BHC and BHC

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**Explicação:** A integral é \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx = [\ln(x)]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 
= 1 \). 
 
8. **Qual é a integral de \( \int \cos^2(x) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 - B) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin(2x) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin(x) + C \) 
 - D) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \). 
 
9. **Qual é o valor de \( \frac{d^2y}{dx^2} \) para \( y = x^4 + 3x^3 - 2x + 1 \)?** 
 - A) \( 12x^2 + 6x \) 
 - B) \( 12x^2 + 6 \) 
 - C) \( 12x^2 + 6x + 2 \) 
 - D) \( 12x^2 + 6x - 2 \) 
 **Resposta:** A) \( 12x^2 + 6x \) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( \frac{dy}{dx} = 4x^3 + 9x^2 - 2 \). A segunda 
derivada é \( \frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2 + 18x \). 
 
10. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 - 4} \)?** 
 - A) \( \frac{5}{2} \) 
 - B) \( \frac{3}{4} \) 
 - C) \( 0 \) 
 - D) \( \infty \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{5}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \( x^2 \), temos \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 
+ \frac{3}{x^2}}{2 - \frac{4}{x^2}} = \frac{5}{2} \). 
 
11. **Qual é a integral de \( \int x^2 e^x \, dx \)?** 
 - A) \( (x^2 - 2x + 2)e^x + C \) 
 - B) \( (x^2 + 2x)e^x + C \) 
 - C) \( (2x^2 - 2)e^x + C \) 
 - D) \( (x^2 + 2)e^x + C \) 
 **Resposta:** A) \( (x^2 - 2x + 2)e^x + C \) 
 **Explicação:** Usamos a integração por partes duas vezes. Primeiro, \( u = x^2 \), \( dv 
= e^x dx \), e depois aplicamos novamente a integração por partes. 
 
12. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{4} \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( \frac{1}{3} \) 
 - D) \( \frac{5}{12} \) 
 **Resposta:** B) \( 1 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx = [x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 
x]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} + 1 = 1 \). 
 
13. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)?** 
 - A) 1 
 - B) 0 
 - C) \( \infty \) 
 - D) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou a série de Taylor, temos que \( \lim_{x \to 
0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \). 
 
14. **Qual é a integral de \( \int (3x^2 - 2x + 1) e^{x^3} \, dx \)?** 
 - A) \( e^{x^3} + C \) 
 - B) \( e^{x^3} + x + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 - D) \( e^{x^3} + x^2 + C \) 
 **Resposta:** A) \( e^{x^3} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 \, dx \), então a 
integral se torna \( \int e^u \, \frac{du}{3} = e^{x^3} + C \). 
 
15. **Qual é o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)?** 
 - A) 2 
 - B) 1 
 - C) 0 
 - D) \( \pi \) 
 **Resposta:** A) 2 
 **Explicação:** A integral é \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_0^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 \). 
 
16. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 - A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 - B) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 - C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 - D) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
17. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 - A) 1 
 - B) 0 
 - C) \( e \) 
 - D) \( \infty \) 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 
\lim_{x \to 0} e^x = 1 \). 
 
18. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{5}{3} \) 
 - B) \( \frac{4}{3} \)