provas AZJ

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30. **Problema 30:** 
 Determine a solução da equação \(y'' - 4y = 0\). 
 a) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
 b) \(y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x}\) 
 c) \(y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\) 
 d) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
 **Resposta:** a) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\). 
 **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes. As soluções são combinações lineares de funções 
exponenciais. 
 
31. **Problema 31:** 
 Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) \(\frac{\pi}{2}\) 
 d) \(-1\) 
 **Resposta:** a) 1. 
 **Explicação:** A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Avaliando de 0 a \(\frac{\pi}{2}\), 
temos \(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1\). 
 
32. **Problema 32:** 
 Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\). 
 a) 0 
 b) 2 
 c) -2 
 d) 1 
 **Resposta:** c) -2. 
 **Explicação:** O determinante é \(ad - bc = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2\). 
 
33. **Problema 33:** 
 Determine a convergência da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não pode ser determinado 
 **Resposta:** c) Converge condicionalmente. 
 **Explicação:** A série alternada converge pelo teste de Leibniz, mas não converge 
absolutamente. 
 
34. **Problema 34:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \tan(x)\). 
 a) \(\sec^2(x)\) 
 b) \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) 
 c) \(\sin^2(x)\) 
 d) \(\cos^2(x)\) 
 **Resposta:** a) \(\sec^2(x)\). 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan(x)\) é dada por \(f'(x) = \sec^2(x)\). 
 
35. **Problema 35:** 
 Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - x^2) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) 0 
 **Resposta:** b) \(\frac{2}{5}\). 
 **Explicação:** A integral é \(\left[\frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \left(\frac{1}{5} 
- \frac{1}{3}\right) = \frac{3 - 5}{15} = -\frac{2}{15}\). 
 
36. **Problema 36:** 
 Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1. 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\). 
 
37. **Problema 37:** 
 Calcule a integral \(\int e^{3x} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\) 
 b) \(3e^{3x} + C\) 
 c) \(\frac{1}{3} e^{x} + C\) 
 d) \(e^{3x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{3} e^{3x} + C\). 
 **Explicação:** A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx} + C\), onde \(k = 3\). 
 
38. **Problema 38:** 
 Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2. 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\), temos \(k 
= 2\). 
 
39. **Problema 39:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\). 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\) 
 c) \(\frac{2x}{\sqrt{1 + x^2}}\) 
 d) \(\sqrt{1 + x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\). 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x 
= \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\).