1 Integração

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Contexto 
Porque devemos estudar este conteúdo na Engenharia?
 
Uma das grandes questões da engenharia é a resolução de problemas não elementares, por
exemplo, como calcular a área de uma região que não seja um polígono (quadrado, retângulo,
trapézio, etc)? Tal problema é similar ao encontrar a distância percorrida por um carro, que não
possui velocidade constante, em um dado intervalo de tempo.
 
 
Sugestões que auxiliam no estudo do conteúdo e na resolução das atividades desse material: 
 
FIGURA 1- Livro da disciplina 
 
 
 
 • Leia o capítulo 5 do livro "Cálculo" do autor George B. Thomas, volume 1, da página 285 até
a página 338.
 • Leia o capítulo 6 do livro "Cálculo" do autor George B. Thomas, volume 1, da página 351 até
a página 358
 • Leia o capítulo 7 do livro "Cálculo" do autor George B. Thomas, volume 1, da página 405 até
a página 413.
 • Leia o capítulo 8 do livro "Cálculo" do autor George B. Thomas, volume 1, da página 441 até
a página 459. 
 
Fonte: WEIR, Maurice D.; HASS, Joel. Cálculo volume 1 George B. Thomas. São Paulo: Pearson education do Brasil,
2012. 
 
 
https://bv4.digitalpages.com.br/?term=C%25C3%25A1lculo&searchpage=1&filtro=todos&from=busca&page=284&section=0#/legacy/3376
https://bv4.digitalpages.com.br/?term=C%25C3%25A1lculo&searchpage=1&filtro=todos&from=busca&page=350&section=0#/legacy/3376
https://bv4.digitalpages.com.br/?term=C%25C3%25A1lculo&searchpage=1&filtro=todos&from=busca&page=404&section=0#/legacy/3376
https://bv4.digitalpages.com.br/?term=C%25C3%25A1lculo&searchpage=1&filtro=todos&from=busca&page=440&section=0#/legacy/3376
 
ATIVIDADE 1 
 
Como sugestão para este exercício, assista aos vídeos: 
 
Método da substituição simples | Método de substituições menos evidentes | Método da
integração por partes | Método da integração por partes | Método da substituição
trigonométrica | Método da substituição trigonométrica. 
 
 Resolva os exercícios: 
 
 a) Exercícios do livro "Cálculo" do autor George B. Thomas, volume 1, páginas 330 e 331,
exercícios 1, 3, 5, 7, 9,11,13, 15, 17 e 21.
 Obs: Faça a auto avaliação abaixo depois de cada exercício feito.
 
b) Exercícios do livro "Cálculo" do autor George B. Thomas, volume 1, páginas 413 e 414,
exercícios 3, 5, 7, 9 e 11.
 Obs: Faça a auto avaliação abaixo depois de cada exercício feito. 
c) Exercícios do livro "Cálculo" do autor George B. Thomas, volume 1, página 448, exercícios 29,
31, 33, 35, 37, 41 e 43.
 Obs: Faça a auto avaliação abaixo depois de cada exercício feito
 
d) Exercícios do livro "Cálculo" do autor George B. Thomas, volume 1, página 458, exercícios 1,3,
5, 7, 9 e 11.
 Obs: Faça a auto avaliação abaixo depois de cada exercício feito 
 
ATIVIDADE 2
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
Integral definida 
 
Uma máquina empacotadora industrial foi comprada por um pequeno produtor rural.
 O vendedor informou ao novo proprietário que essa máquina, durante p anos de serviço, gera
uma receita a uma taxa reais por ano e que os custos de operação e
manutenção desta máquina aumentam a uma taxa reais por ano. 
 
Sabendo que o lucro pode ser calculado pela diferença entre a receita e o custo, qual será o lucro,
em reais, gerado por essa máquina, durante 5 anos de serviço?
 
a) R$ 2.000,00
 b) R$ 2.600,00
 c) R$ 13.000,00
 d) R$ 16.000,00
 e) R$ 144.333,00 
 
 
ATIVIDADE 3
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
Primitivas e integrais indefinidas
 
https://www.youtube.com/watch?v=Covl8sgci7E
https://www.youtube.com/watch?v=PYO90BHT1LQ
https://www.youtube.com/watch?v=BIz6JNgzhWQ
https://www.youtube.com/watch?v=_yTnGxYoTf4
https://www.youtube.com/watch?v=JdKQuAkNVzA
https://www.youtube.com/watch?v=oFmpxGM8Ggw
https://bv4.digitalpages.com.br/?term=C%25C3%25A1lculo&searchpage=1&filtro=todos&from=busca&page=330&section=0#/legacy/3376
https://bv4.digitalpages.com.br/?term=C%25C3%25A1lculo&searchpage=1&filtro=todos&from=busca&page=412&section=0#/legacy/3376
https://bv4.digitalpages.com.br/?term=C%25C3%25A1lculo&searchpage=1&filtro=todos&from=busca&page=448&section=0#/legacy/3376
https://bv4.digitalpages.com.br/?term=C%25C3%25A1lculo&searchpage=1&filtro=todos&from=busca&page=458&section=0#/legacy/3376
https://www.youtube.com/watch?v=066aewMA338
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-7/v/antiderivatives-and-indefinite-integrals
O gás natural é muito usado, atualmente, como fonte de energia (combustível) nas indústrias,
residências e veículos. 
Uma pesquisa constatou que um importante país do continente africano tem hoje uma reserva de
1200 bilhões de m³ de gás natural e que o gás natural que é consumido não é reposto.
Essa pesquisa, também, descobriu que f(t) é a função que representa a quantidade de gás natural
consumido em t anos, em bilhões de metros cúbicos, e que indica a taxa de
variação do consumo de gás natural.
Considerando que no momento inicial da pesquisa a quantidade de gás natural consumido
também é nula, qual das afirmativas abaixo é verdadeira:
 
a) Daqui a 80 anos, a reserva desse país africano será de mais de 485 bilhões de de gás
natural.
 
b) Daqui a 80 anos, a reserva desse país africano será exatamente de 486 bilhões de de gás
natural.
 
c) A reserva de gás natural desse país se esgotará daqui a menos de 146 anos.
 
d) Daqui a 80 anos, esse país terá consumido, exatamente, 729 bilhões de de gás natural.
 
e) Daqui a 80 anos, esse país terá consumido mais de 485 bilhões de de gás natural. 
 
ATIVIDADE 4
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
Integral Definida
 
Em Belo Horizonte, as capivaras estão causando aumento na população de carrapatos
transmissores de doenças. Suponha que a população de carrapatos, quando não há controle da
prefeitura, aumente a uma taxa estimada pela função , onde é medido em
semanas. De quanto será, aproximadamente, a população de carrapatos na terceira semana de
controle? 
 
ATIVIDADE 5 
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
Volume: Rotação eixo y
 
Um designer foi contratado para criar uma peça ornamental, cujo preço do material é R$0,20 por 
. A peça foi projetada de forma que o seu contorno é obtido fazendo-se girar a região entre as
funções e em torno do eixo , como indicado na figura a seguir
(medidas em cm). Levando-se em conta apenas o preço do material, qual o custo, em reais, para
se produzir 50 peças? 
 
https://www.youtube.com/watch?v=1IDcKbr_Y4Y
https://www.youtube.com/watch?v=qSpKbk5Mki4
 
 
 
ATIVIDADE 6
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
Cálculo de área com integrais
 
Para construção de barracas utilizadas para acampamento o molde da porta de entrada foi
projetado no formato da área representada na figura a seguir limitada pelas funções 
 e e com o eixo das abscissas. 
 
 
A porta deverá ser confeccionada com uma lona de maior flexibilidade para comodidade do
usuário. Neste contexto, a quantidade mínima de lona necessária para confecção de uma dessas
portas será de aproximadamente? 
 
 
 
ATIVIDADE 7
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
Integral Método da Substituição
https://www.youtube.com/watch?v=JPI0v74lYNU
https://www.youtube.com/watch?v=Covl8sgci7E
Um barco navegando em águas agitadas colide em uma rocha e um buraco em seu casco é feito
em função desta colisão. Imediatamente a água começa a entrar por este orifício a uma taxa 
 litros por minuto. Com temor da embarcação naufragar, um engenheiro a bordo,
calcula rapidamente a quantidade de água que entrará no barco nos primeiros 30 minutos. O valor
obtido por ele foi de? 
 
 
ATIVIDADE 8
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
Integração por partes: ∫x⋅cos(x)dx
Para se adaptar ao aumento da demanda mundial de carvão de caldeira - o combustível das
fornalhas usadas para geração de eletricidade - a direção de certa empresa decidiu acelerar suas
operações de mineração. Os planos indicam que a taxa de aumento da produção anual será dada
por milhõesde toneladas/ano nos próximos 20 anos. Sabe-se que a atual
produção anual é de 20 milhões de toneladas. Considerando tais informações encontre a função
que descreve a produção total de carvão de caldeira da referida empresa ao final de anos.
 
 
 
ATIVIDADE 9
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
 
Cálculo de volume com integrais simples | Integração por Substituição Trigonométrica. 
Especialistas em estudos de câncer encontraram um tumor em certo paciente que tem a mesma
forma que o sólido formado pela rotação da região sob a curva em torno do eixo 
, onde e estão em centímetros. Determine o volume do tumor encontrado pela equipe. 
 
ATIVIDADE 10
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
 
Cálculo de volume com integrais simples | INTEGRAL Definida Integração por PARTES
 
 
Uma siderúrgica utilizará em um de seus processos de tratamento do minério um grande funil o
qual foi modelado a partir da rotação da curva em torno do eixo no intervalo 
 , tal como esquematizado na figura a seguir: 
 
 
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-11/v/antiderivative-of-xcosx-using-integration-by-parts
https://www.youtube.com/watch?v=0aD5BV46Zyk
https://www.youtube.com/watch?v=QgBM71HvXg0
https://www.youtube.com/watch?v=0aD5BV46Zyk
https://www.youtube.com/watch?v=EcNR6RetjxU
 
 
Sabendo que as medidas de e são dadas em metros, qual é aproximadamente o volume
máximo de minério comportado pelo funil, em ? 
 
ATIVIDADE 11
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
Integral Definida com Seno e Cosseno do minuto 5:50 até o final; e 
Integral Trigonométrica - Método da Substituição do minuto 4:28 até o final.
O bombeamento do coração consiste da fase sistólica, na qual o sangue é ejetado do ventrículo
esquerdo para a artéria aorta, e da fase diastólica, durante a qual o músculo cardíaco relaxa. O
gráfico abaixo mostra o fluxo de sangue (em litros por segundo) para a aorta em função do tempo
e sua equação é: . 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=fCcyUbyly-c
https://www.youtube.com/watch?v=lETCfaLlQmE
 
Supondo que a fase sistólica dura de segundo, calcule, a quantidade total de sangue, em litros,
bombeado para a aorta durante uma fase sistólica. 
 
 
 
ATIVIDADE 12
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
 
Integral de Produto entre Potências de Seno e Cosseno | Integral do produto de potência entre
sen(x) e cos(x) 
 
Uma partícula se move em uma linha reta com a função velocidade . Determine
sua função de posição . 
 
 
ATIVIDADE 13
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
 
Integração por partes: ∫ln(x)dx | Cálculo Integral: integral definida e cálculo de área 
 
 
Dada a região delimitada pelos gráficos de , e , determine: 
 
 
a) A área da região.
 b) O volume do sólido gerado pela revolução da região em torno do eixo x. 
 
 
ATIVIDADE 14
 
Como sugestão para este exercício, assista ao vídeo: 
 
Método da substituição com sen(x) e cos(x)
 
Determine a área da região limitada pelas curvas dadas. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=Gyc3FApxsDQ
https://www.youtube.com/watch?v=dxyb6QOM0u0
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-11/v/integral-of-ln-x
https://www.youtube.com/watch?v=lDaksKlOY-o
https://www.youtube.com/watch?v=1xbpaUyH1Wk