Prova 2 - Fila A - Cálculo 1 - UFRGS
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Prova 2 - Fila A - Cálculo 1 - UFRGS


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UFRGS \u2013 Instituto de Matema´tica
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 \u2013 Ca´lculo e Geometria Anal´\u131tica IA
Prova 2 \u2013 02/12/15 \u2013 Fila A \u2013 08h30min
1 2 3 4 5 Total
1,0 1,6 1,5 1,4 1,5 7,0
Nome: Carta\u2dco:
Questa\u2dco 1. a) 0,4 ponto Decomposic¸a\u2dco em frac¸o\u2dces parciais e´ o nome dado a decomposic¸a\u2dco de uma
func¸a\u2dco racional pro´pria em uma soma de parcelas do tipo
A
(ax+ b)k
ou
Ax+B
(ax2 + bx+ c)k
. Encontre a
decomposic¸a\u2dco em frac¸o\u2dces parciais da func¸a\u2dco racional pro´pria f(x) =
(x+ 1)2
x(x\u2212 1)2 .
( )
1
x(x\u2212 1)2 +
2
(x\u2212 1)2 +
x
(x\u2212 1)2
( )
1
x
+
2
x+ 1
\u2212 3
(x\u2212 1)2
( X )
1
x
+
4
(x\u2212 1)2
( )
1
x
+
2
x\u2212 1 +
4
(x\u2212 1)2
( )
1
x
+
1
x\u2212 1 +
x+ 5
(x\u2212 1)2
( ) NDA
Soluc¸a\u2dco : A decomposic¸a\u2dco em frac¸o\u2dces parcias da func¸a\u2dco f e´ da forma:
(x+ 1)2
x(x\u2212 1)2 =
A
x
+
B
x\u2212 1 +
C
(x\u2212 1)2
=
A(x\u2212 1)2 +Bx(x\u2212 1) + Cx
x(x\u2212 1)2
(x+ 1)2
x(x\u2212 1)2 =
Ax2 \u2212 2Ax+A+Bx2 \u2212Bx+ Cx
x(x\u2212 1)2
x2 + 2x+ 1
x(x\u2212 1)2 =
(A+B)x2 + (C \u2212B \u2212 2A)x+A
x(x\u2212 1)2
Assim, \uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
A+B = 1
C \u2212B \u2212 2A = 2
A = 1
=\u21d2
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
A = 1
B = 0
C = 4
Portanto, a decomposic¸a\u2dco em frac¸o\u2dces parciais da func¸a\u2dco f e´
(x+ 1)2
x(x\u2212 1)2 =
1
x
+
4
(x\u2212 1)2
b) 0,6 ponto Calcule
\u222b
(x+ 1)2
x(x\u2212 1)2 dx.
( ) ln |x(x\u2212 1)2| \u2212 4
x\u2212 1 + C
( ) ln | x
x\u2212 1 |+
1
x\u2212 1 + C
( ) ln |x2 + x|+ 3
x\u2212 1 + C
( X ) ln |x| \u2212 4
x\u2212 1 + C
( ) NDA
Soluc¸a\u2dco : \u222b
(x+ 1)2
x(x\u2212 1)2dx =
\u222b
1
x
+
4
(x\u2212 1)2dx
=
\u222b
dx
x
+ 4
\u222b
(x\u2212 1)\u22122dx
= ln |x|+ 4
[
(x\u2212 1)\u22121
\u22121
]
+ C
= ln |x| \u2212 4
x\u2212 1 + C
Questa\u2dco 2. Os itens desta questa\u2dco esta\u2dco relacionados a` regia\u2dco R hachurada na figura.
a) 0,2 ponto Qual e´ a equac¸a\u2dco da elipse da figura?
( ) 2x2 + y2 \u2212 8y + 12 = 0
( ) 2x2 + y2 + 8y + 12 = 0
( ) 4x2 + y2 \u2212 16x = 0
( ) 4x2 + y2 + 16x = 0
( X ) 4x2 + y2 \u2212 8y = 0
( ) 4x2 + y2 + 8y = 0
Soluc¸a\u2dco : Observe que o eixo maior da elipse tem 8 unidades de comprimento (2a = 8 =\u21d2 a = 4) e e´
paralelo ao eixo y. O eixo menor mede 4 unidades de comprimento (2b = 4 =\u21d2 b = 2) e e´ paralelo ao
eixo x. Pela figura tambe´m podemos concluir que o o centro da elipse e´ C(0, 4), assim sua equac¸a\u2dco e´
dada por
x2
22
+
(y \u2212 4)2
42
= 1
x2
4
+
(y \u2212 4)2
16
= 1
4x2 + (y \u2212 4)2 = 16
4x2 + y2 \u2212 8y + 16 = 16
4x2 + y2 \u2212 8y = 0
b) 0,7 ponto Escreva, mas na\u2dco calcule, a integral definida que representa a a´rea da regia\u2dco R. (Use a
varia´vel y)
( ) A =
1
2
\u222b 2
0
\u221a
8y \u2212 y2 \u2212 4y d y
( ) A =
1
2
\u222b 4
0
\u221a
8y \u2212 y2 \u2212 4y d y
( X ) A =
1
2
\u222b 4
0
\u221a
8y \u2212 y2 \u2212 y d y
( ) A =
1
2
\u222b 2
0
\u221a
8y \u2212 y2 \u2212 y d y
( ) A =
1
2
\u222b 4
0
\u221a
8y \u2212 y2 \u2212 2y d y
( ) NDA
Soluc¸a\u2dco : A regia\u2dco R e´ limitada a` direta pela elipse de equac¸a\u2dco 4x2 + y2 \u2212 8y = 0 e a` esquerda pela
reta y = 2x. Para escrevermos a integral em relac¸a\u2dco a y, precisamos isolar a varia´vel x \u2265 0 em ambas
equac¸o\u2dces :
4x2 + y2 \u2212 8y = 0
4x2 = 8y \u2212 y2
x2 =
8y \u2212 y2
4
x = w(y) =
\u221a
8y \u2212 y2
2
y = 2x
x = u(y) =
y
2
O intervalo de integrac¸a\u2dco e´ [c, d] = [0, 4], assim
A =
\u222b d
c
[w(y)\u2212 u(y)] d y
=
\u222b 4
0
\u221a
8y \u2212 y2
2
\u2212 y
2
d y
=
1
2
\u222b 4
0
\u221a
8y \u2212 y2 \u2212 y d y
c) 0,7 ponto Calcule o volume do so´lido gerado quando R gira em torno do eixo y.
( )
4pi
3
u.v.
( )
8pi
3
u.v.
( X )
16pi
3
u.v.
( ) 16pi2 +
128pi
3
u.v.
( ) 16pi2 \u2212 128pi
2
u.v
( ) NDA
Soluc¸a\u2dco : Ja´ temos tudo em ma\u2dcos, agora e´ so´ escrever e calcular a integral!
V =
\u222b d
c
pi([w(y)]2 \u2212 [u(y)]2) d y
=
\u222b 4
0
pi
\uf8ee\uf8f0(\u221a8y \u2212 y2
2
)2
\u2212
(y
2
)2\uf8f9\uf8fb d y
= pi
\u222b 4
0
8y \u2212 y2
4
\u2212 y
2
4
d y
=
pi
4
\u222b 4
0
8y \u2212 2y2 d y
=
pi
2
\u222b 4
0
4y \u2212 y2 dy
=
pi
2
[
2y2 \u2212 y
3
3
]4
0
=
pi
6
[
6y2 \u2212 y3
]4
0
=
pi
6
[(
6 · 42 \u2212 43
)
\u2212
(
6 · 02 \u2212 03
)]
=
pi
6
·
(
96\u2212 64
)
=
32pi
6
V =
16pi
3
Questa\u2dco 3. Considere a integral I =
\u222b 4
2
\u221a
x2 \u2212 4
x3
dx.
a) 0,3 ponto Qual e´ a substituic¸a\u2dco trigonome´trica que elimina o radical do integrando?
( ) x = 2 sen \u3b8
( ) x = 2 tg \u3b8
( X ) x = 2 sec \u3b8
( ) x = 4 sen \u3b8
( ) x = 4 tg \u3b8
( ) x = 4 sec \u3b8
Soluc¸a\u2dco : A substituic¸a\u2dco que elimina o radical e´ x = 2 sec \u3b8, uma vez que\u221a
x2 \u2212 4 =
\u221a
(2 sec \u3b8)2 \u2212 4
=
\u221a
4 sec2 \u3b8 \u2212 4
=
\u221a
4(sec2 \u3b8 \u2212 1)
=
\u221a
4 tg 2\u3b8
\u221a
x2 \u2212 4 = 2| tg \u3b8|
E´ importante observar que quando x percorre o intervalo [2, 4], a varia´vel \u3b8 percorre o intervalo [0,
pi
3
],
de modo que tg \u3b8 e´ sempre positiva no intervalo de integrac¸a\u2dco e sec \u3b8, crescente. Podemos confirmar
isso abrindo um pouco mais as contas:
4 = 2 sec \u3b8 =\u21d2 sec \u3b8 = 2 =\u21d2 cos \u3b8 = 1
2
=\u21d2 \u3b8 = pi
3
2 = 2 sec \u3b8 =\u21d2 sec \u3b8 = 1 =\u21d2 cos \u3b8 = 1 =\u21d2 \u3b8 = 0.
Finalmente, podemos substituir x = 2 sec \u3b8 =\u21d2 dx = 2 sec \u3b8 tg \u3b8 d \u3b8 na integral I.
I =
\u222b 4
2
\u221a
x2 \u2212 4
x3
dx
=
\u222b pi/3
0
2 tg \u3b8
(2 sec \u3b8)3
2 sec \u3b8 tg \u3b8 d \u3b8
=
\u222b pi/3
0
4 tg 2\u3b8 sec \u3b8
8 sec3 \u3b8
d \u3b8
=
1
2
\u222b pi/3
0
tg 2\u3b8
sec2 \u3b8
d \u3b8
=
1
2
\u222b pi/3
0
sen 2\u3b8
cos2 \u3b8
1
cos2 \u3b8
d \u3b8
=
1
2
\u222b pi/3
0
sen 2\u3b8 d \u3b8
b) 0,6 ponto Escreva a integral I na varia´vel \u3b8.
( )
1
2
\u222b pi/6
0
tg 2\u3b8 sec2 \u3b8 d \u3b8
( )
1
2
\u222b pi/3
0
tg 2\u3b8 sec2 \u3b8 d \u3b8
( )
1
4
\u222b pi/6
0
sen \u3b8 cos2 \u3b8 d \u3b8
( )
1
4
\u222b pi/3
0
sen \u3b8 cos2 \u3b8 d \u3b8
( )
1
2
\u222b pi/6
0
sen 2\u3b8 d \u3b8
( X )
1
2
\u222b pi/3
0
sen 2\u3b8 d \u3b8
Soluc¸a\u2dco : I =
1
2
\u222b pi/3
0
sen 2\u3b8 d \u3b8, conforme a soluc¸a\u2dco do item a).
c) 0,6 ponto Calcule o valor da integral I.
( X )
pi
12
\u2212
\u221a
3
16
( )
\u221a
3 + ln (2 +
\u221a
3) + 2
( )
\u221a
3
16
( )
pi
24
\u2212 1
16
( )
1
24
( )
1
12
\u2212
\u221a
3
32
( )
pi
24
ln(2 +
\u221a
3)
( ) NDA
Soluc¸a\u2dco :
I =
1
2
\u222b pi/3
0
sen 2\u3b8 d \u3b8
=
1
2
\u222b pi/3
0
1\u2212 cos 2\u3b8
2
d \u3b8
=
1
4
[
\u3b8 \u2212 sen 2\u3b8
2
]pi/3
0
=
1
4
[(
pi
3
\u2212 sen (2pi/3)
2
)
\u2212
(
0\u2212 sen 0
2
)]
=
pi
12
\u2212
\u221a
3
16
Questa\u2dco 4. Seja H a hipe´rbole de equac¸a\u2dco
x2 \u2212 4y2 \u2212 2x+ 17 = 0.
a) 0,7 ponto As equac¸o\u2dces das ass´\u131ntotas da hipe´rbole sa\u2dco
( ) 2x\u2212 y \u2212 2 = 0 e 2x+ y \u2212 2 = 0
( ) 2x\u2212 4y \u2212 1 = 0 e 4y + 2x+ 1 = 0
( X ) x\u2212 2y \u2212 1 = 0 e x+ 2y \u2212 1 = 0
( ) 2x\u2212 y \u2212 1 = 0 e 2x+ y + 1 = 0
( ) NDA
Soluc¸a\u2dco : Comec¸amos completando o quadrado na equac¸a\u2dco :
x2 \u2212 4y2 \u2212 2x+ 17 = 0
x2 \u2212 2x\u2212 4y2 = \u221217
x2 \u2212 2 · 1 · x+ 1\u2212 4y2 = \u221217 + 1
(x\u2212 1)2 \u2212 4y2 = \u221216
(x\u2212 1)2
\u221216 \u2212
4y2
\u221216 = 1
y2
4
\u2212 (x\u2212 1)
2
16
= 1
y2
22
\u2212 (x\u2212 1)
2
42
= 1
Trata-se de uma hipe´rbole de eixo real associado a medida 2a, onde a = 2, e eixo imagina´rio de
comprimento 2b com b = 4. Segue-se que as equac¸o\u2dces das ass´\u131ntotas sa\u2dco :
y = ±2
4
(x\u2212 1)
2y = ±(x\u2212 1)
2y = x\u2212 1 ou 2y = \u2212x+ 1
x\u2212 2y \u2212 1 = 0 ou x+ 2y \u2212 1 = 0
b) 0,7 ponto Dentre as alternativas abaixo, qual melhor representa o gra´fico de H?
(a) ( ) (b) ( )
(c) ( X ) (d) ( )
(e) ( )
O gra´fico do item (c) e´ o u´nico que apresenta centro sobre o eixo x com coordenada positiva e, ao
mesmo tempo, tem eixo real paralelo ao eixo y.
Questa\u2dco 5. Escolha uma, e somente uma, das integrais impro´prias abaixo:
( ) I1 =
\u222b +\u221e
0
xe\u2212x dx ( ) I2 =
\u222b 5
0
(x\u2212 1)\u22121/3 dx
a) 0,5 ponto Explique porque a integral escolhida e´, de fato, impro´pria.
Soluc¸a\u2dco para I1: A integral I1 e´ uma integral impro´pria porque seu intervalo de integrac¸a\u2dco e´ infinito
e, portanto, a integral definida na\u2dco esta´ definida!
Soluc¸a\ufffd\ufffdo para I2. A integral I2 e´ impro´pria porque a func¸a\u2dco
Leonardo
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