provas BAZ

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50. **Problema 50:** 
 Determine a solução da equação \(y' + 5y = 0\). 
 a) \(y = Ce^{-5x}\) 
 b) \(y = Ce^{5x}\) 
 c) \(y = 5e^{-x}\) 
 d) \(y = 5e^{x}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-5x}\). 
 **Explicação:** A equação é separável. A solução geral é dada por \(y = Ce^{-5x}\). 
 
51. **Problema 51:** 
 Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\). 
 a) 10 
 b) 5 
 c) 1 
 d) 6 
 **Resposta:** a) 10. 
 **Explicação:** O determinante é \(ad - bc = (3)(4) - (2)(1) = 12 - 2 = 10\). 
 
52. **Problema 52:** 
 Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não pode ser determinado 
 **Resposta:** b) Converge. 
 **Explicação:** A série converge, pois \(\frac{1}{n^2 + 1}\) é menor que \(\frac{1}{n^2}\) e 
a série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) converge. 
 
53. **Problema 53:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x)\). 
 a) \(\frac{1}{1+x^2}\) 
 b) \(\frac{1}{x}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 d) \(x^2\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{1+x^2}\). 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan^{-1}(x)\) é dada por \(f'(x) = \frac{1}{1+x^2}\). 
 
54. **Problema 54:** 
 Calcule a integral \(\int (2x + 3) \, dx\). 
 a) \(x^2 + 3x + C\) 
 b) \(x^2 + 3 + C\) 
 c) \(2x^2 + 3x + C\) 
 d) \(\frac{2x^2}{2} + 3x + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^2 + 3x + C\). 
 **Explicação:** A integral é \(\int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C\). 
 
55. **Problema 55:** 
 Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 3. 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k\), temos \(k 
= 3\). 
 
56. **Problema 56:** 
 Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 4x^2 + 4) \, dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 1. 
 **Explicação:** A integral é \(\left[\frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + 4x\right]_0^1 = 
\left(\frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 4\right) = \frac{1}{5} - \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{1}{5} + 
\frac{8}{3} = \frac{1 + 40}{15} = \frac{41}{15}\). 
 
57. **Problema 57:** 
 Determine a solução da equação \(y' + 2y = e^{-x}\). 
 a) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x}\) 
 b) \(y = Ce^{-2x} + e^{-x}\) 
 c) \(y = 2e^{-x} + Ce^{-2x}\) 
 d) \(y = Ce^{2x} + e^{-x}\) 
 **Resposta:** a) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-x}\). 
 **Explicação:** A equação é linear. A solução é dada pela fórmula \(y = Ce^{-2x} + 
\frac{1}{3} e^{-x}\). 
 
58. **Problema 58:** 
 Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\). 
 a) 15 
 b) 10 
 c) 5 
 d) 1 
 **Resposta:** b) 10. 
 **Explicação:** O determinante é \(ad - bc = (5)(3) - (1)(2) = 15 - 2 = 13\). 
 
59. **Problema 59:** 
 Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não pode ser determinado 
 **Resposta:** b) Converge.