Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-349

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838 CÁLCULO
42. Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor
de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função
Cobb-Douglas
P(L, K) � 1,47 L0,65K0,35
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o
capital investido (em milhões de dólares). Suponha que quando
L � 30 e K � 8, a força de trabalho esteja decrescendo em uma
taxa de 2.000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja au-
mentando em uma taxa de $ 500.000 por ano. Encontre a taxa de
variação da produção.
43. Um lado de um triângulo está aumentando em uma taxa de
3cm/s e um segundo lado está decrescendo em uma taxa de 2
cm/s. Se a área do triângulo permanece constante, a que taxa
varia o ângulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20 cm
de comprimento, o segundo lado tem 30 cm de comprimento e
o ângulo é p/6?
44. Se um som com frequência fs for produzido por uma fonte se
movendo ao longo de uma reta com velocidade vs e um obser-
vador estiver se movendo com velocidade vo ao longo da mesma
reta a partir da direção oposta, em direção à fonte, então a fre-
quência do som ouvido pelo observador é
fo � ( )fs
onde c é a velocidade do som, cerca de 332m/s. (Este é o efeito
Doppler.) Suponha que, em um dado momento, você esteja em
um trem que se move a 34 m/s e acelera a 1,2 m/s2. Um trem se
aproxima de você da direção oposta no outro trilho a 40 m/s,
acelerando a 1,4 m/s2, e toca seu apito, com frequência de 
460 Hz. Neste instante, qual é a frequência aparente que você
ouve e quão rapidamente ela está variando?
45–48 Suponha que todas as funções dadas sejam diferenciáveis. 
45. Se z � f (x, y), onde x � r cos u e y � r sen u, (a) determine �z/�r
e �z/�u e (b) mostre que
46. Se u � f (x, y), onde x � es cos t e y � es sen t, mostre que 
47. Se z � f (x � y), mostre que .
48. Se z � f (x, y), onde x � s � t e y � s � t, mostre que 
49–54 Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas par-
ciais de segunda ordem contínuas.
49. Mostre que qualquer função da forma
z � f (x � at) � t(x � at)
é uma solução da equação de onda
[Dica: Seja u � x � at, v � x � at.] 
50. Se u � f (x, y), onde x � es cos t e y � es sen t, mostre que 
51. Se z � f (x, y), onde x � r2 � s2, y � 2rs, determine �2z/�r �s.
(Compare com o Exemplo 7.)
52. Se z � f (x, y), onde x � r cos u, e y � r sen u, determine 
(a) �z/�r, (b) �z/�u e (c) �2z/�r �u.
53. Se z � f (x, y), onde x � r cos u, e y � r sen u, mostre que 
54. Suponha que z � f (x, y), onde x � t(s, t) e y � h(s, t). 
(a) Mostre que 
(b) Determine uma fórmula semelhante para �2z/�s �t.
55. Uma função f é chamada homogênea de n-ésimo grau se sa-
tisfaz a equação f (tx, ty) � tnf (x, y) para todo t, onde n é um in-
teiro positivo e f tem derivadas parciais de segunda ordem
contínuas.
(a) Verifique se f (x, y) � x2y � 2xy2 � 5y3 é homogênea de grau
3.
(b) Mostre que, se f é homogênea de grau n, então
[Dica: Utilize a Regra da Cadeia para derivar f (tx, ty) com rela-
ção a t.]
56. Se f é homogênea de grau n, mostre que 
57. Se f é homogênea de grau n, mostre que
fx(tx, ty) � tn�1fx(x, y)
58. Suponha que a equação F(x, y, z) � 0 defina implicitamente cada
uma das três variáveis x, y e z como funções das outras duas: 
z � f (x, y), y � t(x, z), x � h(y, z). Se F for diferenciável e Fx,
Fy e Fz forem todas não nulas, mostre que 
59. A Equação 6 é uma fórmula para a derivada dy/ dx de uma fun-
ção definida implicitamente por uma equação F (x, y) � 0, sendo
que F é diferenciável e Fy � 0. Comprove que se F tem deriva-
das contínuas de segunda ordem, então uma fórmula para a se-
gunda derivada de y é
� �
�z
�x
�x
�y
�y
�z
� �1
x2 �2f
�x 2 � 2xy
�2f
�x �y
� y 2 �2f
�y 2 � n�n � 1� f �x, y�
x
�f
�x
� y
�f
�y
� n f �x, y�
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�z
�x
�2x
�t 2 �
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�x 2 ��x
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�y 2 ��y
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�y 2 � e�2s	�2u
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