Cálculo Integral - Funções Trigonométricas

Prévia do material em texto

Módulo E - 230132 . 7 - Cálculo Integral - 
D.20241.E 
 
Atividade 3 
1. Pergunta 1 
0/0 
As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são definidas a partir do 
círculo trigonométrico. Elas possuem um caráter periódico e suas variáveis e integrais estão 
relacionadas entre si. 
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno. 
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante. 
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais. 
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, F, V. 
V, F, V, F. 
Correta: 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
F, F, V, V. 
F, V, F, F. 
2. Pergunta 2 
0/0 
As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro 
contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de 
corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com 
seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada dividindo a figura 
formada pela curva e o eixo x no maior número possível de retângulos de mesmo comprimento 
e somando as áreas dos mesmos. 
II. ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243. 
III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde A1 é a área entre a 
curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das regiões onde f(x) < 0. 
IV. ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é uma função par. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
F, F, V, F. 
V, F, F, V. 
F, V, F, V. 
V, V, F, F. 
Correta: 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
3. Pergunta 3 
0/0 
Existem diversas propriedades de integração, entre elas a de funções exponenciais, que são 
importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com 
seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A integral indefinida de f(x) = e^x + e^(2x) resulta na primitiva F(x) = (½)(e^x)(e^x + 2). 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = (⅗)x no intervalo [1, e] é igual a 3/5. 
III. ( ) A função h(x) = e^x + x² apresenta apenas valores positivos de integral, qualquer que seja 
o intervalo de integração. 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = 1/(2x+1) resulta na primitiva I(x) = ln(2x+1)/2 + C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
F, F, F, V. 
V, F, V, V. 
F, V, V, F. 
F, F, V, V. 
4. Pergunta 4 
0/0 
Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e 
sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral possuem significados 
práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz indispensável para a análise quantitativa 
e qualitativa desses fenômenos. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com 
seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que seja o 
intervalo de integração. 
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4. 
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x). 
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
V, V, F, F. 
Resposta correta 
F, F, V, V. 
V, F, F, F. 
V, V, V, F. 
V, V, F, V. 
5. Pergunta 5 
0/0 
Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental nos estudos de 
Cálculo pelas limitações teóricas que cada uma impõe. Em uma situação aplicada, a integral 
definida funciona como uma ferramenta de mensuração de área para uma determinada curva, já 
a integral indefinida consegue identificar uma família de soluções para uma determinada 
situação. 
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) é uma integral indefinida. 
II. ( ) é uma integral definida. 
III. ( ) é uma integral definida. 
IV. ( ) é uma integral definida. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, F, F. 
V, V, F, F. 
V, V, V, F. 
F, F, V, V. 
Correta: 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
6. Pergunta 6 
0/0 
A integral definida de funções tem importantes aplicações em diversos estudos de fenômenos 
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento das regras de integração definida 
em um intervalo [a,b] é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando isso e seus conhecimentos sobre regras de integração definida, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A integral de uma constante no intervalo [a,b] é igual a c(a-b). 
II. A integral definida no intervalo [a,b] do produto de duas funções é igual ao produto das 
integrais dessas funções nesse intervalo. 
III. A integral definida no intervalo [a,b] da soma de duas funções é igual à soma das integrais 
dessas funções nesse intervalo. 
IV. Se f(x) > 0 em um intervalo [a,b], então sua integral nesse intervalo também é maior que 
zero. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
Correta: 
III e IV. 
Resposta correta 
I e IV. 
II e III. 
II e III. 
I e III. 
7. Pergunta 7 
0/0 
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo Cálculo. É por meio delas 
que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimentos. Identificar as 
propriedades das integrais definidas é essencial para a sua manipulação. 
De acordo com seu conhecimento acerca das propriedades das integrais definidas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) 
II. ( ) 
III. ( ) 
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
F, F, V, F. 
Correta: 
V, V, V, F. 
Resposta correta 
V, V, F, V. 
V, V, F, F. 
V, F, V, V. 
8. Pergunta 8 
0/0 
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a 
atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não 
podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a 
integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo conjunto domínio é 
D = [-6,0]. 
Porque: 
II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-3)(x+3)/(x+3), de 
forma que f(x) = x-3, sendo então uma função definida em todo o intervalo [-6,0] e, integrando, 
temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x + C e, calculando a integral definida, temos F(0) – F(-6) = 0 – 0 
+ C – (18 + 18 + C) = -36. 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições falsas.As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
Correta: 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
9. Pergunta 9 
0/0 
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a 
atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não 
podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a 
integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções 
circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1. 
Porque: 
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por 
outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = 
cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo F(x) = -
cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3). 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Ocultar opções de resposta 
As asserções I e II são proposições falsas. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
Correta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
Resposta correta 
10. Pergunta 10 
0/0 
O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial, possibilitando o 
cálculo de integrais definidas a partir da seguinte igualdade: 
 
Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema Fundamental do 
Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma resposta apenas, e não 
uma família de soluções. 
II. ( ) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais. 
III. ( ) Para utilizá-lo, não é necessário definir os limites de integração. 
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
V, F, F, F. 
V, V, V, F. 
F, F, V, V. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
Incorreta: 
V, F, V, V.