Apostila sobre funcoes e graficos

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Universidade da Amazônia 
Profa Lucélia Rocha 
Disciplina: Cálculo diferencial 
 
Funções e seus gráficos 
Par ordenado 
É formado por dois números racionais agrupados, os quais determinam pontos no plano cartesiano, numa 
certa ordem. 
 
Exemplo: ( 3, 4) 
 
Assim, indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º 
elemento. 
Observações: 
 De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: (x, y) ≠ (y, x). Por exemplo: 
(1, 3) ≠ (3, 1) 
 Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais se e somente se, x =r e y =s. 
Exemplo: Determinar x e y de modo que os pares ordenados (2x + 7, 5y - 9) e (x +3, 3y - 3) sejam 
iguais. 
 
Plano cartesiano 
 
Consideremos duas retas numeradas (perpendiculares), denominadas eixos, que se interceptam no ponto 
zero(origem). 
 
A representação de um ponto no plano é feita por meio de dois números reais: O primeiro número do par 
ordenado chama-se abscissa do ponto. O segundo número do par ordenado chama-se ordenada do ponto. 
 
Exemplos: Vamos representar os seguintes pares ordenados: A(4, 2); B(-2, 3); C(-3, -5); D(3, -3) E(2, 0) e F(0, 
3). 
 
 
Funções 
 
1. Definição 
Dados dois conjuntos A e B, diz-se que uma relação f de A em B é função, se e somente se, para todo 
elemento x ϵ A existir um e somente um elemento y ϵ B. 
 
Exemplos: 
 
É função Não é função 
 
 
É função Não é função 
 
2. Domínio, contradomínio e conjunto imagem. 
 
DOMÍNIO – É o conjunto de partida da função. Graficamente, o domínio da função f é a projeção do gráfico de 
f sobre o eixo das abscissas. 
CONTRADOMÍNIO – É o conjunto de chegada da função. 
IMAGEM – É o conjunto dos elementos “flechados” (subconjunto de contradomínio). Graficamente, o conjunto 
imagem da função f é a projeção do gráfico de f sobre o eixo das ordenadas. 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A={0, 1, 2, 3} e B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e f(x)= 2x a função que transforma xϵA em 
2x ϵ B. Calcule o domínio, o contradomínio e a imagem dessa função. 
 
ATENÇÃO: PROBLEMAS DE DOMÍNIO: 
 f(x) = 
 
 
 → b(x) ≠ 0 
 f(x) = 
par )x(c
 → c(x) ≥ 0 
 
 f(x) = 
par )x(e
)x(d
 → e(x) > 0 
 
Exemplos: 
 
1) 
 
 
 , D(f) = 
2) 
 
 
 , D(f) = 
3) √ , D(f) = 
4) , D(f) = 
Função Afim 
 
1. Definição 
Uma função f: chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax +b, 
para todo x ϵ . 
Exemplos: 
 f(x) = 2x + 1 
 f(x) = -x + 4 
 f(x) = 4x 
 
2. Valor numérico 
O valor numérico f(α) de uma função f(x) é o resultado obtido na expressão quando substitui-se o x por α. 
Ex: 
1) Dada a função f(x) = 3x – 15, calcule: 
a) f(1) 
b) f(0) 
c) f(5) 
 
2) Seja f a função real, definida por f(x + 2) = x2 – 9. Calcule o valor numérico de f(5). 
 
3. Zero da função 
O zero de uma função é o número α do domínio que anula a função, ou seja, tem-se f(x) = 0. 
Ex: Determine o zero da função f(x) = 3x – 1. 
 
4. Gráfico da função afim 
O gráfico é um recurso que expressa a relação entre duas grandezas. E, além disso, o gráfico da função afim 
é uma reta. 
Exemplos: 
 Quando a>0, tem-se uma reta crescente. 
f(x) = 2x +1 
 
 - Quando a<0, tem-se uma reta decrescente. 
f(x) = -3x +2 
 
Outros exemplos: 
1) Obtenha, em cada caso, a função f(x) = ax + b, cuja reta, passa pelos pontos: 
a) (-1, 1) e (2, 0) b) (3,0) e (0, 4) 
 
2) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que: f(-1) = 7 e f(2)= 1. 
 
 
Função quadrática 
1. Definição 
Uma função f: chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c com a≠ 0, tal que f(x) = ax² + 
bx + c, para todo x ϵ . 
Exemplos: 
 f(x) = - x² + 100x 
 f(x) = 3x² - 2x + 1 
 f(x) = 20x² 
 
2. Gráfico da função quadrática 
O parâmetro a é responsável pela concavidade da parábola. 
 Se a>0 a concavidade é para cima. 
 Se a<0 a concavidade é para baixo. 
 
3. Zeros da função quadrática 
São os valores de x para os quais a função f(x)= x² + bx + c se anula, ou seja, tenha f(x)=0. 
 
Exemplos: Determine os zeros das seguintes funções: 
a) f(x) = x² - 4 b) f(x) = x² + 4x + 4 
 
 
Observações: O número é denominado discriminante da equação. Ele determina a existência e o 
número de raízes da equação ou zeros da função. 
 Se , a função possui dois números (zeros) reais e distintos (x’ ≠ x” ). 
 Se , a função possui dois zeros reais e iguais (x’ = x”). 
 Se a função não possui zeros reais. 
 
4. Vértice da parábola, valor de máximo ou mínimo da função quadrática. 
O vértice da parábola, gráfico da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, têm coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Determinar o vértice, o valor máximo ou mínimo da função f(x) = 2x² - 8x. 
 
2) Dada a função quadrática f(x) = 2x² - x -3, determine: 
a) Se a concavidade está voltada para cima ou para baixo. 
b) Os zeros da função 
c) A intersecção com o eixo y 
d) O esboço do gráfico. 
 
 
Funções racionais 
Uma função racional f é a razão de dois polinômios. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
, D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
Funções algébricas 
Uma função f é chamada função algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (como 
adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) a partir de polinômios. 
Toda função racional é automaticamente uma função algébrica. 
 
Exemplos: 
a) √ 
 
b) 
 
 √ 
 √