aula e exercicio AY

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**Explicação:** \(32 = 2^5\), então \(\log_2(32) = 5\). 
 
25. **Qual é a fórmula para a soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão 
aritmética?** 
 a) \(\frac{n}{2} (a + l)\) 
 b) \(\frac{n(a + l)}{2}\) 
 c) \(n (a + l)\) 
 d) \(\frac{n(a - l)}{2}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{n}{2} (a + l)\)** 
 
 
 **Explicação:** A fórmula para a soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão 
aritmética é \(\frac{n}{2} (a + l)\), onde \(a\) é o primeiro termo e \(l\) é o último termo. 
 
26. **Qual é a integral de \(\int x \, e^x \, dx\)?** 
 a) \(x \, e^x - e^x\) 
 b) \(x \, e^x + e^x\) 
 c) \(e^x + x \, e^x\) 
 d) \(e^x + x \, e^x - e^x\) 
 **Resposta: a) \(x \, e^x - e^x\)** 
 **Explicação:** Usando a integração por partes, obtemos \(x \, e^x - e^x\). 
 
27. **Qual é o valor de \(\sin(\pi/4)\)?** 
 a) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 
 d) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)** 
 **Explicação:** \(\sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), que é uma das identidades 
trigonométricas conhecidas. 
 
28. **Qual é a fórmula da soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão geométrica?** 
 a) \(\frac{a (r^n - 1)}{r - 1}\) 
 b) \(\frac{a (r - 1)}{r^n - 1}\) 
 c) \(\frac{a (1 - r^n)}{r - 1}\) 
 d) \(\frac{a (r - 1)}{1 - r^n}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{a (r^n - 1)}{r - 1}\)** 
 **Explicação:** A fórmula para a soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão 
geométrica é \(\frac{a (r^n - 1)}{r - 1}\), onde \(a\) é o primeiro termo e \(r\) é a razão. 
 
29. **Qual é o valor de \(\int x^2 \cos(x) \, dx\)?** 
 a) \(x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + 2 \sin(x)\) 
 b) \(x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x)\) 
 c) \(x^2 \sin(x) - x \cos(x) + \sin(x)\) 
 d) \(x^2 \sin(x) + x \cos(x) - \sin(x)\) 
 **Resposta: a) \(x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + 2 \sin(x)\)** 
 **Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, obtemos a integral como \(x^2 
\sin(x) - 2x \cos(x) + 2 \sin(x)\). 
 
30. **Qual é o valor de \(\int_{0}^1 \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{3}\) 
 d) \(\frac{\pi}{6}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{\pi}{4}\)** 
 **Explicação:** Completar o quadrado no denominador e usar a integral padrão de uma 
função do tipo \(\frac{1}{x^2 + a^2}\) resulta em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
31. **Qual é o valor de \(\int_{0}^\infty e^{-x^2} \, dx\)?** 
 a) \(\sqrt{\pi}\) 
 b) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) 1 
 **Resposta: a) \(\sqrt{\pi}\)** 
 **Explicação:** Esta é a integral padrão da função gaussiana, e seu valor é \(\sqrt{\pi}\). 
 
32. **Qual é o resultado de \(\frac{d}{dx} \left(e^{x^2}\right)\)?** 
 a) \(2x e^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2}\) 
 c) \(x e^{x^2}\) 
 d) \(2 e^{x^2}\) 
 **Resposta: a) \(2x e^{x^2}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, obtemos \(2x e^{x^2}\). 
 
33. **Qual é o valor de \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{6}\) 
 d) \(\frac{\pi}{3}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{\pi}{4}\)** 
 **Explicação:** A integral é a integral da função arco-seno e resulta em \(\frac{\pi}{4}\). 
 
34. **Qual é a fórmula para o cálculo da variância de uma amostra?** 
 a) \(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\) 
 b) \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\) 
 c) \(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\) 
 d) \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\)** 
 **Explicação:** A variância amostral é dada por \(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - 
\bar{x})^2\), onde \(\bar{x}\) é a média da amostra. 
 
35. **Qual é a solução da equação \(e^x = x\)?** 
 a) \(x = 0\) 
 b) \(x = 1\) 
 c) \(x = -1\)