32 - y12.y31 = 5 x 34 – 10 x 25 = 170 – 250 = -80 
 
 
GABARITO: C 
 
11. (Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) Considere duas 
matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira 
colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à 
segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de 
A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual 
a: 
 
a) –x-6 
b) –x6 
c) x3 
d) –1 
e) 1 
 
 
Resolução 
 
 
A e B => matrizes quadradas de terceira ordem 
 
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Linha 1 da Matriz B = Linha 3 da Matriz A 
Linha 2 da Matriz B = Linha 2 da Matriz A 
Linha 3 da Matriz B = Linha 1 da Matriz A 
Det (A) = x3 
 
Mais uma questão de propriedade de determinantes: repare que a linha 
1 da matriz B corresponde a linha 3 da matriz A, e vice-versa. A linha 2 de 
ambas as matrizes, A e B, são iguais. Ou seja, houve a troca de duas 
linhas (3 e 1), da matriz A para a matriz B. 
 
Logo, temos que utilizar a seguinte propriedade: Seja A uma 
matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de 
posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), 
obteremos uma nova matriz A´, tal que: det A´= - det A. 
 
 
Portanto, na questão , teremos: det (B) = - det (A) = - x3 
 
 
A questão pede para a calcular o produto entre os determinantes de A e B: 
 
 
Produto = det (B) x det (A) = x3 . (-x3) = -x6 
 
 
GABARITO: B 
 
12. (Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema 
dado pelas equações 
 
 
.x sena − .y cos a = − cos 2a 
.x cos a + .y sena = sen2a 
 
 
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a 
soma dos quadrados das raízes é igual a 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) sen π 
e) cos π 
 
Resolução Dica: em questões deste tipo, tente sempre obter os 
quadrados dos senos e cossenos para tentar substituir pela equação 
abaixo: 
 
 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
 
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x.sen a – y.cos a = - cos 2a (I) 
Elevando (I) ao quadrado: (x.sen a – y.cos a)2 = (- cos 2a)2 => 
x2. sen2 a – 2xy sen a.cos a + y2.cos2 a = cos2 2a (I´) 
 
 
x.cos a + y.sen a = sen 2a 
Elevando (II) ao quadrado: (x.cos a + y.sen a)2 = (sen 2a)2 => 
x2. cos2 a + 2xy sen a.cos a + y2.sen2 a = sen2 2a (II´) 
 
 
Somando (I´) com (II´): 
x2. sen2 a – 2xy sen a.cos a + y2.cos2 a + x2. cos2 a + 2xy sen a.cos a + 
+ y2.sen2 a = cos2 2a + sen2 2a => 
 
 
Repare que “– 2xy sen a.cos a” vai compensar com “+ 2xy sen a.cos a” 
 
 
=> x2.(sen2 a + cos2 a) + y2.(sen2 a + cos2 a) = cos2 2a + sen2 2a 
 
Lembrando da equação: sen2 x + cos2 x = 1 (esta fórmula tem que 
estar “no sangue”. Você precisa comer a fórmula com “arroz e feijão”), temos: 
 
 
sen2 a + cos2 a = 1 
cos2 2a + sen2 2a = 1 
 
Logo, a fórmula fica: x2 + y2= 1 (que é a resposta da questão: soma dos 
quadrados das raízes) 
 
 
GABARITO: A 
 
 
13. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema 
 
 
ax –y = 0 
x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
 
 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
 
Resolução 
 
De acordo com a Regra de Cramer, temos: 
D => determinante da matriz incompleta. 
 
 
Dx => determinante da matriz obtidasubstituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
 
 
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Dy => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz 
incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
 
 
Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução) 
 
 
Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx e 
Dy 
forem iguais a zero. 
 
 
Impossível: D = 0 e Dx e Dy forem diferentes de zero. 
 
 
Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos: 
 
 
a −1 
 
 
 x 
 
 
0 
 . = 
1 2 y 0 
 
 
D = 2.a – (-1).1 
 
O determinante D da matriz incompleta será zero quando: 
D = 2a + 1 = 0 => a = -1/2 
 
 
0 −1 
 => Dx = 0 , independe de a. 
0 2 
 
 
a 0 
 => Dy = 0 , independe de a. 
1 0 
 
 
x = Dx/D = 0 
y = Dy/D = 0 
 
Portanto, teremos: Sistema possível e determinado (x=0 e y=0): D ≠ 0, 
para qualquer valor de a, ou seja, a sistema apresenta uma solução 
não trivial (x=0 e y=0) para uma infinidade de valores de a. 
 
 
GABARITO: A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Sabendo-se que a matriz 
1 1 
A = e que n ∈ Ν 
0 1 
An– An-1 é igual a: 
 
a) 1 
b) -1 
c) 0 
d) n 
e) n-1 
 
 
 
Resolução 
e n ≥1, então o determinante da matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver a questão, vamos ter que encontrar alguma regra de formação: 
 
 
1 1 
A1 = 
0 1 
 
 
 
 
 
1 1 1 1 1 1× +1× 0 1 1× 
+1 1× 
 
 
 
 1 2 
.A A =
 2
A 
= . = = 
0 1 0 1 0 1× +1× 0 0 1× 
+1 1× 
0 1 
1 2 1 1 1 1× + 2× 0 1 1× + 2 1× 1 3 
2A .A =
 3
A 
= . = = 
0 1 0 1 0 1× +1× 0 0 1× 
+1 1× 
0 1 
1 3 1 1 1 1× + 3× 0 1 1× + 
3 1× 
 1 4 
3A .A =
 4
A 
= . = = 
 
 
.... 
 
 
0 1 
 
 
1 n −1 
0 1 
 
 
 
 
0 1× +1× 0 0 1× 
+1 1× 
 
 
 
 
0 1 
 
 
 
 
nA 1
− 
= 
0 1 
1 n 
An = 
0 1 
1 
 
 
 
n 1 
 
 
 
n −1 
 
 
 
1−1 
 
 
 
n − (n −1) 
 
 
 
0 1 
An −
 nA
 1− 
= − = = 
0 1 0 1 0 1−1 0 0 
 
 
Det (An – An-1) = 0x0 – 1x0 = 0 
 
 
GABARITO: C 
 
 
 
 
 
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15. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2004-Esaf) Genericamente, 
qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, 
onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se 
localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da 
soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i
2 e que 
bij = (i-j)
2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: 
 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
 
 
Resolução 
 
 
X = (xij), de terceira ordem 
X = A + B 
 
 
A=(aij) => aij = i
2
 
B = (bij) => bij = (i-j)
2
 
 
 
I – Cálculo da x13 e x31: 
 
Como a matriz X é soma das matrizes A e B, cada elemento de X 
corresponde à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: 
 
 
x13 = a13 + b13 
a13 (i=1) = i
2= 12 = 1 
b13 (i=1;j=3) = (i-j)
2 = (1-3)2 = (-2)2 = 4 
x13 = a13 + b13 = 1 + 4 = 5 
 
 
x31 = a31 + b31 
a31 (i=3) = 3
2 = 9 
b31 (i=3;j=1) = (i-j)
2= (3-1)2 = 22 = 4 
x31 = a31 + b31 = 9 + 4 = 13 
 
 
II – Cálculo de x13.x31: x13.x31 = 5 x 13 = 65 
 
 
GABARITO: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16. (Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão 
dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o 
intervalo de variação de y é: 
 
a) -4 ≤ y ≤ 8 
b) 0 < y ≤ 8 
c) -∞ ≤ y ≤ ∞ 
d) 0 ≤ y ≤ 4 
e) 0 ≤ y ≤ 8 
 
 
Resolução 
 
 
y = 4 (cosseno x) + 4 
 
 
Sabemos que –1 ≤ cosseno x ≤ 1 
 
 
Portanto, calculando y para os limites do intervalo do cosseno, temos: 
 
 
cosseno x = -1 => y = 4 x (-1) + 4 = 0 
cosseno x = 1 => y = 4 x 1 + 4 = 8 
 
 
Logo, 0 ≤ y ≤ 8 
 
 
GABARITO: E 
 
 
17. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 
4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: 
 
a) 16 y2 - 9 x2 = 144 
b) 16 x2 - 9 y2 = 144 
c) 16 y2 + 9 x2 = 
144 d) 16 x2 + 9 y2 = 
144 e) 9 y2 - 16 x2 = 
144 
 
 
Resolução 
 
 
Observe que, nesta questão, novamente, temos que tentar obter: 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
 
x = 3 sen t (I) 
y = 4 cos t (II) 
 
Multiplicando (I) por 4: 4x = 12 sen t (I´) 
Multiplicando (II) por 3: 3y = 12 cos t (II´) 
 
 
 
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Elevando (I´) ao quadrado: (4x)2 = (12 sen t)2 => 16x2 = 144 sen2 t (I´´) 
 
 
Elevando (II´) ao quadrado: (3y)2 = (12 cos t)2 => 9y2 = 144 cos2 t (II´´) 
 
 
Somando (I´´) com (II´´): 
16x2 + 9y2 = 144 sen2 t + 144 cos2 t = 144 . (sen2 t + cos2 t) 
 
 
Como: sen2 t + cos2 t = 1 => 16x2 + 9y2 = 144 
 
 
GABARITO: D 
 
 
 
 
 
 
 
 1 1 
18. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Dada a matriz e 
 X 1 
sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o 
valor de X é igual a: 
 
 
a) -1 
b) 0 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2 
 
Resolução 
 
 
Mais uma questão de propriedades determinantes: 
det(A.A-1)= det(In) => det A . det A
-1 = 1 => det A-1 = 1/det A o 
determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da 
matriz. 
 
 
 1 1 
 = A 
 X 1 
det (A) = 1 – X 
 
 
det (A-1) = 1/2 
 
 
det (A-1) = 1/det (A) => 1/2 = 1/(1-X) => 1 – X = 2 => X = -1 
 
 
GABARITO: A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de 
duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as 
funções f(x) 
= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: 
 
a) f (-1) 
b) f (2) 
c) g (0) 
d) g (2) 
e) f (1) 
 
 
Resolução 
 
 
Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)] 
f(x) = sen2 (x -1) 
g(x) = x – 1 
 
Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas 
pede a função (f o g) (inverteu o f com o g). 
(f o g) (2) = f[g(2)] 
 
 
g(2) = 2 – 1 = 1 
f[g(2)] = sen2 (g(2) – 1) = sen2 (1 – 1) = sen2 0 = 0 
 
 
Como f[g(2)] = f(1), pois g(2) = 1, temos: (f o g) (2) = f(1) 
 
 
GABARITO: E 
 
20. (Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição 
necessária e suficiente para a identidade sen 2 α = 2 sen α ser 
verdadeira é que α seja, em radianos, igual a: 
 
a) π/3 
 
b) π/2 
 
c) n π sendo n um número inteiro qualquer 
d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer 
e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer 
 
 
Resolução 
 
 
Relembrando: 
sen (a + a) = sen 2a = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a 
 
 
sen 2 α = 2 sen α => 2 sen α.cos α - 2 sen α = 0 => 2senα .(cos α - 1) = 0 
 
 
 
 
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Logo, temos duas possibilidades: 
2senα = 0 => senα = 0 => α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquer 
ou 
cos α - 1 = 0 => cos α = 1 => α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer 
Logo, a solução, considerando as duas possibilidades é: nπ sendo n 
um número inteiro qualquer. 
 
 
GABARITO: C 
 
21. (Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A matriz S = sij, 
de terceira ordem, é a matriz resultante da 
soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i
2+j2 e que 
bij = 2 i j, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: 
 
a) 
12 b) 
14 c) 
16 d) 
24 e) 
32 
 
 
Resolução 
 
Caramba! Mais uma questão deste tipo. E aí, vocês acham que este 
tipo de questão tem chance cair, ou seja, de ser uma das 20 questões? 
Eu diria que sim. 
 
 
S = (sij), de terceira ordem 
X = A + B 
A=(aij) => aij = i
2+j2 
B = (bij) => bij = 2 i j 
 
 
I – Cálculo da s13 e s31: 
Como a matriz S é soma das matrizes A e B, cada elemento de S 
corresponde à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: 
 
 
s13 = a13 + b13 
a13 (i=1;j=3) = i
2+j2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 
b13 (i=1;j=3) = 2 i j = 2 x 1 x 3 = 6 
s13 = a13 + b13 = 10 + 6 = 16 
 
 
s31 = a31 + b31 
a31 (i=3;j=1) = i
2+j2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10 
b31 (i=3;j=1) = 2 i j = 2 x 3 x 1 = 6 
 
 
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s31 = a31 + b31 = 10 + 6 = 16 
 
 
II – Cálculo de s13 + s31: s13 + s31 = 16 + 16 = 32 
 
 
GABARITO: E 
 
22. (Analista-Serpro-2001-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de 
uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e 
j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de 
terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e 
B = (bij). Sabendo-se que 
(aij) = i
2+j2 e que bij = (i+j)
2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é 
igual a: 
 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 1 
 
 
Resolução 
 
 
Mais uma!!!! 
 
 
S = (sij), de terceira ordem 
X = A + B 
A=(aij) => aij = i
2+j2 
B = (bij) => bij = (i+j)
2
 
 
 
I – Cálculo da s13 e s31: 
Como a matriz S é soma das matrizes A e B, cada elemento de S 
corresponde à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: 
 
 
s13 = a13 + b13 
a13 (i=1;j=3) = i
2+j2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 
b13 (i=1;j=3) = (i+j)
2= (1+3)2= 42 = 16 
s13 = a13 + b13 = 10 + 16 = 26 
 
 
s31 = a31 + b31 
a31 (i=3;j=1) = i
2+j2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10 
b31 (i=3;j=1) = (i+j)
2= (3+1)2= 42 = 16 
s31 = a31 + b31 = 10 + 16 = 26 
 
 
II – Cálculo de s31/s31: s31/s13 = 26/26 = 1 
GABARITO: E 
 
 
 
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23. (Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão 
dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o 
intervalo de variação de y é 
 
a) -1 ≤ y ≤ 7 
b) -7 < y < 1 
c) -7 < y ≤ -
1 d) 1 ≤ y < 7 
e) 1 ≤ y ≤ 7 
 
 
Resolução 
 
 
y = 3 sen x + 4 
 
 
Sabemos que –1 ≤ seno x ≤ 1 
 
 
Portanto, calculando y para os limites do intervalo do seno, temos: 
 
 
seno x = -1 => y = 3 x (-1) + 4 = 1 
seno x = 1 => y = 3 x 1 + 4 = 7 
 
 
Logo, 1 ≤ y ≤ 7 
 
 
GABARITO: E 
 
24. (Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Uma matriz 
quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se 
que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 
3 Z tem determinante igual a 
 
a) 1/3 
b) 3 
c) 9 
d) 
27 e) 
81 
 
 
Resolução 
 
 
Matriz X (n = 3)=> det (X) = 3 
Matriz Z = Transposta da Matriz X 
 
 
Mais uma propriedade importante dos determinantes: det A = det At 
 
 
Logo, det (X) = det (Xt) (transposta de X) = det (Z) = 3 
 
 
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Matriz Y = 3 . Matriz Z 
 
Propriedade a ser aplicada: se multiplicarmos toda a matriz por um 
número k, det (kA) = kn . det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. 
 
 
Matrizes quadradas de ordem 3 => n = 3 
 
 
det (Y) = 33 x det (Z) = 33 x 3 = 81 
 
 
GABARITO: E 
 
25. (Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Considerando-se as 
matrizes 
 
 
2 4 
 
 
1 1 
A = B = 
3 1 1 2 
 
a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto 
da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: 
 
a) –10 
b) -2 
c) 1 
d) 2 
e) 10 
 
 
Resolução 
 
 
I – Determinação da Matriz Transposta de A: 
 
 
2 4 
A = 
3 1 
2 4 
At = 
3 1 
 
 
Matriz transposta de A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II – Determinação da Matriz Inversa de B: 
 
 
1 1 
B = 
1 2 
Solução : 
det B = 1× 2 −1 1× = 2 −1 = 1 
 
1
D 
1 
2 
 
1
B 
1 ( 1) 
+ 2 2 
 
= ⇒ = − 
 
1 1 × = 
 
 
1
D 
2 
1 
 
1
B 
2 ( 1) 
+ 1 1 
 
= ⇒ = − 
 
1 2 × = − 
 
 
D
21 
1 
 
B
21 ( 1) 
+ 1 1 
 
= ⇒ = − 
 
2 1 × = − 
 
 
D
22 
1 
 
B
22 ( 1) 
+ 1 1 
 
= ⇒ = − 
 
 
 
 2 
2 2 × = 
 
 
 
−1 
B́ (cofatores) = 
 1− 
 2
 1
− 
1 
 
 
B(adjunta) = 
−1 1 
B−1 = 1 × B = 1× 
 2 1− 
 
 
det B 1
 1
− 
1 
 
 
III – Cálculo de A.B-1 
 
 
2 4 
 
 
 2 1− 
 
 
 
2× 2 + 4× (−1) 2× 
( 1− 
 
 
) + 4 1× 
.A B 1− = . = = 
3 1 
 1
− 
1 3× 2 +1× 
( 1− 
) 3× 
( 1− 
) +1 1× 
 
.A B 1− 
0 2 
= 
5 −2 
 
 
Soma dos elementos da diagonal principal de A.B-1 = 0 – 2 = -2 
 
 
GABARITO: B 
 
 
Abraços e até a próxima aula, 
 
 
Bons estudos, 
 
Moraes Junior 
moraesjunior@pontodosconcursos.com.br 
 
 
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Lista de Questões Comentadas na Aula 
 
 
1. (Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz 
quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da 
matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha
 da matriz por –3, o determinante da matriz fica: 
 
 
a) Multiplicado por –1. 
b) Multiplicado por –16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por –2/3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 1 0 
 
2. (ANA-2009-Esaf) O determinante da matriz B = a b c 
 
 
 
a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
4 + a 
 
 
 
 
 
 
 
2 + b c 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente, 
qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, 
onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se 
localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante 
da soma das matrizes X = 
(xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i
1/2 e que yij = (i-j)
2, então a 
potência dada por (a22)
a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, 
iguais a: 
 
 
a) 2 e 2 
 
)b 2 e 0 
 
c) − 2 e 1 
d )2 e 0 
 
e) −2 e 0 
 
 
4. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando o 
sistema de equações lineares, 
 
 
x1 – x2 = 2 
2x1 + px2 = q 
 
 
 
 
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pode-se corretamente afirmar que: 
 
 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
 
 
5. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que 
 
x = arc 
 
a: 
cos 
 
2
 
2 
 
 
e que 
 
 
 
1
y = arcsen , então o valor da expressão cos(x - y) é igual 
2 
 
) 
 6 + 2 
a 
4
 
) 
 6 − 2 
b 
4
 
) 
 2 
c 
2
 
d ) 3 
 2+ 
2
 
e) 2 
 
 
6. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Qualquer elemento de 
uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha 
e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma 
matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também 
de terceira ordem, dada por: Sabendo-se que o determinante da 
matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: 
 
 1b 1 = 3a 1 1b 2 = 3a 2 1b 3 = 3a 3 
 = = = 
2b 1 2a 1 2b 2 2a 2 2b 3 2a 3 
 3b 1 = 1a 1 3b 2 = 1a 2 3b 3 = 1a 3 
 
 
a) 50 
b) -50 
c) 0 
d) -100 
e) 100 
 
 
 
 
 
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7. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Uma matriz 
X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A 
matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da
 matriz X por 10. Desse modo, o 
determinante da matriz B é igual a: 
 
a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
 
 
8. (Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + 
sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: 
 
a) -4/3 
b) 4/3 
c) 5/3 
d) -5/3 
e) 1/7 
 
9. (Auditor-Fiscal da Receita Estadual-MG–2005-Esaf) A, B e C são 
matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da 
matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também 
uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: 
 
a) A-1 B C 
b) A C-1 B-
1 c) A-1 C 
B-1 d) A B 
C-1 
e) C-1 B-1 A-1 
 
10. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2005-Esaf) O 
menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o 
determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse 
elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a 
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se 
que (aij) = (i+j)
2 e que bij = i
2 , então o menor complementar do elemento y23 é 
igual a: 
 
a) 0 
b) -8 
c) -80 
d) 8 
e) 80 
 
 
 
 
 
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11. (Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) Considere duas 
matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira 
colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à 
segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de 
A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual 
a: 
 
a) –x-6 
b) –x6 
c) x3 
d) –1 
e) 1 
 
12. (Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema 
dado pelas equações 
 
 
.x sena − .y cos a = − cos 2a 
.x cos a + .y sena = sen2a 
 
 
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a 
soma dos quadrados das raízes é igual a 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) sen π 
e) cos π 
 
 
13. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema 
 
 
ax –y = 0 
x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
 
 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
 
 
14. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Sabendo-se que a matriz 
1 1 
A = e que n ∈ Ν 
0 1 
An– An-1 é igual a: 
e n ≥1, então o determinante da matriz 
 
 
 
 
 
a) 1 
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b) -1 
c) 0 
d) n 
e) n-1 
 
15. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2004-Esaf) Genericamente, 
qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, 
onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se 
localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da 
soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i
2 e que 
bij = (i-j)
2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: 
 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
 
16. (Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão 
dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o 
intervalo de variação de y é: 
 
a) -4 ≤ y ≤ 8 
b) 0 < y ≤ 8 
c) -∞ ≤ y ≤ ∞ 
d) 0 ≤ y ≤ 4 
e) 0 ≤ y ≤ 8 
 
 
17. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 
4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: 
 
a) 16 y2 - 9 x2 = 144 
b) 16 x2 - 9 y2 = 144 
c) 16 y2 + 9 x2 = 144 
d) 16 x2 + 9 y2 = 144 
e) 9 y2 - 16 x2 = 144 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 1 
18. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Dada a matriz e 
 X 1 
sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o 
valor de X é igual a: 
a) -1 
b) 0 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2 
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19. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de 
duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as 
funções f(x) 
= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: 
 
a) f (-1) 
b) f (2) 
c) g (0) 
d) g (2) 
e) f (1) 
 
20. (Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição 
necessária e suficiente para a identidade sen 2 α = 2 sen α ser 
verdadeira é que α seja, em radianos, igual a: 
 
a) π/3 
 
b) π/2 
 
c) n π sendo n um número inteiro qualquer 
d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer 
e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer 
 
21. (Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A matriz S = sij, 
de terceira ordem, é a matriz resultante da 
soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i
2 +j2 e 
que bij = 2 i j, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: 
 
a) 
12 b) 
14 c) 
16 d) 
24 e) 
32 
 
22. (Analista-Serpro-2001-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de 
uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e 
j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, deterceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e 
B = (bij). Sabendo-se que 
(aij) = i
2+j2 e que bij = (i+j)
2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é 
igual a: 
 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 1 
 
 
 
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23. (Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão 
dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o 
intervalo de variação de y é 
 
a) -1 ≤ y ≤ 7 
b) -7 < y < 1 
c) -7 < y ≤ -
1 d) 1 ≤ y < 7 
e) 1 ≤ y ≤ 7 
 
24. (Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Uma matriz 
quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se 
que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 
3 Z tem determinante igual a 
 
a) 1/3 
b) 3 
c) 9 
d) 
27 e) 
81 
 
25. (Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Considerando-se as 
matrizes 
 
 
2 4 
 
 
1 1 
A = B = 
3 1 1 2 
 
a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto 
da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: 
 
a) –10 
b) -2 
c) 1 
d) 2 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO: 
 
Problema 1: Um poderoso cheique de Damasco mandou chamar suas 
três filhas e disse-lhes: 
 
“Aqui estão 90 maçãs que vocês deverão vender no mercado. Fátima, 
que é a mais velha, levará 50. Cunda levará 30 e Siha, a caçula, será 
encarregada de vender 10 restantes. 
 
Se Fátima vender as 7 maças por um dinar, as outras deverão vender, também, 
pelo mesmo preço, isto é, 7 por um dinar; se Fátima fizer a venda das 
maçãs a três dinares cada uma, será esse o preço pelo qual Cunda 
e Siha deverão vender as que levam. O negócio deve fazer-se de sorte 
que as três apurem, com a venda das respectivas maçãs, a mesma quantia” 
 
O cheique ainda informou às filhas que não é possível se desfazer de 
nenhuma das maçãs. É necessário vendê-las. Resolva o problema e assinale 
a alternativa correta: 
 
 
(a) Fátima vendeu 42 maçãs por 7 dinares e 8 maçãs por 3 dinares. 
(b) Cunda vendeu 30 maças por 5 dinares. 
(c) Siha vendeu 7 maças por 1 dinar e 3 maças por 9 dinares. 
(d) Fátima vendeu 35 maças por 7 dinares e 15 maças por 3 dinares. 
(e) Cunda vendeu 21 maças por 4 dinares e 9 maçãs por 15 dinares. 
 
 
Solução: 
 
 
Na verdade, a resposta da questão está no próprio enunciado. 
 
I – Fátima, seguindo a indicação do pai, começou vendendo 7 maçãs a 1 
dinar. Com isso, vendeu 49 maçãs a 7 dinares no total. 
 
 
Total Venda de Fátima (primeira fase) = 49 maçãs a 7 dinares 
Ainda sobrou uma maçã para Fátima vender. 
 
II – Cunda também teria que vender o lote de 7 maças a 1 dinar, 
seguindo o procedimento determinado pelo pai. Logo, Cunda vendeu 28 maças a 
4 dinares. 
 
 
Total Venda de Cunda (primeira fase) = 28 maçãs a 4 dinares 
Ainda sobraram duas maçãs para Cunda vender. 
 
III – Siha também teria que vender o lote de 7 maças a 1 dinar, 
seguindo o procedimento determinado pelo pai. Logo, Cunda vendeu 7 maças a 1 
dinar. 
 
 
Total Venda de Siha (primeira fase) = 7 maçãs a 1 dinares 
Ainda sobraram três maçãs para Siha vender. 
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Ou seja, até o momento, as três filhas cumpriram o ordem do pai: 
venderam pelo mesmo preço o lote de 7 maças (cada lote de 7 a 1 dinar). 
 
 
IV – Fátima, agora, vendeu a maça que restou por 3 dinares. 
 
 
Total da Venda de Fátima: 
49 maçãs (1 dinar o lote de 7 maçãs) = (49/7) x 1 7 dinares 
1 maça a 3 dinares 3 dinares 
Total da Venda de Fátima 10 dinares 
 
 
V – Cunda, agora, também terá que vender as 2 maçãs que sobraram 
a 3 
dinares cada. 
 
 
Total da Venda de Cunda: 
28 maçãs (1 dinar o lote de 7 maçãs) = (28/7) x 1 4 dinares 
2 maças a 3 dinares cada = 2 x 3 6 dinares 
Total da Venda de Fátima 10 dinares 
 
 
VI – Siha também terá que vender as 3 maçãs que sobraram a 3 dinares cada. 
 
 
Total da Venda de Siha: 
7 maçãs (1 dinar o lote de 7 maçãs) = (7/7) x 1 1 dinares 
3 maças a 3 dinares cada = 3 x 3 3 dinares 
Total da Venda de Fátima 10 dinares 
 
 
GABARITO: C 
 
Problema 2: Um navio voltava do Sri Lanka trazendo grande 
quantidade de especiarias e foi “atacado” por violenta tempestade. A 
embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a 
bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, 
manejaram as velas com extrema perícia. O comandante do navio, 
querendo compensar os denotados marujos, deu-lhes certo
 número de moedas de ouro. Esse número era superior a 
duzentos, mas não chegava a trezentos. 
 
As moedas de ouro foram colocadas em uma caixa para que, no dia 
seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os 
três corajosos marinheiros. 
 
Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, 
lembrou- se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a minha 
parte. Assim, não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus 
amigos”. E, sem nada a dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até 
onde se achava guardado o dinheiro, 
dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata 
e que sobrava uma moeda de ouro. “Por causa desta mísera moedinha 
é capaz de 
 
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haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro 
atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a sua parte e 
deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. 
 
Horas depois, o segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em 
que se depositava o prêmio coletivo dividiu-o em três partes iguais. 
Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dívidas, veio à 
lembrança de atirá-la ao mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se 
julgava com direito. 
 
O terceiro marinheiro, ignorando por completo a antecipação dos dois 
colegas, teve o mesmo alvitre. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, 
à caixa das moedas de ouro. Dividiu as moedas que lá encontrou em três 
partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou uma moeda de ouro. Não 
querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, 
retirou a terça parte para si e voltou tranqüilo para o seu leito. 
 
 
No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio 
encontrou 
70 moedas de ouro na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos 
marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos 
marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez, a divisão não foi exata. 
Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou para si. 
 
É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles 
estava convencido de que já havia retirado da caixa a parteque lhe cabia do 
dinheiro. 
 
Calcule qual era a quantidade total de moedas de ouro, quanto recebeu 
cada um dos marujos e assinale a alternativa correta: 
 
 
(a) O primeiro marinheiro recebeu 103 moedas de ouro. 
(b) O segundo marinheiro recebeu 75 moedas de ouro. 
(c) O terceiro marinheiro recebeu 59 moedas de ouro. 
(d) O número total de moedas de ouro é 238. 
(e) O número total de moedas de ouro é 244. 
 
 
Solução: 
 
I – O almoxarife encontrou 70 moedas de ouro na caixa, que corresponde a 
2/3 do valor encontrado pelo terceiro marinheiro, menos uma moeda que foi 
jogada ao mar (tendo em vista que o terceiro
 marinheiro retirou 1/3 do valor encontrado por ele): 
 
 
70 moedas = (2/3) x [Valor Encontrado pelo Terceiro Marinheiro – 1]=> 
=> Valor Encontrado pelo Terceiro Marinheiro = 70 x 3/2 + 1 = 106 
II – O terceiro marinheiro encontrou 106 moedas de ouro na 
caixa, que corresponde a 2/3 do valor encontrado pelo segundo 
marinheiro, menos uma 
 
 
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moeda que foi jogada ao mar (tendo em vista que o segundo marinheiro retirou 
1/3 do valor encontrado por ele): 
 
 
106 moedas = (2/3) x [Valor Encontrado pelo Segundo Marinheiro – 1]=> 
=> Valor Encontrado pelo Segundo Marinheiro = 106 x 3/2 + 1 = 160 
 
III – O segundo marinheiro encontrou 160 moedas de ouro na 
caixa, que corresponde a 2/3 do valor encontrado pelo primeiro 
marinheiro, menos uma moeda que foi jogada ao mar (tendo em vista que o 
primeiro marinheiro retirou 
1/3 do valor encontrado por ele): 
 
160 moedas = (2/3) x [Valor Encontrado pelo Primeiro Marinheiro – 1]=> 
Valor Encontrado pelo Primeiro Marinheiro = 160 x 3/2 + 1 = 241 
 
 
Numero Total de Moedas = 241 
 
 
Primeiro Marinheiro Recebeu: 
(241 – 1)/3 = 80 moedas => parte retirada por ele 
(70 – 1)/3 = 23 moedas => parte dada pelo almoxarife 
Total Recebido pelo Primeiro Marinheiro = 80 + 23 = 103 
 
 
Segundo Marinheiro Recebeu: 
(160 – 1)/3 = 53 moedas => parte retirada por ele 
(70 – 1)/3 = 23 moedas => parte dada pelo almoxarife 
Total Recebido pelo Segundo Marinheiro = 53 + 23 = 76 
 
 
Terceiro Marinheiro Recebeu: 
(106 – 1)/3 = 35 moedas => parte retirada por ele 
(70 – 1)/3 = 23 moedas => parte dada pelo almoxarife 
Total Recebido pelo Terceiro Marinheiro = 35 + 23 = 58 
 
 
GABARITO: A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO DAS COMENTADAS NESTA AULA: 
 
 
1 – E 
2 – E 
3 – D 
4 – A 
5 – A 
6 – D 
7 – D 
8 – A 
9 – C 
10 – C 
11 – B 
12 – A 
13 – A 
14 – C 
15 – D 
16 – E 
17 – D 
18 – A 
19 – E 
20 – C 
21 – E 
22 – E 
23 – E 
24 – E 
25 – B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
 
 
ALENCAR FILHO, Edgard de, Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo. 
Nobel, 
2002. 
 
ANDRADE, Nonato de, Raciocínio Lógico para Concursos. Rio de 
Janeiro. Ed. Ferreira, 2008. 
 
ATENFELDER, Sérgio, Matemática Financeira para todos os concursos: 
com todas as questões comentadas. Rio de Janeiro. Elsevier, 2007. 
 
 
BARROS, Dimas Monteiro de, Raciocínio lógico, matemático e quantitativo. São 
Paulo. Novas Conquistas, 2001. 
 
BARROS, Dimas Monteiro de, Lógica para concursos. Araçatuba. São 
Paulo. Novas Conquistas, 2005. 
 
BARROS, Dimas Monteiro de, Enigmas, desafios, paradoxos e outros 
divertimentos lógicos e matemáticos. Araçatuba. São Paulo. Editora MB, 2009. 
 
 
CARVALHO FILHO, Sérgio de, Estatística Básica para concursos: teoria e 
150 
questões. Niterói/RJ. Impetus, 2004. 
 
CESAR, Benjamim, Matemática Financeira: teoria e 640 questões. 5a Edição. 
Rio de Janeiro. Impetus, 2004. 
 
DEWDNEY, A. K., 20.000 Léguas Matemáticas: um passeio pelo 
misterioso mundo dos números. Tradução: Vera Ribeiro; Revisão: Vitor 
Tinoco. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 2000. 
 
DOLCE, Osvaldo, Fundamentos da Matemática Elementar. 9: Geometria 
Plana/ Dolce Osvaldo, José Nicolau Pompeo. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2005. 
 
DOXIADIS, Apóstolos, Tio Petros e a conjectura de Goldbach: um 
romance sobre os desafios da Matemática. Tradução: Cristiane Gomes 
de Riba. São Paulo. Ed. 34, 2001. 
 
DOWNING, Douglas, Estatística Aplicada/Douglas Downing, Jeffrey Clark. 
Tradução: Alfredo Alves de Faria. 2a Edição. São Paulo. Saraiva, 2006. 
 
GUEDJ, Denis, O teorema do papagaio. Tradução: Eduardo Brandão. São 
Paulo. Companhia das Letras, 1999. 
 
IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 1: Conjuntos, 
Funções/ Gelson Iezzi, Carlos Murakami. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2004. 
 
 
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IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 3: Trigonometria/ 
Gelson Iezzi. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2004. 
 
IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 4: Seqüências, Matrizes, 
Determinantes, Sistemas/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan. 7a Edição. São 
Paulo. Atual, 2004. 
 
IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 6: Complexos, 
Polinômios, Equações/Gelson Iezzi. 7a Edição. São Paulo. Atual, 2004. 
 
IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 11: Matemática 
Comercial, Matemática Financeira, Estatística Descritiva/Gelson Iezzi, 
Samuel Hazzan, David Mauro Degenszajn. 1a Edição. São Paulo. Atual, 2004. 
 
MORGADO, Augusto César, Raciocínio Lógico-Quantitativo: teoria, questões 
resolvidas, questões de concursos e mais de 850 questões/Augusto 
César Morgado, Benjamim César de Azevedo Costa. 4a Edição. 
Rio de Janeiro. Elsevier, 2009. 
 
NORBIM, Fernando Dalvi, Raciocínio Lógico Descomplicado: Mais de 400 
questões resolvidas, comentadas e com gabarito oficial. Rio de Janeiro. 
Editora Ciência Moderna Ltda, 2009. 
 
ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico: você consegue aprender. Rio de 
Janeiro. Elsevier, 2005. 
 
SINGH, Simon, O Último Teorema de Fermat: a história do enigma que 
confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. Tradução: Jorge Luiz 
Calife; 7a Edição. Rio de Janeiro. Record, 2000. 
 
SINGH, Simon, O livro dos códigos. Tradução: Jorge Luiz Calife; 7a Edição. 
Rio de Janeiro. Record, 2001. 
 
STEWART, Ian, Será que Deus joga dados? Tradução: Maria Luiza X. 
de A. Borges; Revisão: Ildeu de Castro Moreira. Rio de Janeiro. Jorge 
Zahar Ed., 
1991. 
 
TAHAN, Malba, 1895-1974, O homem que calculava/Malba Tahan. 44a 
Edição. Rio de Janeiro. Record, 1997. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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