matematica discreta estudo

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AULA 1
Matemática Discreta: Possui como ênfase os estudos matemáticos baseados em conjuntos contáveis, finitos ou infinitos.
 = Pertence = não pertence
Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos, a ordem na qual os elementos são escritos não importa! Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos elementos!
Como definir um conjunto? 1. Listando (ou listando parcialmente) os elementos:
Conjunto das vogais: A = {a,e,i,o,u}
2. Indicando um padrão (normalmente para conjuntos infinitos): P = {2, 4, 6, 8, ...}
3. Descrevendo uma propriedade P que caracterize o conjunto de elementos:
A={x|x é um inteiro e 3 < x < 7} S={x|x é solução para x2 – 4 = 0}
Conjunto Universo – Notação: U Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente Universo de uma Teoria a todos os entes que são considerados como elementos nesta Teoria.
Conjuntos Importantes
• ∅: ∅ = { }, o conjunto vazio (observe que Φ ≠ {Φ}). • N : números naturais: {0, 1, 2, 3, . . .}.
• Z : números inteiros: {. . . , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, . . .} • Q : números racionais: {x/y : x ∈ Z e y ∈ Z e y ≠ 0} .
• R: números reais.
Conjunto Potencia: P(A) Dado um conjunto arbitrário, é possível construir novos conjuntos cujos elementos são partes do conjunto inicial. Sendo A um conjunto qualquer, de nota-se por P(A) o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A, isto é: P(A) = { X : X ⊆ A}
Complemento:Dado um conjunto A qualquer, o conjunto complementar de A em relação ao Universo é formado por todos os elementos do Universo que não pertencem ao conjunto A. O conjunto complementar de A será: A’ ou Ā.
Conjuntos Finitos e Infinitos Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos inferiores a 10:
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}		CONJUNTO FINITO 
Exemplo: O conjunto dos números pares:
B = {2,4,6,8,10,12,...}		CONJUNTO INFINITO 
Operações sobre Conjuntos União: A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B } Intersecção: A∩B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
Quando a intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Diferença: A-B = {x | x ∈ A ou x B }
Igualdade: Dois conjuntos são iguais se e somente se tiverem os mesmos elementos.
Exemplo: Verificar se os conjuntos A, B e C são iguais. A = {u, e, a, o} B = {a, e, i, o, u} C = {i, u, a, o, e}
A ≠ B; A ≠ C; B = C
Continência - Notação: ⊆ Se todo o elemento de A também for elemento de B (independentemente do fato de todo o elemento de B poder ser ou não elemento de A) podemos dizer que o conjunto A está contido no conjunto B.
Exemplo: Sejam os conjuntos: A = {u, e, a, o} B = {a, e, i, o, u} C = {i, u, a, o, e}
Podemos dizer: A ⊆ B e A ⊆ C Neste caso, também podemos dizer que A é subconjunto de B.
A = {1,3,5,7,9} B = {3,5} B A B é subconjunto de A
Faça a representação dos conjuntos abaixo em forma de lista:
a) A = {x N | x é impar}, b) B = {x Z | – 3 ≤ x < 4} c) C = {x Z | x < 6}
a) A= {1,3,5,7,9,11,...} b) B = {-3,-2,-1,0,1,2,3} c) C = {..., -2,-1,0,1,2,3,4,5}
EXERCICIO 1
1. Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a operação: Np U Ni
(A) N*
(B){ 0 }
(C)N
(D)N+*
(E)N-*
 1) A 
 2) B 
 3) C X
 4) D 
 5) E 
2. Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a operação: Np ^ Ni 
(A) N*
(B) { 0 }
(C) N
(D) N+*
(E) N *
 1) A 
 2) B X
 3) C 
 4) D 
 5) E 
3. Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 4}, então:
(A) A - B = { 0 }
(B) A U B = {1, 3, 4}
(C) A ^ B = {1, 2, 3, 4}
(D) A C B
(E) A Ↄ B
 1) A 
 2) B 
 3) C 
 4) D 
 5) E X
AULA 2
Conjunto dos Números Naturais – N
O conjunto dos números naturais pares: Np={0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} n N
O conjunto dos números naturais ímpares: Ni={1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...} n N
O conjunto dos números primos: Pi={2, 3, 5, 7, 11, 13 ...} 
Operações: adição e multiplicaçãoEm símbolos: m,n N, (m+n) N e (m*n) N
(Para todo m e n que pertencem a N, m + n pertence a N e m . n pertence a N)
Conjunto dos Números Inteiros – Z
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:
Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento.
Módulo ou valor absoluto: Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: 
|x| = x se x ≥ 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. 
Como decorrência da definição temos que |x| ≥ 0 para qualquer número inteiro.
Módulo ou valor absoluto:Exemplo: Quando x = 2, I2I = 2; Quando x = -2, I-2I = 2
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z:
No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:
Conjunto dos inteiros não negativos:  Z+ = {0; 1; 2; 3; …} Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0}
Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}
Conjunto dos inteiros positivos: Z+* = {1; 2; 3; …} Conjunto dos inteiros negativos:  Z-* = {…; -3; -2; -1}
Operações: Além das operações de soma e multiplicação definas para N, podemos definir a operação de subtração em Z: a – b = a + (-b) → para todo a e b pertencente a Z
Conjunto dos Números Racionais – Q
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:
Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. 
Para o conjuntos dos números racionais também valem as notações: Q* (conjunto dos números racionais não nulos),  Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e  Q- (conjunto dos números racionais não positivos).
Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato ou como uma dízima periódica.
Exemplos: 1/2 = 0,5 1/3 = 0,333… 1/4 = 0,25
Conjunto dos Números Irracionais – I
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). Exemplos: O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos após a vírgula não se repetem periodicamente.
Conjunto dos Números Reais – R
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais: R = {x | x é racional ou x é irracional}
Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.
Conjunto dos Números Reais – R
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes:
R* = {xR| x ≠ 0} - conjunto dos números reais não nulos R+ = {xR| x ≥ 0} - conjunto dos números reais não negativos R = {xR| x > 0} - conjunto dos números reais positivos R- ={xR| x ≤ 0} - conjunto dos números reais não positivos R = {xR| x < 0} - conjunto dos números reais negativos
Cardinalidade de um Conjunto
Define-se a cardinalidade de um conjunto A como ao número de elementos que pertencem ao conjunto A . 
Denotamos a cardinalidade de um conjunto A por card(A) ou o(A) , e se lê “cardinalidade de A” ou “número de elementos de A”. 
Exemplos: Seja o conjunto A = { 1, 0, 3 } , então o(A) = 3 Seja B = { -1, 0, 1, 3, 8 } então o(B) = 5 
Seja A = { } , então o(A) = 0 Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , n } , então o(A) = n Seja A = { } , então o(A) = 1 
Princípio da Adição de Conjuntos
Um consumidor deseja comprar um veículo em uma concessionária, onde tem 18 automóveis de passeio e 15 utilitários. Calcule quantas escolhas possíveis o consumidor tem.
O consumidor pode escolher um automóvel de passeio ou um utilitário. 
O conjunto automóveis de passeio não possuinenhum elemento comum com o conjunto automóveis utilitários, ou seja, são disjuntos. Neste caso, pelo princípio da adição, a escolha de um veículo tem 18 + 15 = 33 possibilidades.
Dados os conjuntos A1, A2,..., An, dois a dois disjuntos, em que Ai tem exatamente ai elementos, então o número de elementos da união 
  
É dado por a1 + a2 + a3 + ... + an
Princípio Multiplicação 
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches: hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas. Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa? 
Podemos listar as possibilidades:
Hambuguer + Sorvete Hambuguer + torta Hambuguer + salada
Hot dog + Sorvete Hot dog + torta Hot dog + salada
A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa. 
Princípio Fundamental da Contagem - PFC 
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. - A primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. 
Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por p x q.
Este princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas sucessivas. 
Exemplo: Um número de telefone é uma seqüência de 8 dígitos, mas o primeiro dígito deve ser diferente de 0 ou 1. Quantos números de telefone distintos existem?
Para cada dígito temos a possibilidade de 10 números, com exceção do 1º, onde só poderão existir 8 números:
X X X X – X X X X Assim: 8. 10...10 = 8.107
8.10.10.10 – 10.10.10.10
Se um determinado evento ocorre em várias etapas sucessivas e independentes, onde:
P1 é o número de possibilidades de ocorrer a 1ª etapa, P2 o número de possibilidades de ocorrer a 2ª etapa,
P3 o número de possibilidades de ocorrer a 3ª etapa, Pn o número de possibilidades de ocorrer a n-ésima etapa
O número total de possibilidades de ocorrer esse evento é dado por P = P1 . P2 .P3 . … . Pn
Exemplo: Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado no Brasil, sabendo que as placas dos veículos possuem 3 letras e 4 algarismos? Placa: L1 L2 L3 N1 N2 N3 N4 
Para cada letra temos 26 possibilidades (26 letras do alfabeto) e para cada número 10 possibilidades (0-9). 
L1 L2 L3 N1 N2 N3 N4
26. 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000 placas diferentes = número máximo de veículos
Exemplo: A mãe de uma criança permitiu que esta comprasse uma bala e um chiclete. Chegando à loja, a criança viu que existiam balas nas cores rosa e azul e, ainda, chicletes nas cores amarela, verde e vermelha.
Quantos conjuntos diferentes formados por uma bala e um chiclete, a criança pode escolher?
Teremos que formar conjuntos de uma bala e um chiclete. Podemos utilizar diferentes maneiras:
Chicletes: amarelo, verde, vermelho = 3 possibilidades Balas: rosa, azul = 2 possibilidades 3X2 = 6
Princípio da casa dos Pombos: Teorema : Se n + 1 pombos voam em direção a n casas e todos os pombos entram em uma casa, haverá pelo menos uma casa com pelo menos dois pombos.		
Exemplo: Em uma festa com mais de 12 crianças, há pelo menos duas que nasceram no mesmo mês.
Pelo teorema: Se uma criança nasce em cada mês do ano, teremos 12 crianças, pois temos 12 meses no ano. Para que existam duas que nasceram no mesmo mês, terão que existir mais que 12 crianças!
Exemplo: Entre um grupo de 367 pessoas, pelo menos duas possuem o mesmo dia de nascimento, pois existem apenas 366 possibilidades.
Exemplo: Em uma festa de aniversário com 37 crianças, no mínimo, quantas nasceram no mesmo mês?
12 + 12 + 12 = 36 + 1 = 37 No mínimo, 4 crianças nasceram no mesmo mês!
 1 1 1 1 
Exemplo: Em um grupo de 20 pessoas, pelo menos quantas nasceram no mesmo dia da semana?
20 Pessoas (pombos) 7 dias da semana (casas)
20/7 = 2 com resto 6 No mínimo, 3 pessoas nasceram no mesmo dia!
EXEMPLOS: Se uma urna contem 4 bolas vermelhas, 7 verdes, 9 azuis e 6 amarelas, qual é o menor número de bolas que devemos retirar (sem olhar) par a que possamos ter certeza de termos tirado pelo menos 3 bolas da mesma cor? Bolas (pombos) 4 Cores (casas) 
COR 1 COR 2 COR 3 COR 4
 1 1 1 1 9 BOLAS
 1 1 1 1
 1 
EXERCICIO 2
1. A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos. Quantos desses números de quatro dígitos existem.
 1) 40.000 
 2) 30.000 
 3) 20.000 
 4) 10.000 X
 2. A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos. Quantos desses números existem se um mesmo número não puder ser repetido.
 1) 8.480 
 2) 6.240 
 3) 5.040 X
 4) 10.000 
 3. De quantas maneiras podemos escolher três representantes em um grupo de 25 pessoas.
 1) 13.800 X 
 2) 12.240 
 3) 15.540 
 4) 25.000 
4. De quantas maneiras podemos escolher três representantes, para três comissões, em um grupo de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais de uma comissão.
 1) 15.625 X
 2) 15.240 
 3) 15.540 
 4) 15.000
AULA 3
ARRANJO SIMPLES
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a qualquer seqüência ordenada de p elementos distintos, escolhidos entre os n existentes. 
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos.  
Exemplo: Se, por exemplo, de um grupo de oito (8) pessoas, devemos dispor cinco (5) delas em fila. De quantos modos podemos realizar tal processo?
____ ____ ____ ____ ____
 8 x 7 x 6 x 5 x 4
Obteremos 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 possibilidades de filas com cinco pessoas
Representação: A8,5 ou A85.→ Arranjo 8 elementos tomados 5 a 5. 
Podemos fazer o cálculo do arranjo utilizando os conceitos de fatoração: A8,5= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 
De maneira geral, temos que um arranjo de n elementos tomados de K a K é igual a:
Exemplo: Quantos números de três dígitos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, podemos formar?
Isto significa que temos um arranjo de 7 elementos tomados de 3 a 3. Assim,
Exemplo: Um grupo de pessoas é formado porcinco homens e três mulheres. Deseja-se formar filas com 5 dessas pessoas de modo que as três mulheres ocupem sempre as três primeiras posições. Assim, de todas as filas possíveis, quantas obedecem essa restrição?
Mulheres: arranjo de três mulheres tomado de 3 a 3. 
OBS: 0! = 1
Homens: arranjo de cinco homens tomado de 2 a 2.
Resposta= 6 x 20 = 120 filas possíveis!
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutações simples é uma técnica combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de uma fila ou seqüência em que não há repetição de elementos e todos esses elementos são utilizados no problema.
Exemplo: com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de três algarismos distintos (isto é, sem repetição) podemos formar? Podemos entender a permutação simples como sendo um caso do arranjo, onde n=p:
Generalizando: 
Então, a permutação simples pode ser representada pela equação:
Outro exemplo de contagem no qual lançamos mão da ferramenta permutação simples é a contagem do número de anagramas que podem ser formados com alguma palavra. Anagrama é um processo de troca de ordem das letras de uma palavra com o intuito de formar uma nova palavra (esta palavra formada pode ter sentido ou não). 
Exemplo: AMOR = ROMA, ORAM, MARO, etc
Como AMOR possui 4 letras: 
Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra LIVRO começando com vogal?
___ ___ ___ ___ ___ 
O ou A 4 letras 
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementosrepetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:  
			
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra MISSISSIPPI?
letras no total; Repetições: 4 letras I 4 letras S 2 letras P
Exemplo: Qual o número de maneiras diferentes de colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei)? 8 posições no total Repetições: 2 torres, 2 cavalos, 2 bispos 
COMBINAÇÃO SIMPLES
Combinação simples é uma ferramenta combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de um subgrupo de elementos a partir de um grupo dado. São as possibilidades de formação de um subconjunto formado a partir do conjunto dado. A ORDENAÇÃO DOS ELEMENTO, NESTE CASO, NÃO TEM IMPORTÂNCIA!
Exemplo: Dentre 9 Cd’s distintos que estão em oferta em uma loja, João deseja escolher 5 para comprar. De quantos modos diferentes João pode escolher os 5 Cd’s?
 
Coeficientes Binomiais
Dados dois números naturais, n e p, com n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por:
Coeficientes Binomiais
Dados dois números naturais, n e p, com n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por:
 ou onde n é dito numerador e p chamado denominador
Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é uma sequência de números binomiais, isto é, inteiros da forma C(n, p), dispostos em uma tabela em forma de triângulo, como na figura abaixo:
Triângulo de Pascal = Números binomiais em de tabela:
A “linha n” desta tabela será formada pelos inteiros C(n,p), onde p varia de 0 até n.
Linha 0, formada apenas pelo C (0,0) = 1. Linha 4: C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4 4)
 1 4 6 4 1
C (4,0) C (4,1) 
C (4,2) C (4,3) C (4,4)
Representando no Triângulo
 C (0,0)					
 C (1,0) C (1,1)
 C (2,0) C (2,1) C (2,2) 
 C (3,0) C (3,1) C (3,2) C (3,3)
 C (4,0) C (4,1) C (4,2) C (4,3) C (4,4)
 C (5,0) C (5,1) C (5,2) C (5,3) C (5,4) C (5,5)
C (6,0) C (6,1) C (6,2) C (6,3) C (6,4) C (6,5) C (6,6)
Propriedade: Em uma mesma linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais.
Aplicando a fórmula de combinação para a linha 5, por exemplo:
 1 5 10 10 5 1
A partir da linha 1, a cada elemento x, com exceção do primeiro e último, é igual à soma dos dois elementos da cima de anterior:
Essa propriedade é conhecida como Relação de Stifel e pode ser generalizada por:
 n≥p
Ex: + = 45
Teorema Binomial
O teorema binomial fornece uma fórmula para a potência de um binômio, isto é, uma fórmula que permite calcular diretamente uma expressão do tipo (a + b)n, onde n é um inteiro positivo.
Para n = 0 (a + b)0 = 1
Para n = 1 (a + b)1 = a + b
Para n = 2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Para n = 3 (a + b)3 = a3 + 3 a3b + 3ab3 + b3
Para n = 4 (a + b)4 = ( a + b)3 (a + b) = a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
À medida que o expoente n aumenta, o desenvolvimento do binômio (a+b)n fica mais complexo, podendo ser obtido multiplicando-se o desenvolvimento anterior, (a+ b)n-1 , por (a + b), isto é:
(a + b)n = (a + b)n-1 . (a + b) Exemplo: Para n = 4 (a + b)4 = ( a + b)3 (a + b)
Os coeficientes de (a+b)n são os inteiros que formam a linha n do triângulo de Pascal, que são os números binomiais C(n,p). 
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3 a3b + 3ab3 + 1b3
(a + b)4 = ( a + b)3(a + b) = 1a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
(a + b)0 = 1						 	1
(a + b)1 = 1a + 1b				 1 1
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2			 	 1 2 1
(a + b)3 = 1a3 + 3 a3b + 3ab3 + 1b3	 	 1 3 3 1
(a + b)4 = 1a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 1 4 6 4 1
Fórmula do teorema binomial:
Exemplo: (a + b)5 = ? Aplicando a fórmula: 
Resultado: (a + b)5 = a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a1.b4 + 5b5
Exemplo: Desenvolver (3x+2)4 usando o teorema binomial. 
 (3x+2)4 = 
(3x)4 + 4.(3x)3.2 + 6.(3x)2.22 + 4.(3x)1.23 + 1.(3x)0.24 = 81x4 + 4.(27x)3.2 + 6.(9x)2.4 + 4.(3x)1.8 + 1.(3x)0.16 = 
81x4 + 216x3 + 216x2 + 96x + 16 
Exemplo: Desenvolver (x - 2)4 usando o teorema binomial.
 Note que:	(-b)k = bk se k é par 
		(-b)k = -bk se k é ímpar
 (x - 2)4 = x4 - 8x3 + 24x2 - 32x + 16
EXERCICIO 3
1. De quantas maneiras cinco livros podem ser dispostos em fila indiana?
 1) 130 
 2) 150 
 3) 120 X
 4) 100 
 5) 160 
2. Seis atletas foram convocados para uma partida de voleibol. De quantas maneiras eles podem ser dispostas na quadra?
 1) 720 X
 2) 840 
 3) 560 
 4) 220 
 5) 640 
 3. Uma prova consta de 10 questões, das quais o aluno deve resolver 8. De quantas formas ele poderá escolher as 8 questões?
 1) 50 
 2) 55 
 3) 35 
 4) 45 X
 5) 40 
 4. Desenvolva pelo teorema de binomial: (1 - 2x)5
(A) 1 – 20x + 50x2 – 80x3 + 80x4 – 32x5
(B) 1 – 40x + 70x2 – 80x3 + 80x4 – 32x5
(C) 1 – 30x + 60x2 – 80x3 + 80x4 – 32x5
(D) 1 – 10x + 40x2 – 80x3 + 80x4 – 32x5
(E) 1 – 15x + 45x2 – 80x3 + 80x4 – 32x5
 1) A 
 2) B 
 3) C 
 4) D X
 5) E 
 5. De quantas maneiras podemos escolher três representantes em um grupo de 25 pessoas?
 1) 13.800 X
 2) 12.240 
 3) 15.540 
 4) 25.000 
 6. De quantas maneiras podemos escolher três representantes, para três comissões, em um grupo de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais de uma comissão.
 1) 15.625 X
 2) 15.240 
 3) 15.540 
 4) 15.000
AULA 4
Definição de Relações:
Pode-se definir relações como um subconjunto do produto cartesiano entre conjuntos.
Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é x. O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados: A x B = {(x, y) | x A e y B}
Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, o produto cartesiano de A em B é o conjunto (A x B) descrito a seguir: A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}
O produto cartesiano não é comutativo, isto é, AxB ≠ BxA
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}, encontre os produtos cartesianos de A em B e de B em A.
A x B = {(1,2), (1,4), (1,9), (2,2), (2,4), (2,9), (5,1), (5,4), (5,9)}
B x A = {(2,1), (2,2), (2,5), (4,1), (4,2), (4,5), (9,1), (9,2), (9,5)}
Relações Binárias
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação binária entre A e B é um subconjunto obtido do produto cartesiano AxB destes conjuntos.
Uma relação binária de A em B é um conjunto R de pares ordenados, onde o 1º elemento de cada par vem de A e o 2º vem de B, ou seja R A x B.
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 5} e B = {2, 4, 9}. O conjunto R= {(1,2), (2,4), (2,9)} é um subconjunto (A x B), logo é define uma Relação Binária de A em B.
Dado um conjunto A, uma relação binária sobre A, é um subconjunto do produto cartesiano (AxA), ou seja, um subconjunto de pares ordenados de elementos de A.
O produto cartesiano do conjunto A com ele mesmo, denotado por (A x A) ou A2, é o conjunto de todos os pares ordenados de elementos de A. 
Dado um conjunto A = {1,2,3},
A x A= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
 O subconjunto R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} do conjunto (A x A) define uma Relação Binária sobre A.
Podemos descrever a relação binária R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} como: R = {(x, y) A x A | y = x} ou x R y ↔ y = x
(lê-se x está relacionado por R com y se e somente se y=x)
Uma relação binária R sobre um conjunto A nada mas é do que um subconjunto de (AxA) que pode ser descrita na formaabreviada por: x R y ↔ (x, y) R
Exemplo: Seja A = {1,2}. Temos que, A x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2)}. Seja R a relação sobre A definida por:
x R y ↔ x + y é ímpar. A x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} R = {(1,2), (2,1)}
 par ímpar ímpar par
Generalizando:
Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, n > 2, uma relação n-ária em A1x A2x A3x ... An é um subconjunto do produto cartesiano (A1x A2x ... x An).
Relação Ternária:
R = {(x, y, z)| x, y e z estão relacionados}
Exemplos:
Para cada uma das relações binárias R, decida quais os pares ordenados pertencem a R.
a) x R y ↔ x = y + 1; (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)
b) x R y ↔ x divide y; (2, 4), (2, 5), (2, 6)
c) x R y ↔x é ímpar; (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)
d) x R y ↔x > y2; (1, 2), (2, 1), (5, 2), (6, 4), (4, 3)
Domínio e Contradomínio:
Em uma Relação Binária de A para B, o conjunto A é chamado de domínio da relação e o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.
Exemplo: Na relação, R= {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} O Domínio é o conjunto {2, 3, 4, 5} 
O Contra-Domínio é o conjunto {3, 4, 5, 6}.
Exemplo: Sejam os conjuntos A ={a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}. Considere R a relação binária definida a seguir por:
R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}
O domínio de R é o conjunto A = {a,b,c,d} e o Contradomínio de R é o conjunto B = {1,2,3}.
Classificação das Relações Binárias
Seja R uma relação binária do conjunto A para o conjunto B. 
A relação R é um para um se cada primeira componente e cada segunda componente aparecerem apenas uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação. 
A relação é um para muitos se alguma primeira componente aparecer mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação. 
A relação é dita muitos para um se alguma segunda componente aparecer mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação.
A relação é muitos para muitos se pelo menos uma primeira componente e pelo menos uma segunda componente aparecerem em mais de uma vez nos pares ordenados pertencentes à relação.
Exemplo: Identifique cada uma das relações em S como sendo um para um, um para muitos, muitos para um ou muitos para muitos, onde S = {2, 5, 7, 9}.
{(5,2), (7,5), (9,2)} um para muitos
{(2,5), (5,7), (7,2)} um para um
{(7,9), (2,5), (9,9), (2,7)} muitos para muitos
Plano Cartesiano
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si e que se cruzam num ponto O chamado de origem dos eixos. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo OY).
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões distintas chamadas de quadrantes.
Relações no Plano Cartesiano (R x R) ou R2
Cada ponto P do plano cartesiano é formado por um par ordenado (a, b) de números reais. O número a representa a abscissa do ponto P e o número b a ordenada do ponto P.
Pontos pertencentes ao 1º quadrante possuem coordenadas (a,b) com a, b ≥ 0;
Pontos pertencentes ao 2º quadrante possuem coordenadas (a, b) com a ≤ 0 e b ≥ 0;
Pontos pertencentes ao 3º quadrante possuem coordenadas (a, b) com a, b ≤ 0;
Pontos pertencentes ao 4º quadrante possuem coordenadas (a, b) com a ≥ 0 e b ≤0.
Exemplo: Marque no plano cartesiano e identifique em quais quadrantes estão os seguintes pontos: 
P1(2,1) P2(-2, 3) P3(-1, -3) P4(2, -1)
P1(2,1) → a positivo e b positivo – 1º quadrante
P2(-2,3) → a negativo e b positivo – 2º quadrante
P3(-1,-3) → a negativo e b negativo – 3º quadrante
P4(2,-1) → a negativo e b positivo – 4º quadrante
Gráficos de Relações Binárias em (R x R) ou R2
Relações binárias podem ser representadas por gráficos. 
Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. 
O gráfico formado assim é também chamado de gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.
Exemplo: A relação R = {(x, y) | y = 2x para x e y reais} é representada graficamente no plano cartesiano pela figura a seguir:
Exemplo: Seja x X = {1, 2, 3, 4}. Sabendo que:
 xRy x = y +1 (x está relacionado com y se e somente se x = y + 1). Determine R e faça sua representação gráfica:
Para x=1, y=1+1=2; Para x=2, y=2+1=3; Para x=3, y=3+1=4; Para x=4, y=4+1=5.
R = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}.
	
Exercício: No plano cartesiano abaixo, encontre os pares ordenados que definem cada ponto:
A = (-2,4) B = (3,4) C = (2,0) D = (-2,-3) E = (1,-3)
 
Exercício: Considere os segmentos g e k indicados no plano cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.
g = (-5,-3) e (0,2) k = (1,-2) e (4,1)
 
Exercício: Dadas duas retas concorrentes (pxm), onde p∩m = T. Determine as coordenadas cartesianas: 
do ponto T b) do ponto A, o que corresponde à intersecção da reta m com o eixo ox
c) do ponto B, o que corresponde à intersecção da reta p com o eixo de oy
a) T = (4,1) b) A = (3,0) c) B = (0,5)
EXERCICIO 4
1. Para cada uma das relações binárias R, indique quais pares ordenados pertencem a R:
x R y <> 2x + 3y = 10
 1) (5, 0) X 
 2) (2, 2) 
 3) (3, 1) 
 4) (1, 3) 
 5) (1, 0) 
2. Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x-1)}, definida em A×B. Indique, dentre as opções a seguir, os pares ordenados que pertencem à relação R:
 1) (1, 6), (4, 12), (5, 20) 
 2) (1, 6), (3, 12), (4, 20) 
 3) (3, 6), (4, 12), (5, 20) X
 4) (1, 0), (1, 6), (1, 12), (1, 20) 
 5) (1, 0), (1, 6), (4, 12), (5, 20)
AULA 5
Relações Binárias
Sejam dois conjuntos A e B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B é dito Relação Binária de A em B. 
Exemplo: Seja A ={a, b} e B = {a, b, c}, então o conjunto R = {(a,a), (b,a), (b,c)} é uma Relação Binária de A em B. 
R é um subconjunto de A x B
Se o número de elementos do conjunto A é igual a m e o número de elementos do conjunto B é igual a p, então:
O número de relações binárias possíveis entre os conjuntos A e B é igual a 2m.p
Endorrelação ou auto-relação: Considere um conjunto A não vazio. Uma relação binária R sobre A ou endorrelação ou auto-relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano A×A, isto é, 
R ⊆ A ×A (leia-se: R é subconjunto de A x A) Podemos chamar relação de A em A de Relação Interna sobre o conjunto A.
Grafo da relação: As relações em A podem ser representadas por grafos dirigidos os quais são constituídos por um conjunto de vértices (que representam os elementos de A) e um conjunto de ramos (que correspondem aos pares ordenados que pertencem à relação).
Exemplo: Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e a relação binária sobre A: R = {(1,1), (2,1), (3,3)} ⊆A×A.
A relação R pode, por exemplo, ser representada pelo diagrama a seguir: 
Exemplo: Sejam A={1,2,3,4} e R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1)}. O grafo de R é:
Exemplo: Explicite a relação determinada pelo grafo abaixo:
R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2), (3,3), (4,3)}
Propriedades das Relações Binárias
Relação Reflexiva: Seja R uma relação sobre o conjunto A. A relação R é dita REFLEXIVA se todo elemento de um conjunto A está relacionado consigo mesmo, ou seja: (x,x) R, x A
Exemplo: É uma relação reflexiva a relação R sobre o conjunto A={a,b,c} descrita por: R = {(a,a), (b,b),(c,c)}
Para todos os vértices do grafo, existem arestas que ligam o vértice a ele mesmo.
Relação Simética
A relação R é dita SIMÉTRICA se quando x está relacionado com y, implicar em y estar relacionado com x, ou seja: 
(x, y) R (y, x) R, para x, y A
Exemplo: É simétrica a relação R no conjunto A={a,b,c} descrita por: R = {(a, a), (b, b),(a, b),(b, a)}
Se de algum vértice do grafo partir uma aresta para um outro vértice, deve obrigatoriamente existir uma aresta no sentido oposto.
Relação Transitiva
A relação R é dita TRANSITIVA se quando x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar em x estar relacionado com z, ou seja: (x, y) R e (y, z) R(x, z)R, para x, y, z A.
Exemplo: É transitiva a relação R no conjunto A={a,b,c}, é descrita por: R = {(a, a),(a, c),(c, b),(a, b)}
Relação Antiassimétrica
A relação R é dita ANTISSIMÉTRICA se quando x está relacionado com y e y está relacionado com x somente quando x = y. (x, y)R e (y, x) R x = y, para x e y A
Exemplo: É antissimétrica uma relação R no conjunto A={a, b, c}, descrita por:
Se de algum vértice do grafo partir uma aresta para um outro vértice, não pode existir uma aresta no sentido contrário.
Exemplo: Seja S= {a, b, c}, classifique a relação R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)}
R é reflexiva, todo elemento tem um laço, R é antissimétrica, existem flechas sem duas pontas
Exemplo: Seja R = {(a,a), (c,c), (a,b), (b,c), (a,c)}.
R não é reflexiva, nem todo elemento tem um laço
R é antissimétrica, existem flechas sem duas pontas
R é transitiva, para todo par de flechas consecutivas existe uma flecha cuja origem está na origem da primeira e a extremidade está na extremidade da segunda
Exemplo: Seja R = {(a,a), (b,b), (b,c), (c,b), (b,d), (d,b), (c,d), (d,c)}
R não é reflexiva, nem todo elemento tem um laço.
R é simétrica, toda flecha tem duas pontas.
R é transitiva, para todo par de flechas consecutivas existe uma flecha cuja origem está na origem da primeira e a extremidade está na extremidade da segunda.
Exemplo: Seja o conjunto A = {a, b, c, d} e R uma relação em A, onde: x R y, x A e y A, se identifica por x y. Considerando o diagrama abaixo, classifique R.
Como nenhum elemento de A se relaciona com ele mesmo, então R não é Reflexiva.
Como o elemento a se relaciona com o elemento b e o elemento b não se relaciona com o elemento a, então R não é simétrica. 
Quando, por exemplo, a se relaciona com b e b se relaciona com c ou com d tem-se que a se relaciona com c ou com d, nesse caso R é transitiva.
Propriedades das Relações Binárias
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: Seja o conjunto A={a,b,c}, então a relação R sobre A descrita por: R = {(a,a), (b,b),(c,c),(a,c),(c,a)} é de equivalência.
Exemplo: Suponha que a matrícula dos estudantes em uma dada Universidade siga o esquema:
Seja R a relação que contém (x,y) e x e y são estudantes com nomes começando com letras do mesmo bloco:
Consequentemente, x e y podem se matricular na mesma hora se e somente se (x,y) R.
Pode-se notar que R é reflexiva, simétrica e transitiva.
RELAÇÃO DE ORDEM
Intuitivamente, podemos pensar numa relação de ordem quando lembramos de uma fila no banco, de uma fila de alunos dispostos numa sala de aula, na relação "menor ou igual" no conjunto dos números naturais, etc
Relações são usadas frequentemente para alguns ou todos os elementos de um conjunto.
Ordenamos palavras usando xRy, onde x vem antes do y no dicionário!
A relação de ordem é uma generalização do conceito de menor ou igual (≤) ou de maior ou igual (≥). 
A relação de ordem é interna e só existe se comparar elementos do mesmo conjunto.
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de ordem sobre A se, e somente se, R é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
RELAÇÃO DE ORDEM PARCIAL: Uma Relação de ordem parcial é uma relação que é ao mesmo tempo reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Exemplo: A relação no conjunto dos números reais: x R y se e só se x ≤ y é uma relação de ordem parcial.
É reflexiva (aRa), antissimétrica (se aRb e bRa, então a=b) e transitiva (se aRb e bRc, então aRc).
Quando temos uma ordem parcial em um conjunto, alguns elementos deste conjunto irão preceder outros, isto é, conseguiremos estabelecer uma ordenação para os elementos do conjunto. 
De forma equivalente, se um conjunto de tarefas deve ser executado na realização de um empreendimento, a idéia de que a tarefa x precede a tarefa y (x < y) significa que a tarefa x deve ser executada antes da tarefa y. 
Exemplo: Deseja-se construir uma casa de madeira. O processo pode ser dividido em uma série de tarefas, algumas delas tendo outras tarefas como pré-requisitos. 
Podemos definir uma ordem parcial no conjunto de tarefas por  x ≤ y ↔ tarefa x = tarefa y ou tarefa x é pré-requisito para a tarefa y. Relação é reflexiva e antissimétrica.  
A relação ≤ é uma relação de ordem parcial em qualquer subconjunto do conjunto dos números reais.
Relação de ordem total
É uma relação de ordem onde todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos.
Exemplo: S = {a, b, c} R = { (a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,c),(a,c)}
Exemplo: A relação no conjunto A={2,4,8,16,...,2n,...) definida por “x é múltiplo de y” é uma relação de ordem total em A. A ordem natural “x ≤ y” no conjunto dos números reais é uma relação de ordem total.
Diagramas de Hasse de Conjuntos munidos de uma Relação de Ordem
Conjuntos munidos de uma relação de ordem são uma relação e portanto pode-se desenhar seu grafo.
No entanto, muitas arestas não precisam estar presentes em virtude das propriedades da relação de ordem (reflexiva e transitiva).
Para simplificar a representação, retira-se de seus grafos as arestas que sempre devem estar presentes.
As estruturas obtidas desta forma são chamadas de DIAGRAMAS DE HASSE da relação de ordem.
Regras:
Se A é um conjunto finito, então podemos representar visualmente um conjunto parcialmente ordenado em A por um diagrama de Hasse. Cada elemento de A é representado por um ponto (vértice) do diagrama. 
O diagrama de Hasse pode ser construído com base num grafo, onde as arestas que representam as relações reflexivas e transitivas ficam implícitas no diagrama. 
Exemplo: Considere o grafo da relação de ordem “≤”sobre o conjunto A={1,2,3,4}:
Exemplo: Dados o conjunto A = {1, 2, 3, 6, 12, 18} e a relação de ordem "x divide y", monte o diagrama de Hasse:
O elemento x será maximal se não existir qualquer elemento estritamente acima de x, e minimal se não existir qualquer elemento estritamente abaixo dele.
Num conjunto A parcialmente ordenado pela relação R, se houver elemento máximo de A então é elemento maximal e não há outros; se houver elemento mínimo de A então é elemento minimal e não há outros.
Exemplo:
Consideremos o conjunto PO que consiste nos números inteiros de 1 a 6 ordenados por divisibilidade. 
Neste conjunto PO, o elemento 1 é mínimo, mas não há elemento máximo. Os elementos 4, 5 e 6 são maximais e o elemento 1 é minimal.
Não há elemento ‘maior’ que um elemento maximal nem há elemento ‘menor’ que um elemento minimal.
EXERCICIO 5
1. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4} e seja R a relação a seguir definida sobre o conjunto A.
 R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
 A propriedade de R é:
 1) Transitiva e Antissimétrica 
 2) Antissimétrica 
 3) Reflexiva e Antissimétrica X
 4) Simétrica e Antissimétrica 
 5) Transitiva e Simétrica 
 2. No conjunto os inteiros de 1 a 6 ordenados por divisibilidade, o(s) elemento(s) maximal(is) é (são):
 1) 5 e 6 
 2) 4, 5 e 6 X
 3) 4 e 6 
 4) 4 e 5 
 3. Se n(A) = 5 e n(B) = 3, então o número de relações binárias possíveis é:
( A ) 2125
( B ) 22
( C ) 28
( D ) 215
( E ) 210
 1) A 
 2) B 
 3) C 
 4) D 
 5) E
Exercícios:
1. Em um grupo de 42 turistas, todos falam inglês ou francês; 35 falam inglês e 18 
falam francês. Quantos turistas falam inglês e francês?
A = 35
B = 18
A U B = 42
A ∩ B = 35 + 18 - 42 = 11
2. Foi feito um levantamento entre os assinantes de seu boletim informativo, em 
preparação para o lançamento de seu novo programa de computador. 
Os resultados de seu levantamento revelam que, dos 87 assinantes, 68 têm um sistema 
baseado em Windows em suas máquinas, 34 têm disponível um sistema Unix e 30 têm 
acesso a um Mac. Além disso, 19 têm acesso a ambos, Windows e Unix, 11 têm acesso a 
ambos, Unix e Mac, e 23 podem usar tanto Windows quanto Mac.
Quantos assinantes têm acesso aos três tipos de sistema?
Solução:
A = {Windows}
B = { Unix}
C = { Mac}
A= 68 
B = 34 
C = 30 
A ∩ B = 19
B ∩ C = 11
A ∩ C = 23
A ∩ B ∩ C = x
A U B U C = 87
68 + 34 + 30 – 19 – 11 – 23 + x = 87
x = 11
Resp: 11 têm acesso aos três sistemas.
3. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo 
menos duas delas fazendo aniversário no mesmo mês? 
Resp: Considerando que o mês tem 30 dias, serão necessárias 31 pessoas fazendo 
aniversário no mês.
4. Um serviço de empregados domésticos por computador tem uma lista de 50 
homens e 50 mulheres. São selecionados nomes aleatoriamente. Quantos nomes 
devem ser selecionados para se garantir que apareçam dois nomes de pessoas do 
mesmo sexo?
Resp: 3
5. Um grupo de estudantes está planejando comprar pizzas. Se 13 comem de calabresa, 
10 comem de salame, 12 comem de queijo, 4 comem tanto de calabresa quanto de 
salame, 5 comem tanto de salame quanto de queijo, 7 comem tanto de calabresa 
quanto de queijo e 3 comem de tudo, calcule quantos estudantes há no grupo.
Solução:
A = {estudantes que comem calabresa}
B = {estudantes que comem salame}
C = {estudantes que comem queijo}
A = 13 
B = 10 
C = 12 
A ∩ B = 4
B ∩ C = 5
A ∩ C = 7
A ∩ B ∩ C = 3
A U B U C = 13 + 10 + 12 – 4 – 5 – 7 + 3 = 22
6. Um feirante vende apenas brócolis, cenoura e quiabo. Em um dia o feirante atendeu 
207 pessoas. Se 204 pessoas compraram brócolis, 152 compraram cenoura, 25 
compraram quiabo, 64 compraram brócolis e cenoura, 12 compraram cenoura e 
quiabo e 9 compraram os três produtos, determine quantas pessoas compraram 
brócolis e quiabo. 
Solução:
A = {pessoas compraram brócolis}
B = {pessoas compraram cenoura}
C = {pessoas quiabo}
A = 114 
B = 152 
C = 25
A U B U C = 207
A ∩ B = 64
B ∩ C = 12
A ∩ B ∩ C = 9
A ∩ C = 114 + 152 + 25 – 64 – 12 + 9 – 207 = 17
7. Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir que duas delas 
tenham o último nome começando pela mesma letra.
Solução:
O alfabeto (incluindo K, Y e W) tem 26 letras (caixas). Se a sala tiver 27 pessoas, então 
existem 27 iniciais para se colocar em 26 caixas, de modo que pelo menos uma caixa vai 
conter mais de uma inicial.
8. Quantas vezes é preciso jogar um dado de modo a garantir que um mesmo valor 
apareça duas vezes.
Resp: 7 vezes.
9. Todos os convidados em um jantar bebem café ou chá. 13 convidados bebem café, 
10 bebem chá e 4 bebem tanto café como chá. Quantas pessoas há nesse grupo.
A = 13 
B = 10
A ∩ B = 4
A U B = 13 + 10 – 4 = 19
Resp: 19 pessoas.
10. O controle de qualidade de uma fábrica retirou 40 peças de uma linha de produção 
com defeitos na pintura, na embalagem e na parte elétrica. Dentre essas peças, 28 tinham defeito na pintura, 17 na embalagem e 13 na parte elétrica, 6 tinham defeito 
tanto na pintura quanto na embalagem, 7 tinham defeito na embalagem e na parte 
elétrica e 10 tinham defeito na pintura e na parte elétrica. Quantas peças tinham os 
três tipos de defeito.
Solução:
A = {defeito na pintura}
B = {defeito na embalagem}
C = {defeito na parte elétrica}
A = 28 
B = 17 
C = 13 
A U B U C = 40
A ∩ B = 6
B ∩ C = 7
A ∩ C = 10
A ∩ B ∩ C = x
x = 28 + 17 + 13 – 6 – 7 – 10 + x = 40
x = 5
Exercícios:
1) Seja o conjunto A = {a, b, c, d} e R uma relação em A, onde: 
x R y, x ∈ A e y ∈ A, se identifica por x -> y. Considerando o diagrama abaixo, 
representativo de R, assinale a alternativa correta.
a) R é reflexiva.
b) R é simétrica.
c) R é transitiva.
d) R é uma relação de equivalência.
e) R é uma relação de ordem.
Como nenhum elemento de A se relaciona com ele mesmo, então R não é reflexiva; 
como o elemento a se relaciona com o elemento b e o elemento b não se relaciona 
com o elemento a, então R não é simétrica. Quando, por exemplo, a se relaciona com 
b e b se relaciona com c ou com d, tem-se que a se relaciona com c ou com d, nesse 
caso R é transitiva.
2) Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {3,4,5,6,7} e 
R = {(x, y) ∈ A x B; x + y é um número par e menor que 10}. 
Descreva os elementos de R e dê o seu domínio e a imagem.
Solução
R: (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 4)
D(R) = {1, 2, 3, 4}
Im(R) = {3, 4, 5, 6, 7}
3) Sejam A e B dois conjuntos tais que n(A) = 3 e n(B) = 2. Determine o número de 
relações binárias diferentes que podem ser definidas de A em B.
O número de relações binárias possíveis é dado por 2m.p
Então: 23.2= 26= 64
4) Dado o conjunto A = {a, b, c} e a relação binária R definida em A por:
aRa, aRb, bRb, bRa, cRc, temos que:
a) R é uma relação de ordem.
b) R é uma relação antissimétrica.
c) R é uma relação não reflexiva.
d) R é uma relação não transitiva.
e) R é uma relação de equivalência.
5) Considere o conjunto dos automóveis da cidade do Rio de Janeiro. Dizemos que 
o automóvel A será relacionado com o automóvel B, isto é, A R B, se o último 
algarismo de suas respectivas placas for o mesmo. Assinale a alternativa certa:
a) R é uma relação de ordem.
b) R é uma relação de equivalência.
d) R é uma relação simétrica, mas não transitiva.
c) R é uma relação reflexiva, mas não simétrica.
e) R é uma relação transitiva, mas não reflexiva.6) Seja A o conjunto dos seres humanos e seja R o seguinte subconjunto de 
A x A: R = {(a, b) ∈ A x A; a tem o mesmo pai que b ou a tem a mesma mãe que b}.
Assinale a alternativa correta:
a) R é uma relação de equivalência.
b) R é uma relação de ordem.
c) R não define uma relação em A.
d) R não é uma relação de ordem porque não é reflexiva.
e) R não é uma relação de equivalência porque não é transitiva.
7)Dada a relação binária em N (conjunto dos números naturais) 
R = {(x, y) ∈ N x N / x + y = 10}. Assinale, entre as alternativas abaixo, a única 
correta:
a) R é reflexiva.
b) R é simétrica.
c) R é antissimétrica.
d) R é transitiva.
e) R é antirreflexiva.
8)Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos 
A = {x ∈ Z; -1 < x <= 2} 
B = {3, 4, 5}. 
Então, se D = {(x, y) ∈ A x B; y >= x + 4}, tem-se que:
a) D é um conjunto vazio. 
b) D tem um único elemento.
c) D tem apenas dois elementos.
d) D tem apenas três elementos.
e) D tem oito elementos.
9)Considere a relação R = {(a, b) ∈ Z xZ; a + 2b = 6}, então R é igual a:Obs: Z = conjunto dos números inteiros
a) {(0, 6), (1, 4), (6, 0)}
b) {(2, 2), (3, 0)}
c) {(0, 3), (2, 2), (4, 1). (6, 0)}
d) {(0, 6), (1, 4), (3, 0)}
e) {(0, 6), (3, 0)}
10) Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, escreva uma relação R que não seja apenas 
simétrica nem transitiva:
a) {(a, a), (b, b), (c, c)}
b) {(a, b), (b, a)}
c) {(a, a), (a, b), (b, b), (a, c)}
d){(a, b), (c, a), (b, c), (c, c}
e) {(a, b), (b, a), (b, c), (a, c)}
11)Sejam A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determine quantos são os 
elementos da relação R = {(x, y) ∈ A x B; x2= y2}:
a) R tem 10 elementos.
b) R tem 5 elementos.
c) R tem 25 elementos.
d) R tem 2 elementos.
e) R tem 20 elementos.12) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3}, os elementos da relação 
R = {(x, y) ∈ A x B; x < y} são:
a) {(3, 1); (2, 1)}
b) {(1, 1); (2, 2); (3, 3)}
c) {(1, 2); (2, 1); (3, 2); (4, 1)}
d) {(1, 2); (1, 3); (2, 3)
e) {(1, 2); (1, 3)}