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Transformações Geométricas
Prof. Ricardo Mesquita
Transformações Geométricas 2D
• Translação: adicionam-se quantidades inteiras às 
coordenadas x e y.
• Podemos transladar um objeto ponto-a-ponto 
(abordagem ingênua) ou fazê-lo para seus pontos de 
limite e sobre estes pontos redesenhar o 
preenchimento.
• Equações:
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Transformações Geométricas 2D
• Translação:
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Transformações Geométricas 2D
• Escala: alterar a distância entre os pontos da figura 
(alterando seu tamanho na exibição)
– Definição matemática:
– Matricialmente:
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Transformações Geométricas 2D
• Escala:
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• Rotação:
– Rotação de um ângulo  com relação à origem
– Definição matemática:
– Matricialmente:
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Observação: rotações no sentido horário têm ângulo negativo!
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Transformações Geométricas 2D
• Rotação:
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Sejam as transformações estudas 
– Translação: P’ = T + P
– Escala: P’ = S . P
– Rotação: P’ = R . P
Note que a translação é uma operação diferente das 
demais. 
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Coordenadas Homogêneas: tem o objetivo de 
permitir que se tratem as transformações de forma 
igual e consistente.
– Todas as transformações serão multiplicações
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Espaço de 
coordenadas 
homogêneas (2D) 
XYW, com plano 
W = 1.
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Translação
– Matriz de Transformação:
– Pode ser representada por:
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Translação
– O que acontece se fizermos duas translações 
sucessivas (P para P’ e P’ para P”)?
– Temos:
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Translação
– O produto das matrizes é:
– A translação é aditiva.
– Essa última matriz é chamada Matriz de 
Transformação de Composição (vale para todas as 
transformações)
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Escala:
– Matriz de Transformação:
– Ou:
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Escala:
– Composição:
– Matriz
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Rotação:
– Matriz de Transformação:
– Ou
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Rotação:
– Exercício: encontre a matriz de transformação de 
composição de duas rotações.
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Transformações Afins: 
– Sequência arbitrária de translações, escalas e 
rotações.
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Espelhamento:
– Em relação ao eixo x:
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Espelhamento:
– Em relação ao eixo y: similar ao espelhamento em 
relação ao eixo x, mas agora invertendo o sinal da 
componente em x.
𝑀𝑖𝑟𝑟𝑜𝑟𝑦 =
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
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Coordenadas Homogêneas e Matrizes 
de Transformação
• Espelhamento:
– Em relação à origem:
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Composição de Transformações
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Composição de Transformações
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Composição de Transformações
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Transformações em 3D
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Translação
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Escala
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Rotação
• Em relação ao eixo z
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Rotação
• Em relação ao eixo x
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Rotação
• Em relação ao eixo y
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Composição em 3D
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Dúvidas?
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