G P -Módulo6-Aulas 8 e 9-Teorema de Tales e Semelhança

Prévia do material em texto

GEOMETRIA PLANA
Módulo 6
Teorema de Tales 
Semelhança de Triângulos
67
Teorema de TalesGeometria
Plana
Módulo 6
A
B
C
P
Q
R
t v
r // s
s // p
p
Proporções válidas
Exemplo
(Vunesp) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t,
cortadas por 2 outras retas, conforme figura.
Calcule os valores dos
segmentos identificados
por x e y.
68
Teorema da Bissetriz Interna
(T.B.I.)
Geometria
Plana
Módulo 6
Demonstração
“Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno determina no lado oposto dois
segmentos proporcionais aos lados adjacentes.”
69
Exercícios de Aplicação
Geometria
Plana
Módulo 6
1. No desenho abaixo apresentado, as frentes para a
rua A dos quarteirões I e II medem, respectivamente,
250m e 200m, e a frente do quarteirão I para a rua B
mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II
para a mesma rua. Sendo assim, pode-se afirmar que
a medida, em metros, da frente do menor dos dois
quarteirões para a rua B é
a) 160
b) 180
c) 200
d) 220
e) 240
2. (Unicamp)
No triângulo abaixo, obter a medida AB.
70
Exercícios de Aprofundamento
Geometria
Plana
Módulo 6
1. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
A; AM é a mediana relativa à hipotenusa; AD é a
bissetriz do ângulo BÂC. Então, DM vale:
a) 5/2
b) 2/5 
c) 7/20
d) 5/7
e) 1
2. Os lados do retângulo da figura medem AB = 3
cm e BC = 4 cm. Sendo AÊB = 45°, determine PD.
3. (Fuvest)
Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os
pontos de AB tais que CM é bissetriz relativa ao ângulo A෡𝑪B e CN e a altura relativa ao
lado AB . Determinar o comprimento de MN .
71
Exercícios de AprofundamentoGeometria
Plana
Módulo 6
72
Semelhança de Triângulos
Geometria
Plana
Módulo 6
A B
C
D E
Na figura abaixo AB // DE, escrever a semelhança entre os
Triângulos ABC e DEC.
73
Semelhança de Triângulos
Geometria
Plana
Módulo 6
“Receitade Bolo”
1º Passo:
Identificar os ângulos iguais nos dois
triângulos.
2º Passo:
Escrever a semelhança, criando as
igualdades entre os lados observando os
ângulos iguais.
3º Passo:
Resolver a equação.
Na figura abaixo, encontre o valor de x.
74
Teorema da Base Média
Geometria
Plana
Módulo 6
Triângulo Trapézio
75
Exercícios de Aplicação
Geometria
Plana
Módulo 6
1. (Fuvest) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m a sua frente em uma
linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas
não paralela à lateral, e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12 m da
linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está a uma mesma
distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a
trajetória da bola será de:
a) 18,8 m
b) 19,2 m
c) 19,6 m
d) 20 m
e) 20,4 m
76
Exercícios de Aplicação
Geometria
Plana
Módulo 6
2. (UFPE) No trapézio ABCD, calcule a altura IE
do triângulo ABI, sabendo que a altura do
trapézio é 8 e que seus lados paralelos medem
6 e 10.
3. (UFS-SE) Na figura abaixo, são dados AC = 8 cm e
CD = 4 cm. A medida de BD é, em cm:
a) 9
b) 10
c) 12
d) 15
e) 16
77
Exercícios de Aplicação
Geometria
Plana
Módulo 6
4. (UFMG) Considere a figura abaixo.
5. (Fuvest) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver
figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja
base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura
do retângulo, em função de h e b, é dada pela
fórmula:
Nela, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango
inscrito no triângulo ABC. A medida do lado
do losango é:
a) 4
b) 4,8
c) 5
d) 5,2
78
Exercícios de Aprofundamento
Geometria
Plana
Módulo 6
1. (ITA) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AB e BD medem 5 cm e 6 cm,
respectivamente. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado. então o
perímetro do quadrilátero RSTU vale:
a) 22 cm
b) 5,5 cm
c) 8,5 cm
d) 11 cm
e) 13 cm
79
Exercícios de Aprofundamento
Geometria
Plana
Módulo 6
2. (PUC-SP) Na figura demonstre que OP =
a ∙ b
a + b