Vetor Tangente e Normal

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Aula 09 - Vetor Tangente e Normal.
Integral de Funções Vetoriais
Objetivos da Aula:
✓ Definir vetor tangente e normal;
✓ Definir integral de funções vetoriais;
✓ Calcular comprimento de arco.
1 Vetor Tangente
Definição
Uma parametrização−→α (t) é dita suave em um intervalo I se a sua derivada−→α ′(t) for cont́ınua
e não nula em I. E dizemos que uma curva C é suave se ela tem uma parametrização suave.
Considere P e Q pontos em uma curva suave C com parametrização −→α (t), sendo
−→
OP = −→α (t) e
−→
OQ = α(t+ h)
O
P
Q
−→α (t+ h)
−→α (t)
−→α (t+ h)−−→α (t)
−→
PQ é um vetor diretor da reta secante a C
Assim,
−→
PQ = −→α (t+ h)−−→α (t)
é um vetor diretor da reta secante à curva C que passa pelos pontos P e Q e, para todo número
real h > 0, o vetor
1
h
−→
PQ =
−→α (t+ h)−−→α (t)
h
tem a mesma direção e sentido de
−→
PQ.
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo II - 2023-4
2
Quanto h → 0, o ponto Q desloca-se sobre a curva, aproximando-se de P , e o vetor 1
h
−→
PQ
aproxima-se do vetor diretor da reta tangente à curva C em P . Como
lim
h→0
(
1
h
−→
PQ
)
= lim
h→0
(−→α (t+ h)−−→α (t)
h
)
= −→α ′(t),
o vetor −→α ′(t) é chamado Vetor Tangente à curva definida por −→α no ponto P (desde que
−→α ′(t) exista e −→α ′(t) ̸= 0).
O
Reta Tangente
−→
α′(t)
−→α (t+ h)
−→α (t)
−→α ′(t) é o Vetor Tangente
A Reta Tangente a C em P é definida como a reta que passa pelo ponto P e tem −→α ′(t)
como vetor diretor.
Exemplos
(01) Vamos determinar o vetor tangente e a reta tangente à curva −→α (t) = ⟨t2, 2t⟩ em P = (1, 2).
Solução:
Como já temos o ponto de tangência, o qual corresponde ao valor do parâmetro t = 1, resta
determinar o vetor tangente:
−→α ′(t) = ⟨2t, 2⟩ ⇒ −→α ′(1) = ⟨2, 2⟩.
Assim, as equações paramétricas da reta que passa por P = (1, 2) e tem −→α ′(1) = ⟨2, 2⟩
como vetor diretor é dada por
Reta Tangente :
{
x = 1 + 2t
y = 2 + 2t
, t ∈ R
Abaixo, um esboço da reta tangente e o representante do vetor tangente −→α ′(1) com ponto
inicial em P :
1
2
R
et
a
Ta
ng
en
te
P
Vetor e reta tangentes à curva ⟨t2, 2t⟩ em P = (1, 2)
UFPA Cálculo II 3
(02) Vamos determinar o vetor e a reta tangente à curva −→α (t) = ⟨1+2 cos t, 3+sen t⟩ no ponto
com o valor do parâmetro t =
π
3
.
Solução:
Sendo por P o ponto de tangência, a reta tangente é a reta que passa por P e tem −→α ′(π
3
) como
vetor diretor.
(i) Ponto de tangência:
−→α
(π
3
)
=
〈
1 + 2 cos
π
3
, 3 + sen
π
3
〉
=
〈
2, 3 +
√
3
2
〉
⇒ P =
(
2, 3 +
√
3
2
)
.
(ii) Vetor tangente:
−→α ′(t) = ⟨−2sen t, cos t⟩ ⇒ −→α ′
(π
3
)
=
〈
−2sen
π
3
, cos
π
3
〉
=
〈
−
√
3,
1
2
〉
.
Assim, as equações paramétricas da reta tangente são:{
x = 2 −
√
3t
y = 3 +
√
3
2
+ 1
2
t
, t ∈ R.
A seguir, exibimos a reta e o vetor tangentes a −→α (t) no ponto P :
P
Vetor e reta tangentes a −→α (t) = ⟨1 + 2 cos t, 3 + sen t⟩ em P
(03) Se −→α (t) = (1 + cos t)
−→
i + (1 + sen t)
−→
j + (3 + 2 cos t)
−→
k , então
−→α ′(t) = −sen t
−→
i + cos t
−→
j − 2sen t
−→
k
é o vetor tangente à curva em um ponto com parâmetro t. Em particular, quando t =
π
2
, o
vetor tangente à curva no ponto P = (1, 2, 3) é
−→α ′
(π
2
)
= ⟨−1, 0,−2⟩
e o versor de −→α ′
(π
2
)
, que é um vetor unitário, é dado por
1
∥−→α ′
(
π
2
)
∥
−→α ′
(π
2
)
=
〈
−1√
5
, 0,
−2√
5
〉
.
4
Abaixo um esboço da curva e do vetor tangente unitário à curva no ponto P :
Vetor tangente unitário a −→α (t) = (1 + cos t)
−→
i + (1 + sen t)
−→
j + (3 + 2 cos t)
−→
k □
No exemplo anterior, encontramos o versor do vetor tangente −→α ′(t), que é um vetor unitário.
Denotaremos por
−→
T o versor do vetor tangente, isto é,
−→
T (t) =
−→α ′(t)
∥−→α ′(t)∥
.
Exemplo
Vamos determinar o vetor tangente unitário à curva −→α (t) = cos t
−→
i + sen t
−→
j + t
−→
k .
Solução:
Temos que
−−→
α′(t) = ⟨−sen t, cos t, 1⟩ ⇒ ∥−→α ′(t)∥ =
√
(−sen t)2 + (cos t)2 + 1 =
√
2.
Portanto,
−→
T (t) =
−→α ′(t)
∥−→α ′(t)∥
=
1√
2
⟨−sen t, cos t, 1⟩.
2 Vetor Normal
Seja
−→α (t) = ⟨r cos t, rsen t⟩
uma parametrização da circunferência com raio r e centro na origem. Observe que temos
∥−→α (t)∥ =
√
(r cos t)2 + (rsen t)2 = r,
ou seja, o vetor −→α (t) tem o mesmo comprimento para qualquer t, que neste caso é o raio da
circunferência. No gráfico abaixo vemos que o vetor tangente à curva em qualquer ponto é
perpendicular ao vetor −→α (t):
UFPA Cálculo II 5
−→α (t)
−→α (
t)
De fato, uma vez que −→α ′(t) = ⟨−rsen t, r cos t⟩, fazendo o produto interno da função −→α (t)
com −→α ′(t), obtemos:
−→α (t) · −→α ′(t) = −r2sen t cos t+ r2sen t cos t = 0 ⇒ −→α (t) ⊥ −→α ′(t).
Na verdade, esse é o caso geral, conforme a proposição a seguir.
Proposição 1
Seja −→α (t) uma função vetorial diferenciável. Se ∥−→α (t)∥ = k (constante) para todo t, então
−→α (t) ⊥ −→α ′(t).
Demonstração:
Como ∥ −→α (t) ∥= k, então
k2 = ∥−→α (t)∥2 = −→α (t) · −→α (t)
⇓
d
dt
(k2) =
d
dt
(−→α (t) · −→α (t))
⇓
0 = −→α ′(t).−→α (t) +−→α (t).−→α ′(t) = 2−→α ′(t).−→α (t) ⇒ −→α (t).−→α ′(t) = 0 ⇒ −→α (t) ⊥ −→α (t).
□
Vetor Normal Unitário
Sejam −→α (t) uma parametrização suave de uma curva C, P o ponto final do representante de
posição de −→α (t) e −→α ′(t) o vetor tangente à curva C em P . Todo vetor ortogonal à função −→α ′(t)
é dito normal à curva C em P . Obviamente, que, para cada ponto P em C, existem muitos
vetores normais. Escolhe-se um em especial, o qual será chamado o vetor normal unitário
principal ou normal unitário.
Como o vetor tangente unitário
−→
T é tal que ∥
−→
T (t)∥ = 1, para todo t ∈ Dα, segue da
Proposição 1 que
−→
T ′ ⊥
−→
T . Portanto,
−→
T ′ é um vetor normal a C. Define-se o vetor normal
unitário principal
−→
N (t) como
−→
N (t) =
−→
T ′(t)
∥
−→
T ′(t)∥
.
6
Em outras palavras, o normal unitário é o versor do vetor
−→
T ′.
Exemplo
Vamos determinar o vetor normal unitário
−→
N (t) à curva
−→α (t) = cos t
−→
i + sen t
−→
j + t
−→
k .
Solução:
No exemplo anterior, já determinamos o vetor tangente unitário. Sendo assim:
−→
T (t) =
1√
2
⟨−sen t, cos t, 1⟩
⇓
−→
T ′(t) =
1√
2
⟨− cos t,−sen t, 0⟩ ⇒ ∥
−→
T ′(t)∥ =
√
1
2
[(− cos t)2 + (−sen t)2] =
1√
2
Logo,
−→
N (t) =
−→
T ′(t)
∥
−→
T ′(t)∥
= ⟨− cos t,−sen t, 0⟩.
Observe que
−→
N (t) é paralelo ao plano xy, sendo, portanto, um vetor horizontal.
3 Integral
Inicialmente, recordemos a definição de integral definida para funções reais. Considere
xi : [a, b] → R
t 7→ xi(t)
uma função real cont́ınua definida em um intervalo [a, b]. Dividamos o intervalo [a, b] em n
subintervalos de mesmo comprimento ∆t =
b− a
n
. Consideremos
t0 = a < t1 < t2 < . . . < ti−1 < ti < . . . < tn = b
as extremidades desses subintervalos e
t∗1 ∈ [t0, t1], t∗2 ∈ [t1, t2], . . . , t∗i ∈ [ti−1, ti], . . . , t∗n ∈ [tn−1, tn]
pontos arbitrários nesses subintervalos. Se existir o limite
lim
n→∞
n∑
i=1
xi(t
∗
i )∆t,
dizemos que a função xi é integrável no intervalo [a, b] e define-se a integral de xi(t) no intervalo
[a, b] como esse limite, isto é, ∫ b
a
xi(t)dt = lim
n→∞
n∑
i=1
xi(t
∗
i )∆t.
UFPA Cálculo II 7
Integral de Funções Vetoriais
Consideremos agora
−→α (t) : [a, b] → Vn
t 7→ ⟨x1(t), x2(t), . . . , xn(t)⟩
uma função vetorial cont́ınua definida em um intervalo [a, b]. Analogamente ao que é feito para
funções reais, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de mesmo comprimento ∆t =
b− a
n
.
Consideremos
t0 = a < t1 < t2 < ... < ti−1 < ti < . . . < tn = b
as extremidades desses subintervalos e
t∗1 ∈ [t0, t1], t∗2 ∈ [t1, t2], . . . , t∗i ∈ [ti−1, ti], . . . , t∗n ∈ [tn−1, tn]
pontos arbitrários nesses subintervalos. Se existir o limite
lim
n→∞
n∑
i=1
−→α (t∗i )∆t,
dizemos que a função −→α é integrável no intervalo [a, b] e define-se a integral definida de
−→α (t) de a a b por: ∫ b
a
−→α (t)dt = lim
n→∞
n∑
i=1
−→α (t∗i )∆t.
Das propriedades de limite, segue que podemos expressar a integral de uma função vetorial
como a integralde suas funções componentes. De fato, se
−→α (t) = ⟨x1(t), x2(t), . . . , xn(t)⟩,
então ∫ b
a
−→α (t)dt = lim
n→∞
n∑
i=1
−→α (t∗i )∆t
⇓∫ b
a
−→α (t)dt = lim
n→∞
n∑
i=1
⟨x1(t
∗
i )∆t, x2(t
∗
i )∆t, ..., xn(t
∗
i )∆t⟩
⇓∫ b
a
−→α (t)dt =
〈
lim
n→∞
n∑
i=1
x1(t
∗
i )∆t, lim
n→∞
n∑
i=1
x2(t
∗
i )∆t, ..., lim
n→∞
n∑
i=1
xn(t
∗
i )∆t
〉
⇓∫ b
a
−→α (t)dt =
〈∫ b
a
x1(t)dt,
∫ b
a
x2(t)dt, ...,
∫ b
a
xn(t)dt
〉
.
Exemplos
(01) Se −→α (t) = ⟨2t, 3t2⟩, então,∫ 2
0
−→α (t)dt =
∫ 2
0
⟨2t, 3t2⟩dt =
〈∫ 2
0
2tdt,
∫ 2
0
3t2dt
〉
= ⟨4, 8⟩.
8
(02) Se −→α (t) = 3sen 2t cos t
−→
i + 3sen t cos2 t
−→
j + 2sen t cos t
−→
k , então∫ π
2
0
−→α (t)dt =
∫ π
2
0
(3sen 2t cos t)dt
−→
i +
∫ π
2
0
(3sen t cos2 t)dt
−→
j +
∫ π
2
0
(2sen t cos t)dt
−→
k
=
−→
i +
−→
j +
−→
k .
O Teorema Fundamental do Cálculo é também válido para as funções vetoriais cont́ınuas.
Teorema 1
Se
−→
β é uma primitiva de −→α , isto é,
−→
β ′(t) = α(t), então∫ b
a
−→α (t)dt =
−→
β (b)−
−→
β (a).
A notação
∫
α(t)dt indica a integral indefinida (primitiva). Assim,
∫
−→α (t)dt =
−→
β (t) significa dizer que
−→
β ′(t) = −→α (t).
Exemplos
(01)
∫
⟨cos t, 2e2t, 1⟩dt = ⟨sen t+ k1, e
2t + k2, t+ k3⟩, com k1, k2, k3 constantes, pois
d
dt
(〈
sen t+ k1, e
2t + k2, t+ k3
〉)
=
〈
cos t, 2e2t, 1
〉
.
□
(02) Determine a famı́lia de primitivas da função −→α (t) =
4
1 + t2
−→
j +
2t
1 + t2
−→
k
Solução:
∫ (
4
1 + t2
−→
j +
2t
1 + t2
−→
k
)
dt =
∫
0dt
−→
i +
∫ (
4
1 + t2
)
dt
−→
j +
∫ (
2t
1 + t2
dt
)
−→
k
= k1
−→
i + (4arctg t+ k2)
−→
j + (ln(1 + t2) + k3)
−→
k .
4 Comprimento de Arco
Seja
−→α (t) = ⟨f(t), g(t)⟩
uma parametrização suave de uma curva plana C. Nosso objetivo é calcular o comprimento
da curva C entre os pontos −→α (a) e −→α (b), assumindo que a curva é percorrida apenas uma vez
quando t cresce de a a b. Vamos denotar por L esse comprimento.
UFPA Cálculo II 9
L é o comprimento da curva de P0 = −→α (a) a Pn = −→α (b)
A estratégia usada é calcular L por aproximação, usando segmentos de retas, cujos compri-
mentos sabemos calcular. Para tal, divide-se o intervalo [a, b] em n subintervalos de compri-
mento iguais a
∆t =
b− a
n
.
Sejam
a = t0 < t1 < t2 < . . . < ti−1 < ti < . . . < tn = b
as extremidades desses subintervalos.
Para cada i = 1, 2, . . . , n, seja Pi = (xi, yi) ∈ C o ponto final do vetor −→α (ti). Então{
xi = f(ti)
yi = g(ti)
Denotaremos por Ci o arco da curva no intervalo [ti−1, ti], isto é, a parte de C compreendida
entre os pontos Pi−1 e Pi e por Li o comprimento de Ci.
Obviamente que
L = L1 + L2 + ...+ Ln =
n∑
i=1
Li.
10
Agora, para cada i = 1, 2, . . . , n, calcula-se Li por aproximação com o comprimento do
segmento de reta Pi−1Pi, isto é,
Li ≈ Pi−1Pi,
sendo que
−−−−→
Pi−1Pi = −→α (ti)−−→α (ti−1)
= ⟨f(ti), g(ti)⟩ − ⟨f(ti−1), g(ti−1)⟩
= ⟨xi, yi⟩ − ⟨xi−1, yi−1⟩
= ⟨xi − xi−1, yi − yi−1⟩
= ⟨∆xi, ∆yi⟩.
Sendo assim, para cada i = 1, 2, . . . , n, temos que
Li ≈∥
−−−−→
Pi−1Pi ∥=
√
(∆xi)2 + (∆yi)2. (1)
Lembremos que, para cada i = 1, 2, . . . , n, temos:
xi−1 = f(ti−1) e xi = f(ti).
Como f é derivável, com f ′ cont́ınua no intervalo [a, b], pelo Teorema do Valor Médio, existe
t∗i ∈ (ti−1, ti) tal que a reta secante que passa pelo pontos (ti−1, xi−1) e (ti, xi) é paralela à reta
tangente ao grafico de f no ponto (t∗i , f(t
∗
i )) e, portanto, seus coeficientes angulares são iguais:
f ′(t∗i ) =
xi − xi−1
ti − ti−1
=
∆xi
∆t
⇓
∆xi = f ′(t∗i )∆t
De modo análogo, garantimos a existência de t⋆⋆ ∈ (ti−1ti), tal que:
g′(t⋆⋆i ) =
yi − yi−1
ti − ti−1
=
∆yi
∆t
⇓
∆yi = g′(t⋆⋆i )∆t.
Assim, (1) fica
Li ≈∥
−−−−→
Pi−1Pi ∥=
√
(∆xi)2 + (∆yi)2 =
√
(f ′(t∗i )∆t)2 + (g′(t⋆⋆i )∆t)2 =
√
f ′(t∗i )
2 + g′(t⋆⋆i )2∆t
e, portanto,
L =
n∑
i=1
Li ≈
n∑
i=1
√
f ′(t∗i )
2 + g′(t⋆⋆i )2∆t.
Quanto menor o valor de ∆t, melhor é a aproximação entre Li e ∥
−−−−→
Pi−1Pi∥, ou seja,
∆t → 0 ⇒ Li → ∥
−−−−→
Pi−1Pi∥.
UFPA Cálculo II 11
Assim, define-se o comprimento de L como o limite da soma acima, quando ∆t tende a zero,
ou, equivalentemente, quando n → ∞.
L = lim
n→∞
(
n∑
i=1
√
f ′(t∗i )
2 + g′(t⋆⋆i )2∆t
)
=
∫ b
a
(√
f ′(t)2 + g′(t)2
)
dt =
∫ b
a
∥−→α ′(t)∥dt.
De modo inteiramente análogo, se
−→α (t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟩
é uma parametrização suave de uma curva espacial C, então o comprimento L da curva C entre
os pontos A e B, correspondentes aos valores a e b para o parâmetro t, assumindo que a curva
é percorrida apenas uma vez quando t cresce de a a b, é dado por
L =
∫ b
a
(√
f ′(t)2 + g′(t)2 + h′(t)2
)
dt =
∫ b
a
∥−→α ′(t)∥dt.
Exemplos
(01) Encontre o comprimento de arco das curva −→α (t) = ⟨cos t, sen t, t⟩ com extremidades nos
pontos A = (1, 0, 0) e B = (−1, 0, π).
Solução:
Como −→α (0) =
−→
OA e −→α (π) =
−−→
OB, então o comprimento L da curva é dado por
L =
∫ π
0
∥−→α ′(t)∥dt.
Agora,
−→α ′(t) = ⟨−sen t, cos t, 1⟩ ⇒ ∥−→α ′(t)∥ =
√
(−sen t)2 + cos2 t+ 1 =
√
2.
Portanto,
L =
∫ π
0
√
2dt =
√
2t
∣∣π
0
=
√
2π.
□
(02) Determine o comprimento de arco da curva −→α (t) =
〈√
2
4
t2,
√
2
4
t2,−t
〉
, para 0 ≤ t ≤ 1.
Solução:
−→α ′(t) =
〈√
2
2
t,
√
2
2
t,−1
〉
⇒ ∥ −→α ′(t)∥ =
√
t2 + 1.
Assim,
L =
∫ 1
0
√
t2 + 1dt.
12
Para resolver a integral façamos a seguinte mudança de variável:
t = tg θ ⇒ dt = sec2θdθ, com 0 ≤ θ ≤ π
4
.
Logo, ∫ 1
0
√
t2 + 1dt =
∫ π
4
0
√
tg 2θ + 1 sec2 θ dθ
=
∫ π
4
0
sec3θ dθ
=
1
2
(tg θ secθ + ln |secθ + tg θ|)
∣∣π4
0
=
1
2
(
√
2 + ln(
√
2 + 1)).
□
Aprofundando o contéudo
Leia mais sobre o contéudo desta aula nas Seções 13.2 e 13.3 do livro-texto.
Sugestões de Exerćıcios
Resolva os exerćıcios das seções 13.2 e 13.3 do livro-texto.
	Vetor Tangente
	Vetor Normal
	Integral
	Integral de Funções Vetoriais
	Comprimento de Arco