44 - EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1 GRAU

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<p>Exercícios de Sistemas de Equações do 1º</p><p>Grau (Comentados e Resolvidos)</p><p>Os Sistemas de equações do 1º grau são constituídos por um conjunto de</p><p>equações que apresentam mais de uma incógnita. Resolver um sistema é</p><p>encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas essas equações.</p><p>Muitos problemas são resolvidos por sistemas de equações. Portanto, é</p><p>importante conhecer os métodos de resolução para esse tipo de cálculo.</p><p>Questão 1</p><p>Um grupo de amigos está indo a um show e precisa comprar ingressos. Os</p><p>ingressos custam R$ 40,00 cada para estudantes e R$ 60,00 cada para não</p><p>estudantes. O grupo é composto por 8 amigos. No total, foram gastos R$</p><p>360,00 na compra dos ingressos.</p><p>Escreva um sistema de equações do primeiro grau que represente essa</p><p>situação e, em seguida, resolva-o para encontrar o número de ingressos de</p><p>cada tipo.</p><p>Resposta: 6 ingressos de estudantes e 2 de não estudantes.</p><p>Resolução</p><p>Utilizamos letras para descrever os valores:</p><p>x para estudantes;</p><p>y para não estudantes.</p><p>Como são oito pessoas, temos que:</p><p>x + y = 8</p><p>Como sabemos o preço pago por cada estudante (x), que foi de R$40,00 e,</p><p>para não estudantes de R$60,00, sendo o total R$360,00, escrevemos:</p><p>40x + 60y = 360</p><p>Temos duas equações com duas incógnitas cada e, assim, podemos montar</p><p>e resolver o sistema.</p><p>Utilizando o método da substituição, isolamos uma incógnita na primeiro</p><p>equação e substituímos na segunda.</p><p>Isolando x na primeira:</p><p>x = 8 - y</p><p>Substituindo na segunda:</p><p>Retornando este valor em x = 8 - y, temos:</p><p>x = 8 - 2 = 6</p><p>Assim, temos 6 ingressos do tipo x (estudantes) e 2 ingressos do tipo y (não</p><p>estudantes).</p><p>Questão 2</p><p>Em uma feira as maçãs custam R$ 2,00 cada e bananas custam R$ 1,50 cada.</p><p>Você decide comprar um total de 10 frutas e gasta R$ 17,00 no total. Escreva</p><p>um sistema de equações do primeiro grau que represente essa situação e, em</p><p>seguida, resolva-o para encontrar o número de maçãs e bananas compradas.</p><p>Resposta: 6 bananas e 4 maçãs.</p><p>Resolução</p><p>O número de maçãs mais o de bananas é de 10 frutas.</p><p>maçãs + bananas = 10</p><p>Vamos utilizar m para maçãs e b para bananas.</p><p>m + b = 10</p><p>Também sabemos que no total, 15 reais foram gastos, assim como o preço</p><p>de cada tipo de fruta.</p><p>2m + 1,5b = 17</p><p>Temos duas equações com duas incógnitas cada. Escrevendo o sistema:</p><p>Vamos resolver este sistema pelo método da adição. Para isto, multiplicamos</p><p>a primeira equação por -2.</p><p>Somando as duas equações termo a termo, cancelamos o m.</p><p>Assim, temos que b:</p><p>Como foram compradas 10 frutas, se 6 foram bananas, restam que 4 foram</p><p>maçãs.</p><p>Questão 3</p><p>Aprendizes de Marinheiro - 2017</p><p>A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença</p><p>entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto</p><p>afirmar que o produto xy é igual a:</p><p>a) -15</p><p>b) -12</p><p>c) -10</p><p>d) -4</p><p>e) - 2</p><p>RESPOSTA:Vamos começar montando as equações considerando a</p><p>situação proposta no problema. Desta forma, temos:</p><p>x + 2.y = - 7 e 3.x - y = 7</p><p>Os valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equações.</p><p>Portanto, formam o seguinte sistema de equações:</p><p>Podemos resolver esse sistema pelo método da adição. Para tal, vamos</p><p>multiplicar a segunda equação por 2:</p><p>Somando as duas equações:</p><p>Substituindo na primeira equação o valor de x encontrado, temos:</p><p>1 + 2y = - 7</p><p>2y = - 7 - 1</p><p>Assim, o produto xy será igual a:</p><p>x.y = 1 . (- 4) = - 4</p><p>Alternativa: d) - 4</p><p>Questão 4</p><p>Colégio Militar/RJ - 2014</p><p>Um trem viaja de uma cidade a outra sempre com velocidade constante.</p><p>Quando a viagem é feita com 16 km/h a mais na velocidade, o tempo gasto</p><p>diminui em duas horas e meia, e quando á feita com 5 km/h a menos na</p><p>velocidade, o tempo gasto aumenta em uma hora. Qual é a distância entre</p><p>estas cidades?</p><p>a) 1200 km</p><p>b) 1000 km</p><p>c) 800 km</p><p>d) 1400 km</p><p>e) 600 km</p><p>RESPOSTA:Sendo a velocidade constante, podemos usar a seguinte</p><p>fórmula:</p><p>Então, a distância é encontrada fazendo-se:</p><p>d = v.t</p><p>Para a primeira situação temos:</p><p>v1 = v + 16 e t1 = t - 2,5</p><p>Substituindo esses valores na fórmula da distância:</p><p>d = (v + 16) . (t - 2,5)</p><p>d = v.t - 2,5v + 16t - 40</p><p>Podemos substituir v.t por d na equação e simplificar:</p><p>-2,5v +16t = 40</p><p>Para a situação em que a velocidade diminui:</p><p>v2= v - 5 e t2 = t + 1</p><p>Fazendo a mesma substituição:</p><p>d = (v -5) . (t +1)</p><p>d = v.t + v -5t -5</p><p>v - 5t = 5</p><p>Com essas duas equações, podemos montar o seguinte sistema:</p><p>Resolvendo o sistema pelo método da substituição, vamos isolar o v na</p><p>segunda equação:</p><p>v = 5 + 5t</p><p>Substituindo esse valor na primeira equação:</p><p>-2,5 (5 + 5t) + 16 t = 40</p><p>-12,5 - 12,5t + 16 t = 40</p><p>3,5t =40 + 12,5</p><p>3,5t = 52,5</p><p>Vamos substituir este valor para encontrar a velocidade:</p><p>v = 5 + 5 . 15</p><p>v = 5 + 75 = 80 km/h</p><p>Para encontrar a distância, basta multiplicar os valores encontrados da</p><p>velocidade e do tempo. Assim:</p><p>d = 80 . 15 = 1200 km</p><p>Alternativa: a) 1 200 km</p><p>Questão 5</p><p>Aprendizes de Marinheiro - 2016</p><p>Um estudante pagou um lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1</p><p>real. Sabendo que, para este pagamento, o estudante utilizou 12 moedas,</p><p>determine, respectivamente, as quantidades de moedas de 50 centavos e de</p><p>um real que foram utilizadas no pagamento do lanche e assinale a opção</p><p>correta.</p><p>a) 5 e 7</p><p>b) 4 e 8</p><p>c) 6 e 6</p><p>d) 7 e 5</p><p>e) 8 e 4</p><p>RESPOSTA:Considerando x o número de moedas de 50 centavos, y o</p><p>número de moedas de 1 real e o valor pago igual a 8 reais, podemos</p><p>escrever a seguinte equação:</p><p>0,5x + 1y = 8</p><p>Sabemos ainda que foram utilizadas 12 moedas no pagamento, então:</p><p>x + y = 12</p><p>Montando e resolvendo o sistema por adição:</p><p>Vamos multiplicar toda a segunda equação por -1.</p><p>Somamos termo a termo as duas equações e, com isso, eliminamos a</p><p>incógnita y.</p><p>Substituindo o valor encontrado de x na primeira equação:</p><p>8 + y = 12</p><p>y = 12 - 8 = 4</p><p>Alternativa: e) 8 e 4</p>