124 equilibrio

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b) \( -2 + 3i \) 
 c) \( 2 + 3i \) 
 d) \( 2 - 3i \) 
 **Resposta:** a) \( -2 - 3i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^3 = (1 - i)^3 = 1 - 3i + 3(-1) + (-1) = -2 - 3i \). 
 
30. **Problema 30:** Qual é a forma retangular de \( z = 3e^{i\frac{\pi}{6}} \)? 
 a) \( \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i \) 
 b) \( 3 + 3i \) 
 c) \( 3 + 0i \) 
 d) \( 0 + 3i \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i \) 
 **Explicação:** A forma retangular é dada por \( re^{i\theta} = r(\cos(\theta) + 
i\sin(\theta)) \). Aqui, \( r = 3 \) e \( \theta = \frac{\pi}{6} \), então \( z = 3(\cos(\frac{\pi}{6}) + 
i\sin(\frac{\pi}{6})) = 3(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i \). 
 
31. **Problema 31:** Se \( z = 2 + 3i \), qual é \( z^2 + \overline{z}^2 \)? 
 a) \( 13 + 12i \) 
 b) \( 13 - 12i \) 
 c) \( 12 + 12i \) 
 d) \( 12 - 12i \) 
 **Resposta:** a) \( 13 + 12i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (2 + 3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i \) e \( \overline{z}^2 = 
(2 - 3i)^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i \). Assim, \( z^2 + \overline{z}^2 = (-5 + 12i) + (-5 - 12i) = -10 \). 
 
32. **Problema 32:** Qual é o valor de \( z^2 \) se \( z = 3 + 4i \)? 
 a) \( -7 + 24i \) 
 b) \( -7 - 24i \) 
 c) \( 7 - 24i \) 
 d) \( 7 + 24i \) 
 **Resposta:** a) \( -7 + 24i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (3 + 4i)^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i \). 
 
33. **Problema 33:** Se \( z = 1 + i \), qual é \( z^4 \)? 
 a) \( -4i \) 
 b) \( 4 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 0 + 4i \) 
 **Resposta:** a) \( -4i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^4 = (1 + i)^4 = (1 + 2i - 1)(1 + i) = 2i(1 + i) = 2i - 2 = -4i \). 
 
34. **Problema 34:** Qual é a forma polar de \( z = -2 + 2i \)? 
 a) \( 2\sqrt{2} \text{cis} \frac{3\pi}{4} \) 
 b) \( 2\sqrt{2} \text{cis} \frac{5\pi}{4} \) 
 c) \( 2\sqrt{2} \text{cis} \frac{7\pi}{4} \) 
 d) \( 2\text{cis} \frac{3\pi}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( 2\sqrt{2} \text{cis} \frac{3\pi}{4} \) 
 **Explicação:** O módulo é \( r = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) e o 
argumento \( \theta = \tan^{-1}(-1) + \pi = \frac{3\pi}{4} \). 
 
35. **Problema 35:** Se \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 1 - i \), qual é \( z_1 + z_2 \)? 
 a) \( 2 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 2i \) 
 d) \( 2 + 0i \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** A soma é \( z_1 + z_2 = (1 + i) + (1 - i) = (1 + 1) + (i - i) = 2 + 0i \). 
 
36. **Problema 36:** Se \( z = 1 + 2i \), qual é \( z^2 - \overline{z}^2 \)? 
 a) \( 0 + 4i \) 
 b) \( 0 - 4i \) 
 c) \( 0 + 0i \) 
 d) \( 0 + 8i \) 
 **Resposta:** a) \( 0 + 4i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (1 + 2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i \) e \( \overline{z}^2 = (1 
- 2i)^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i \). Assim, \( z^2 - \overline{z}^2 = (-3 + 4i) - (-3 - 4i) = 0 + 8i \). 
 
37. **Problema 37:** Qual é o produto \( z_1 \cdot z_2 \) se \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = 3 + 4i 
\)? 
 a) \( -5 + 10i \) 
 b) \( -5 - 10i \) 
 c) \( -5 + 10i \) 
 d) \( 5 + 10i \) 
 **Resposta:** a) \( -5 + 10i \) 
 **Explicação:** O produto é dado por \( z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i - 8 = -5 
+ 10i \). 
 
38. **Problema 38:** Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( z^3 \)? 
 a) \( -8 + 8i \) 
 b) \( 0 + 8i \) 
 c) \( 0 - 8i \) 
 d) \( 0 + 0i \) 
 **Resposta:** a) \( -8 + 8i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^3 = (2 + 2i)^3 = 8 + 12i - 12 - 8i = -8 + 8i \). 
 
39. **Problema 39:** Qual é a forma polar de \( z = 3 - 4i \)? 
 a) \( 5 \text{cis} \frac{5\pi}{3} \) 
 b) \( 5 \text{cis} \frac{7\pi}{4} \) 
 c) \( 5 \text{cis} \frac{3\pi}{4} \) 
 d) \( 5 \text{cis} \frac{4\pi}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( 5 \text{cis} \frac{7\pi}{4} \) 
 **Explicação:** O módulo é \( r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \) e o argumento \( 
\theta = \tan^{-1}(\frac{-4}{3}) \). 
 
40. **Problema 40:** Se \( z = 0 + 1i \), qual é \( z^2 \)?