CalculoIII_lista

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO 
 Lista 1 – Cálculo Diferencial e Integral III 
 Conteúdo: Sequências e Séries – Data: 17/03/2011 
 
1) Verifique se as séries seguintes convergem ou divergem. Para as séries convergentes 
ache a sua soma. 
a) 
1 1 1 1
...
1.3 3.5 5.7 7.9
+ + + + b) 
0
1
( 2)( 4)
n
n n
∞
=
+ +∑ c) 
1
1
( 2)
n
n n
∞
=
+∑ 
d) 
1
1
(4 3)(4 1)
n
n n
∞
=
+ −∑ e) 
1
3 5
( 3) 4n
n
n n
∞
=
 
+ + ∑ f) 
 + 1
1
3
n
n
n
π
∞
=
∑ 
Respostas: a) 1/2 b) 5/12 c) 3/ 4 e d) 1/12 e) 7/2 f) diverge 
 
2) Determine quais das séries seguintes são convergentes ou divergentes: 
a) 
2
1
1
1
n
n
∞
=
+∑ b) 
2
1
1
5 2
n
n
n n
∞
=
+
+ +∑ c) 
2
1
2n
n
n
∞
=
∑ d) 
2
3
1
2 1
n
n
n
∞
=
−∑ 
e ) 
( )
2
1
1
arctg n
n
e
n
∞
=
+∑ f) 
3
1
3n
n
n
∞
=
∑ g) 
2
1
1
n
n
n
∞
=
+∑ h) 
 1
 1
1
( 1)
2
n
n
n
∞ +
−
=
−∑ 
i) 
1
!
( 2)!
n
n
n
∞
=
+∑ j) 
2
1
( !)
(2 )!
n
n
n
∞
=
∑ k) 
1
!
, (a > 1)
n
n
n
a n
n
∞
=
∑ l) 
1
!
n
n
n
n
∞
=
∑ 
m) 
1
2n
n
n
∞
=
∑ n) 
1
( 3)!
3! !3n
n
n
n
∞
=
+∑ o) 
2
1
2n
n
sen n
∞
=
∑ p) 
1
1
3
n
n
n
n
∞
=
+ 
 
 ∑ 
q) 
1
( 1) log
2 3
n
n
n
n
∞
=
−
+∑ r) 
1
log
1
n
n
n
∞
=
 
 + ∑ s) 
2 3
1 2! 3!
...
3 3 3
+ + + t) 
1 1 1 1
...
4 16 36 64
+ + + + 
Respostas: (a) convergente ( b) divergente (c) convergente (d) divergente 
(e) convergente (f) divergente (g) divergente (h) convergente (i) convergente 
(j) convergente (k) se a < e convergente (l) divergente (m) convergente 
(n) convergente (o) convergente (p) convergente (q) convergente (r) divergente 
(s) divergente (t) convergente. 
3) Se | r| < 1, prove que a série 
 1
( )n
n
r sen nt
∞
=
∑ é absolutamente convergente para todos 
os valores de t. 
4) Prove que se n
 = 1
u
n
∞
∑ for absolutamente convergente, então 2
n
 = 1
u
n
∞
∑ será 
convergente. 
5) Dada a série n 1 (-1)
1
1
.
2n
n
∞
+ +
=
∑ (a) Mostre que o teste da razão falha para essa série. 
(b) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente. 
 
6) Determine se a série é convergente ou divergente. 
 
a) 
2
1
cos
2 1
n
n
π
∞
=
 
 − ∑ (divergente) b) 
 1
1
( 1)
1
n
n
n
∞ +
=
−
+∑ (convergente) 
c) 
1
1
( 1) lnn
n
n
∞
=
 −  
 ∑ (divergente) d) 
1
1
2 ( )n
n
sen n
∞
=
+∑ (convergente) 
 
7) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente 
convergente ou divergente. 
 
a) 
2
1
( 1)
3
n
n
n
n
∞
=
−∑ ( abs. convergente) b) 1
3 4
1
1
( 1)
( 1)
n
n
n
∞
−
=
−
+∑ ( cond. Convergente) 
 
c) 
1
!
( 1)
10
n
n
n
n
∞
=
−∑ ( divergente) d) 
3
1
1
2
( 1)
n
n
n
n
n
∞
−
=
−∑ ( abs. convergente)