testes de matematica k

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**Explicação:** Este é o limite que define a constante \(e\). 
 
42. **Problema:** Encontre o número de soluções reais da equação \( x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \(2\) 
 **Explicação:** Fatorize a equação para encontrar as raízes. 
 
43. **Problema:** Resolva \( \frac{dy}{dx} = \frac{3y}{x} \) com condição inicial \( y(1) = 2 \). 
 **Resposta:** \( y = 2x^3 \) 
 **Explicação:** Separe variáveis e integre. 
 
44. **Problema:** Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} x e^{-x} \, dx \)? 
 **Resposta:** \( 1 - \frac{2}{e} \) 
 **Explicação:** Use a integração por partes. 
 
45. **Problema:** Encontre a soma dos quadrados dos primeiros 5 números inteiros positivos. 
 **Resposta:** \( 55 \) 
 **Explicação:** Calcule a soma diretamente: \(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2\). 
 
46. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = 0 \). 
 **Resposta:** \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 **Explicação:** Resolva a equação característica \( r^2 - 4 = 0 \). 
 
47. **Problema:** Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 
\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\). 
 **Resposta:** \(10\) 
 **Explicação:** Use a fórmula do determinante para matrizes \(3 \times 3\). 
 
48. **Problema:** Qual é o valor de \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \)? 
 **Resposta:** \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 
 **Explicação:** Esta é a integral gaussiana conhecida. 
 
49. **Problema:** Encontre a soma dos ângulos internos de um heptágono. 
 **Resposta:** \( 900^\circ \) 
 **Explicação:** Use a fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono: \( (n-2) 
\cdot 180^\circ \), onde \(n = 7\). 
 
50. **Problema:** Determine a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Esta é uma integral padrão resultando na função arco tangente. 
 
51. **Problema:** Calcule o número de maneiras de distribuir 10 livros em 3 estantes 
diferentes. 
 **Resposta:** \( 3^{10} \) 
 **Explicação:** Cada livro pode ser colocado em qualquer uma das 3 estantes. 
 
52. **Problema:** Qual é a área de um triângulo com lados \(3\), \(4\) e \(5\)? 
 **Resposta:** \(6\) 
 **Explicação:** Este é um triângulo retângulo; use a fórmula da área para triângulos 
retângulos. 
 
53. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 **Resposta:** \( 3 \) 
 **Explicação:** Use a regra do limite fundamental \( \frac{\sin x}{x} \to 1 \) e ajuste para a 
constante \(3\). 
 
54. **Problema:** Encontre o valor da soma infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). 
 **Resposta:** \( 1 \) 
 **Explicação:** Decomponha a fração em frações parciais e use a série telescópica. 
 
55. **Problema:** Resolva \( \log_{10}(x^2 - 3x + 2) = 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 4 \) ou \( x = -1 \) 
 **Explicação:** Reescreva a equação exponencialmente e resolva a quadrática.