Resumo EDO SUPERIOR

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Edos Superior Teoria
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Teoria Completa sobre EDOs Lineares de Segunda
Ordem
1 - Teorema de Existência e Unicidade para EDOs
Lineares de Segunda Ordem
O Teorema de Existência e Unicidade é um dos pilares
matemáticos que garantem a confiabilidade da solução de equações
diferenciais ordinárias (EDOs). Em termos gerais, ele estabelece que,
sob certas condições, uma equação diferencial admite uma única
solução que satisfaz condições iniciais preestabelecidas.
Enunciado do Teorema
Seja a equação diferencial linear de segunda ordem:
𝑦 𝑝 𝑥 𝑦 𝑞 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 ,
aonde as funções 𝑝 𝑥 , 𝑞 𝑥 e 𝑔 𝑥 são contínuas em um intervalo 𝐼
contendo 𝑥 . Se são dadas condições iniciais da forma:
𝑦 𝑥 𝑦 , 𝑦 𝑥 𝑦 ,
então existe uma única função 𝑦 𝑥 , definida em um subintervalo de 𝐼
, que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Explicação e Justificativa
1. A continuidade dos coeficientes garante que a EDO não apresenta
descontinuidades ou singularidades no intervalo de definição.
2. As condições iniciais impõem uma restrição à solução, evitando
ambiguidade.
3. O teorema pode ser demonstrado rigorosamente via método de
Picard-Lindelöf, que utiliza aproximações sucessivas.
Exercícios Propostos
1. (Fácil) Mostre que a equação 𝑦 𝑦 0 admite solução única para
qualquer conjunto de condições iniciais em ℝ.
2. (Médio) Verifique se o teorema se aplica a 𝑦 𝑦 𝑦 0 no
intervalo 0, 1 .
3. (Difícil) Seja 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 𝑒 . Mostre que existe uma solução
única para 𝑦 0 1, 𝑦 0 2 no intervalo 1, 1 .
2 - Equações Homogêneas
Uma equação diferencial é dita homogênea se puder ser escrita na
forma:
𝑦 𝑝 𝑥 𝑦 𝑞 𝑥 𝑦 0.
O estudo de EDOs homogêneas é essencial porque suas soluções
servem de base para a resolução de equações não homogêneas.
2.1 - Princípio da Superposição
Se 𝑦 𝑥 e 𝑦 𝑥 são soluções da equação homogênea, então
qualquer combinação linear dessas soluções também é solução. Ou
seja, a solução geral da equação homogênea é:
𝑦 𝑥 𝐶 𝑦 𝑥 𝐶 𝑦 𝑥 .
onde 𝐶 e 𝐶 são constantes arbitrárias.
2.2 - Soluções Fundamentais
Se duas soluções 𝑦 𝑥 e 𝑦 𝑥 são linearmente independentes,
elas formam um conjunto fundamental de soluções, e a solução
geral é dada pela superposição acima.
A independência linear pode ser verificada pelo determinante de
Wronskiano:
𝑊 𝑦 ,𝑦
∣
∣
∣
∣∣
∣
𝑦 𝑦
𝑦 𝑦 ∣
∣
∣
∣∣
∣
.
Se 𝑊 𝑦 ,𝑦 0, então as soluções são linearmente
independentes.
Exercícios Propostos
1. (Fácil) Verifique se as funções 𝑒 e 𝑒 são soluções
fundamentalmente independentes de 𝑦 𝑦 0.
2. (Médio) Resolva 𝑦 4𝑦 0 e determine a solução geral.
3. (Difícil) Determine a solução geral de 𝑥 𝑦 4𝑥𝑦 6𝑦 0 usando
mudança de variáveis.
(Continua nos próximos tópicos: 3 - Redução de Ordem, 4 -
Coeficientes Constantes, 5 - Equações Não Homogêneas com
Coeficientes a Determinar e Variação de Parâmetros.)
pode continuar