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UNIVERSIDADE TECNOL ´OGICA FEDERAL DO PARAN ´A PROF. ADILANDRI M ´ERCIO LOBEIRO (UTFPR-CM-COINF). DISCIPLINAS: EL32B, ED3XA, EA32F, ED3XB EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS CAMPO MOUR ˜AO 2013/1 Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciada e que correspondem aos livros textos deste Curso. Sugere-se a sua aquisic¸a˜o. O u´nico objetivo destas notas e´ facilitar as atividades dos alunos em sala de aula, pois na˜o precisara˜o anotar conteu´dos e enunciados de exercı´- cios. De forma que o aluno tem um maior conforto em sala de aula e o professor podera´ explicar os temas de forma mais ra´pida. De nenhuma maneira a leitura ou consulta da bibliografia esta´ descartada, isto e´ dever do aluno. P.ALuno Atendimento Quarta Sexta Hora´rios 13:50-15:30 10:20-12:00 Provas Eventos EL32B EA32F ED3XB ED3XA Primeira Prova 27/06/13 28/06/13 28/06/13 28/06/13 Segunda Prova 15/08/13 16/08/13 16/08/13 16/08/13 Terceira Prova 19/09/13 20/09/13 20/09/13 20/09/13 Reavaliac¸a˜o 26/09/13 27/09/13 27/09/13 27/09/13 SUM ´ARIO 1 INTRODUC¸ ˜AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 INTRODUC¸ ˜AO `AS EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 INTRODUC¸ ˜AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 CLASSIFICAC¸ ˜AO DAS EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Classificac¸a˜o pelo Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Classificac¸a˜o pelo Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.3 Classificac¸a˜o como Linear e Na˜o-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.4 Soluc¸o˜es Explı´citas e Implı´citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 EDOS DO TIPO QUADRATURA E SEPAR ´AVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1 QUADRATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 VARI ´AVEIS SEPAR ´AVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 APLICAC¸ ˜OES DE EDOS - QUADRATURA E SEPAR ´AVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.1 Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.2 Resfriamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.3 Problemas de Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.4 Circuitos em Se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5 MEIA-VIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.6 CRONOLOGIA DO CARBONO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7 LISTA DE EXERC´ICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 EDOS HOMOG ˆENEAS, EXATAS, LINEARES, BERNOULLI, RICATTI, CLAI- RAUT, D’ALEMBERTDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.1 EQUAC¸ ˜OES HOMOG ˆENEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.1.1 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 EQUAC¸ ˜OES EXATAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 EQUAC¸ ˜OES LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4 EQUAC¸ ˜AO DE BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5 EQUAC¸ ˜AO DE RICATTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.6 EQUAC¸ ˜AO DE CLAIRAUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.7 EQUAC¸ ˜AO DE D’ALEMBERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.8 APLICAC¸ ˜OES DE EQUAC¸ ˜OES N ˜AO LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR . . . . . . . . . . . 49 INTRODUC¸ ˜AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1 TEORIA PRELIMINAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.1 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1.2 Dependeˆncia Linear e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.1.3 Soluc¸o˜es Para Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Equac¸o˜es Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Princı´pio de Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Soluc¸o˜es Linearmente Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Equac¸o˜es Na˜o-Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Func¸a˜o Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 CONSTRUINDO UMA SEGUNDA SOLUC¸ ˜AO A PARTIR DE UMA SOLUC¸ ˜AO CONHECIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Reduc¸a˜o de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 EQUAC¸ ˜OES LINEARES HOMOG ˆENEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES 64 Equac¸a˜o Auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Equac¸a˜o de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4 OPERADORES DIFERERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Operador Anulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS - ABORDAGEM POR ANULADORES . . . 74 Resumo do Me´todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6 VARIAC¸ ˜AO DOS PAR ˆAMETROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.6.1 Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.6.2 Equac¸o˜es de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 REFER ˆENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4 1 INTRODUC¸ ˜AO Coisas que voceˆ precisa saber a nı´vel de Ensino Me´dio: 1. 0 2 = 2. 2 0 = 3. 00 = e a nı´vel de Ensino Superior: 1. d dx ( x2 ) = 2. d dx (2 x) = 3. ddx (x x) = 5 2 INTRODUC¸ ˜AO `AS EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS As palavras equac¸a˜o e diferencial sugerem certamente algum tipo de equac¸a˜o que envolve derivadas. Da mesma forma que um curso de a´lgebra e trigonometria, nos quais um bom tempo e´ gasto na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es como 2x+6 = 0 para a inco´gnita x, neste curso uma de nossas tarefas sera´ resolver equac¸o˜es diferenciais como dy dx = y(x), para a func¸a˜o inco´gnita y = y(x). O primeiro para´grafo acima nos fala algo, mas na˜o tudo, sobre o curso que voceˆ esta´ prestes a comec¸ar. No decorrer do curso, voceˆ vera´ que ha´ mais no estudo de equac¸o˜es diferenciais que ta˜o somente o domı´nio de me´todos idealizados por algue´m para resolveˆ-las. Mas, em primeiro lugar, para ler, estudar e familiarizar-se com esse assunto ta˜o especializado, e´ necessa´rio conhe- cer algumas definic¸o˜es e terminologias ba´sicas sobre o mesmo (ZILL DENNIS G; CULLEN, 2006). No curso de ca´lculo, voceˆ aprendeu que, dada uma func¸a˜o y = f (x), a derivada dy dx = f ′(x) e´ tambe´m, ela mesma, uma func¸a˜o de x e e´ calculada por regras apropriadas. Por exemplo, se y = ex2 , enta˜o dy dx = 2xe x2 ou dy dx = 2xy O problema com o qual nos deparamos neste curso na˜o e´: dada uma func¸a˜o y = f (x) encontre sua derivada. Nosso problema e´: dada uma equac¸a˜o como dydx = 2xy, encontre, de algum modo, uma func¸a˜o y = f (x) que satisfac¸a a equac¸a˜o. O problema e´ mais ou menos equivalente ao familiar problema inverso do ca´lculo diferencial: dada uma derivada, encontrar uma antiderivada. Em outras palavras, no´s queremos resolver equac¸o˜es diferenciais. Definic¸a˜o 2.1 (Equac¸a˜o Diferencial) Uma equac¸a˜o que conte´m as derivadas ou diferenciais 6 de uma ou mais varia´veis dependentes, em relac¸a˜o a uma ou mais varia´veis independentes, e´ chamada de equac¸a˜o diferencial (ED). 2.1 CLASSIFICAC¸ ˜AO DAS EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equac¸o˜es diferenciais por tipo, ordem e linearidade. 2.1.1 Classificac¸a˜o pelo Tipo Se uma equac¸a˜o contiver somente derivadas ordina´rias de uma ou mais varia´veis depen- dentes em relac¸a˜o a uma u´nica varia´vel independente, ela sera´ chamada de equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO). Por exemplo, dy dt −5y = 1 d2y dx2 −2 dy dx +6y = 0 (y− x)dx+4xdy = 0 du dx − dv dx = x (2.1.1) sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias. Uma equac¸a˜o que envolve as derivadas parciais de uma ou mais varia´veis dependentes de duas ou mais varia´veis independentes e´ chamada de equac¸a˜o diferencial parcial (EDP). Por exemplo, ∂u ∂y = − ∂v ∂x x ∂u ∂x + y ∂u ∂y = u ∂ 2u ∂x2 = ∂ 2u ∂ t2 −2 ∂u ∂ t (2.1.2) sa˜o equac¸o˜es diferenciais parciais. As derivadas ordina´rias sera˜o escritas ao longo deste texto como a notac¸a˜o de Leibniz dydx , d2y dx2 , d3y dx3 , · · · ou com a notac¸a˜o linha (conhecida como “prime”) y ′ , y′′, y′′′, · · · . Usando a u´ltima notac¸a˜o, podemos escrever as duas primeiras equac¸o˜es diferenciais em (2.1.1) um pouco mais compactamente como y′− 5y = 1 e y′′− 2y′+ 6y = 0. Na realidade, a notac¸a˜o linha e´ usada somente para denotar as treˆs primeiras derivadas; a quarta derivada e´ escrita como y(4), em vez de y′′′′ . Em geral, a n-e´sima derivada e´ escrita como d ny dxn ou y (n) . Embora seja menos conve- niente para escrever e imprimir, a notac¸a˜o de Leibniz tem, sobre a notac¸a˜o linha, a vantagem 7 de explicitar claramente as varia´veis dependentes e independentes. Por exemplo, na equac¸a˜o d2x dt2 + 16x = 0 veˆ-se imediatamente que o sı´mbolo x representa uma varia´vel dependente e t, uma varia´vel independente. Derivadas parciais sa˜o frequ¨entemente denotadas por uma notac¸a˜o em subscrito indicando as varia´veis independentes. Por exemplo, com a notac¸a˜o em subscrito, a terceira equac¸a˜o em (2.1.2) torna-se uxx = utt −2ut . 2.1.2 Classificac¸a˜o pelo Ordem A ordem de uma equac¸a˜o diferencial (EDO) ou (EDP) e´ a ordem da maior derivada na equac¸a˜o. Por exemplo, d2y dx2 +5 ( dy dx )3 −4y = ex e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem (ou de ordem dois). A equac¸a˜o a2 ∂ 4u ∂x4 + ∂ 2u ∂ t2 = 0, e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial de quarta ordem. Embora as equac¸o˜es diferenciais parciais sejam muito importante, seu estudo demanda um bom conhecimento da teoria de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias. Portanto, na discussa˜o que se segue, limitaremos nossa atenc¸a˜o a`s equac¸o˜es diferenciais ordina´rias. Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria geral de n-e´sima ordem e´ frequentemente representada pelo simbolismo F ( x,y, dy dx , · · · , dny dxn ) = 0, onde x e´ a varia´vel independente. Por exemplo, dada a equac¸a˜o 4xdydx + y = x podemos escreveˆ-la da forma 4x dy dx + y− x = 0. Neste caso, F ( x,y, dy dx ) = 4x dy dx + y− x. 8 2.1.3 Classificac¸a˜o como Linear e Na˜o-Linear Uma equac¸a˜o diferencial e´ chamada de linear na varia´vel dependente y quando pode ser escrita na forma an(x) dny dxn +an−1(x) dn−1y dxn−1 + · · ·+a1(x) dy dx +a0(x)y = g(x). Observe que as equac¸o˜es diferenciais lineares sa˜o caracterizadas por duas propriedades: • A varia´vel dependente y e todas as suas derivadas sa˜o do primeiro grau: isto e´, a poteˆncia de cada termo envolvendo y e´ 1. • Cada coeficiente depende apenas da varia´vel independente x. Uma equac¸a˜o que na˜o e´ linear e´ chamada de na˜o-linear. As equac¸o˜es y′′−2y′+ y = 0 x3 d3y dx3 − x 2 d2y dx2 +3x dy dx +5y = e x sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares de primeira, segunda e terceira ordens, respectiva- mente. Por outro lado, yy′′−2y′ = x e d 3y dx3 + y 2 = 0 sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias na˜o-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente. Como mencionado antes, nosso objetivo neste curso e´ resolver ou encontrar soluc¸o˜es para equac¸o˜es diferenciais. Definic¸a˜o 2.2 (Soluc¸a˜o para uma Equac¸a˜o Diferencial) Qualquer func¸a˜o f definida em al- gum intervalo I, que, quando substituı´da na equac¸a˜o diferencial, reduz a equac¸a˜o a uma iden- tidade, e´ chamada de soluc¸a˜o para a equac¸a˜o no intervalo. Em outras palavras, uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria F(x,y,y′, · · · ,y(n)) = 0 e´ uma func¸a˜o f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equac¸a˜o; isto e´, F(x, f (x), f ′(x), · · · , f (n)(x)) = 0 para todo x no intervalo I. 9 Exemplo 2.1 Verifique se y = x 4 16 e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o na˜o-linear dy dx − xy 1/2 = 0 no intervalo (−∞,+∞). Exemplo 2.2 Verifique se y = xex e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o linear y′′−2y′+ y = 0 no intervalo (−∞,+∞). Note que, nos exemplos (2.1) e (2.2), a func¸a˜o constante y = 0 tambe´m satisfaz a equac¸a˜o diferencial dada para todo x real. Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial que e´ identica- mente nula em um intervalo I e´ em geral referidacomo soluc¸a˜o trivial. Nem toda equac¸a˜o diferencial que escrevemos possui necessariamente uma soluc¸a˜o. Exemplo 2.3 As equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem( dy dx )2 +1 = 0 e (y′)2 + y2 +4 = 0 na˜o possuem soluc¸a˜o. Por queˆ? A equac¸a˜o de segunda ordem( y ′′)2 +10y4 = 0 posuui somente uma soluc¸a˜o real. Qual? 2.1.4 Soluc¸o˜es Explı´citas e Implı´citas Voceˆ deve estar familiarizado com as noc¸o˜es de func¸o˜es explı´citas vistas em seu estudo de ca´lculo. Similarmente, soluc¸o˜es de equac¸o˜es diferenciais sa˜o divididas em explı´citas ou implı´citas. Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO) que pode ser escrita na forma y = f (x) e´ chamada de soluc¸a˜o explı´cita. Vimos em nossa discusa˜o inicial que y = ex2 e´ uma soluc¸a˜o explı´cita de dydx = 2xy. Nos exemplos (2.1) e (2.2), y = x4 16 e y = xe x sa˜o soluc¸o˜es explı´citas de dydx = xy 1/2 e y ′′−2y′+y = 0, respectivamente. Dizemos que uma relac¸a˜o G(x,y) = 0 e´ uma soluc¸a˜o implı´cita de uma equac¸a˜o diferencial em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluc¸o˜es explı´citas em I. 10 Exemplo 2.4 Verifique que para −2 < x < 2, a relac¸a˜o x2+y2−4 = 0 e´ uma soluc¸a˜o implı´cita para a equac¸a˜o diferencial dy dx =− x y Ale´m disso, note que qualquer relac¸a˜o da forma x2 + y2 − c = 0 satisfaz, formalmente, dy dx =− x y para qualquer constante c. Pore´m, fica subentendido que a relac¸a˜o deve sempre fazer sentido no sistema dos nu´meros reais; logo, na˜o podemos dizer que x2 + y2 + 1 = 0 determina uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial. Como a distinc¸a˜o entre uma soluc¸a˜o explı´cita e uma soluc¸a˜o implı´cita e´ intuitivamente clara, na˜o nos daremos ao trabelho de dizer “aqui temos uma soluc¸a˜o explı´cita (implı´cita)”. Nu´mero de Soluc¸o˜es - Voceˆ deve se acostumar com o fato de que uma dada equac¸a˜o diferencial geralmente possui um nu´mero infinito de soluc¸o˜es. Exercı´cio 2.1 Verifique se a func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial. (c1 e c2 sa˜o constantes). 1. 2y′+ y = 0; y = e−x/2 2. dy dx −2y = e 3x; y = e3x +10e2x 3. y′ = 25+ y2; y = 5tan5x 4. y′+ y = sinx; y = 1 2 sinx− 1 2 cosx+10e−x 5. x2dy+2xydx = 0; y =− 1 x2 6. y′− 1 x y = 1; y = x lnx, x > 0 7. y′′−6y′+13y = 0; y = e3x cos2x 8. xd 2y dx2 +2 dy dx = 0; y = c1 + c2x −1 9. x2y′′−3xy′+4y = 0; y = x2 + x2 lnx , x > 0 10. y′′′−3y′′+3y′− y = 0; y = x2ex 11 3 EDOS DO TIPO QUADRATURA E SEPAR ´AVEL Apresentadas todas as terminologias necessa´rias, estamos agora aptos para estudar algumas das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem segundo a classificac¸a˜o do software Maple 16 e resolveˆ-las. Se uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem puder ser resolvida, veremos que a te´cnica ou me´todo para resolveˆ-la depende do tipo da equac¸a˜o de primeira ordem com que estamos lidando. Durante anos, muitos matema´ticos se esforc¸aram para resolver diversos tipos particula- res de equac¸o˜es. Por isso, ha´ va´rios me´todos de soluc¸a˜o: o que funciona para um tipo de equac¸a˜o de primeira ordem na˜o se aplica necessariamente a outros tipos de equac¸a˜o (MALUMBRES, 1996). Estudaremos alguns tipos de EDO de primeira ordem mostrado na Figura (2), conforme a classificac¸a˜o do software Maple 12, ou verso˜es superiores. Figura 1: EDO de primeira ordem. Iniciaremos nossos estudos com o tipo “Quadrature”. 3.1 QUADRATURA Comec¸amos nosso estudo sobre a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem F ( x,y, dy dx ) = 0 (3.1.1) 12 que pode ser escrita na forma explı´cita dy dx = f (x,y) (3.1.2) com a mais simples dentre todas as equac¸o˜es diferenciais, aquela onde f e´ independente de uma varia´vel: 1. f independente da varia´vel y, isto e´, f (x,y) = h(x). De (3.1.2), temos: dy dx = h(x) . (3.1.3) Resolver esta equac¸a˜o consiste em encontrar uma func¸a˜o cuja derivada seja h(x), isto e´, encontrar a primitiva (integral indefinida) de h(x). Integrando ambos os lados de (3.1.3), ou ainda, usando o primeiro teorema fundamental do ca´lculo, obtemos y(x) = ∫ h(x)dx = H(x)+ c A func¸a˜o y dada desta forma e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.1.3). Geometricamente, a primitiva e´ a equac¸a˜o de uma famı´lia de curvas e uma soluc¸a˜o particular e´ a equac¸a˜o de uma dessas curvas. Estas curvas sa˜o denominadas curvas integrais da equac¸a˜o diferencial. 2. Se f e´ independente da varia´vel x, isto e´, f (x,y) = g(y), ou ainda, dy dx = g(y) . (3.1.4) Temos dois casos a considerar: (i) g(y) 6= 0; Ao considerarmos g(y) 6= 0, obtemos: 1 g(y) dy dx = 1 ⇒ ∫ dy g(y) = ∫ dx ⇒ ∫ dy g(y) = x+ c, que e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o, caso exista a integral. (ii) g(y) = 0. Se g(y) = 0 significa que existe y0 tal que g(y0) = 0. Logo a soluc¸a˜o e´ y0 = c, onde 13 c e´ constante. De fato, d dx(y0) = 0 = g(y0). Nesta caso, y0 e´ chamada de soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o. Definic¸a˜o 3.1 (Equac¸a˜o Quadratura) Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira ordem da forma dy dx = h(x) (3.1.5) ou dy dx = g(y) (3.1.6) e´ chamada de quadratura. Exemplo 3.1 Resolva as equac¸o˜es: 1. dy dx = 2x; 2. dy dx = y; 3. dydx = y 2−4. 3.2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL Estamos interessados em resolver equac¸o˜es de primeira ordem que podem ser escritas na forma dy dx = f (x,y) sujeita a` condic¸a˜o inicial y(x0) = x0, em que x0 e´ um nu´mero no intervalo I e y0 e´ um nu´mero real arbitra´rio. O problema Resolva : dydx = f (x,y) Su jeita a : y(x0) = y0 (3.2.7) e´ chamado de problema de valor inicial PVI. Em termos geome´tricos, estamos procurando uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gra´fico da soluc¸a˜o passe por um (x0,y0) determinado a priori. 14 Exemplo 3.2 Vimos que y = cex e´ uma famı´lia de soluc¸o˜es para dydx = y no intervalo (−∞,∞). Encontre uma soluc¸a˜o para o problema de valor inicial (PVI). dy dx = y y(0) = 3 . A questa˜o fundamental surge quando consideramos um problema de valor inicial como (3.2.7): Existe uma soluc¸a˜o para o problema? Se existe uma soluc¸a˜o, ela e´ u´nica? Em outras palavras, a equac¸a˜o diferencial dydx = f (x,y) possui uma soluc¸a˜o cujo gra´fico passa pelo ponto (x0,y0)? E sera´ que essa soluc¸a˜o, se existir, e´ u´nica? Exemplo 3.3 Verifique se cada uma das func¸o˜es y = 0 e y = x 4 16 satisfaz o problema de valor inicial (PVI). dy dx = xy 1/2 y(0) = 0 . Em geral, deseja-se saber, antes de considerar um problema de valor inicial, se uma soluc¸a˜o existe e, quando existe, se e´ a u´nica soluc¸a˜o para o problema. Teorema 3.1 (Existeˆncia de uma ´Unica Soluc¸a˜o - Teorema de Picard) Seja R uma regia˜o re- tangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que conte´m o ponto (x0,y0) em seu interior. Se f (x,y) e ∂ f∂y sa˜o contı´nuas em R, enta˜o existe um intervalo I centrado em x0 e uma u´nica func¸a˜o y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial dy dx = f (x,y) y(x0) = y0 . (3.2.8) Exemplo 3.4 Use o teorema (3.1) para verificar a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o para o problema de valor inicial (PV I) dy dx = xy 1/2 y(x0) = y0 . 15 Exemplo 3.5 Use o teorema (3.1) para garantir a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o para o problema de valor inicial (PV I) dy dx = y y(0) = 3 . 3.3 VARI ´AVEIS SEPAR ´AVEIS Considerando a equac¸a˜o diferencial de 1a ordem dy dx = f (x,y) (3.3.1) podemos escrever a func¸a˜o f = f (x,y) como o quociente de duas outras func¸o˜es, a saber, M = M(x,y) e N = N(x,y), logo: dy dx = M(x,y) N(x,y) ´E conveniente manter o sinal negativo no segundo membro da equac¸a˜o, na forma: dy dx = − M(x,y) N(x,y) assim podemos escrever a equac¸a˜o (3.3.1) na forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (3.3.2) O problema de resolver equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem depende da soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.3.1) ou da soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.3.2). Se M e´ uma func¸a˜o apenas da varia´vel x, isto e´, M = M(x) e N e´ uma func¸a˜o apenas da varia´vel y, isto e´ N = N(y), enta˜oa equac¸a˜o (3.3.2) fica na forma M(x)dx+N(y)dy = 0 (3.3.3) e ela e´ chamada equac¸a˜o separa´vel. Definic¸a˜o 3.2 (Equac¸a˜o Separa´vel) Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem da forma dy dx = f (x)g(y) (3.3.4) e´ chamada de separa´vel ou de varia´veis separa´veis. Me´todo de soluc¸a˜o: Para resolver a equac¸a˜o (3.3.4), devemos considerar os seguintes 16 casos: a) Se g(y) = a, onde a e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma qua- dratura. Temos da equac¸a˜o (3.3.4) que dy dx = a f (x) . (3.3.5) Para obter a soluc¸a˜o basta observar como resolvemos (3.1.5). b) Se f (x) = b, onde b e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma quadratura conforme (3.1.6). Da equac¸a˜o (3.3.4), temos dy dx = bg(y). (3.3.6) Nesta situac¸a˜o vamos considerar dois casos: (i) g(y) 6= 0; Ao considerarmos g(y) 6= 0, obtemos: 1 g(y) dy dx = b ⇒ ∫ dy g(y) = b ∫ dx ⇒ ∫ dy g(y) = bx+ c, que e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o. (ii) g(y) = 0. Se g(y) = 0 significa que existe y0 tal que g(y0) = 0. Logo a soluc¸a˜o e´ y0 = c, onde c e´ constante. De fato, d dx(y0) = 0 = b ·0 = b ·g(y0). Concluı´mos que y0 e´ uma soluc¸a˜o singular. c) Se nem f e nem g forem constantes temos uma equac¸a˜o de varia´vel separa´vel. Para resol- vermos consideraremos dois casos: Caso 1: g(y) 6= 0; Se para todo y temos g(y) 6= 0. Podemos escrever a equac¸a˜o (3.3.4) da forma 1 g(y) dy dx = f (x). 17 Ao calcularmos a integral ∫ dy g(y) = ∫ f (x)dx+ c . obtemos a soluc¸a˜o. Caso 2: g(y) = 0. Se existe y0 tal que g(y0) = 0. Temos que y0 = c, onde c e´ constante, e´ soluc¸a˜o. De fato, d dx(y0) = 0 = f (x) ·0 = f (x) ·g(y0). Observac¸a˜o 3.1 Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem da forma dy dx = f (x)g(y) , e´ chamada de separa´vel ou de varia´veis separa´veis. a) Se g(y) = a, onde a e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma quadratura. b) Se f (x) = b temos uma situac¸a˜o ana´loga ao item anterior; c) Se nem f e nem g forem constantes temos uma equac¸a˜o de varia´vel separa´vel. Observac¸a˜o 3.2 1. Como este me´todo depende de escrevermos (3.3.1) ou (3.3.2) na forma (3.3.3), onde as varia´veis esta˜o “separadas” em dois termos, ele e´ chamado de Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis, e as varia´veis sa˜o ditas separa´veis. 2. Na˜o se deve memoriar a fo´rmula obtida no final. O que fizemos aqui foi mostrar o cami- nho que deve ser seguido para resolver uma “equac¸a˜o separa´vel”. 3. Na˜o ha´ necessidade de usar duas constantes na integrac¸a˜o de uma equac¸a˜o separa´vel, pois ∫ N(y)dy+ c1 = ∫ −M(x)dx+ c2 ⇒ ∫ N(y)dy = ∫ −M(x)dx+ c2− c1 ⇒ ∫ N(y)dy = ∫ −M(x)dx+ c Apresentaremos agora alguns exemplos para melhor entendimento. 18 Exemplo 3.6 Considere a EDO dy dx = x(y−1). Vamos encontrar sua soluc¸a˜o. Exercı´cio 3.1 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada por separac¸a˜o de varia´vel. 1. dy dx = sin5x. 2. dx+ e3xdy = 0 . 3. (x+1)dydx = x+6 . 4. x dy dx = 4y . 5. dy dx = y3 x2 6. dxdy = x2y2 1+ x . 7. dy dx = e 3x+2y . 8. 2y(x+1)dy = xdx. 9. dSdr = kS. Exercı´cio 3.2 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada. 1. { (e−y +1)sinxdx = (1+ cosx)dy y(0) = 0 2. { ydy = 4x(y2 +1)1/2dx y(0) = 1 3. dx dy = 4(x 2 +1) x (pi 4 ) = 1 4. { x2y′ = y− xy y(−1) = −1 19 3.4 APLICAC¸ ˜OES DE EDOS - QUADRATURA E SEPAR ´AVEL 3.4.1 Crescimento e Decrescimento O problema de valor inicial dx dt = kx x(t0) = x0 (3.4.7) em que k e´ uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias fı´sicas envolvendo crescimento ou decrescimento. Por exemplo, em biologia, e´ frequ¨entemente observado que a taxa de crescimento de certas bacte´rias e´ proporcional ao nu´mero de bacte´rias presente no dado instante. Durante um curto intervalo de tempo, a populac¸a˜o de pequenos animais, tais como roedores, pode ser prevista com alto grau de precisa˜o pela soluc¸a˜o para (3.4.7). Em fı´sica, um problema de valor inicial como (3.4.7) proporciona um modelo para o ca´lculo aproximado da quantidade remanescente de uma substaˆncia que esta´ sendo desintegrada atrave´s de radioati- vidade. A equac¸a˜o diferencial em (3.4.7) pode ainda determinar a temperatura de um corpo em resfriamento. Em quı´mica, a quantidade remanescente de uma substaˆncia durante certas reac¸o˜es tambe´m pode ser descrita por (3.4.7). Exemplo 3.7 Em uma cultura, ha´ inicialmente N0 bacte´rias. Uma hora depois, t = 1, o nu´mero de bacte´rias passa a ser 3 2 N0. Se a taxa de crescimento e´ proporcional ao nu´mero de bacte´rias presentes, determine o tempo necessa´rio para que o nu´mero de bacte´rias triplique. 3.4.2 Resfriamento A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variac¸a˜o de temperatura T (t) de um corpo em resfriamento e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Tm do meio ambiente, isto e´, dT/dt = k(T − Tm), em que k e´ uma constante de proporcionalidade. Exemplo 3.8 Quando um bolo e´ retirado do forno, sua temperatura e´ de 300◦F. Treˆs minutos depois, sua temperatura passa para 200◦F. Quanto tempo levara´ para sua temperatura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70◦F? 20 3.4.3 Problemas de Misturas Na mistura de dois fluı´dos, muitas vezes temos de lidar com equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem. No pro´ximo exemplo, consideramos a mistura de duas soluc¸o˜es salinas com diferentes concentrac¸o˜es. Exemplo 3.9 Inicialmente, 50 gramas de sal sa˜o dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de a´gua. Uma soluc¸a˜o salina e´ bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o drenada na mesma taxa. Se a concentrac¸a˜o da soluc¸a˜o que entra e´ 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantas gramas de sal esta˜o presentes apo´s 50 minutos? E depois de um longo tempo? 3.4.4 Circuitos em Se´rie Em um circuito em se´rie contendo somente um resistor e um indutor, a seguda lei de Kir- chhoff diz que a soma da queda de tensa˜o do indutor ( L ( di dt )) e da queda de tensa˜o do resistor (iR) e´ igual a` voltagem (E(t)) no circuito. Logo, obtemos a equac¸a˜o diferencial linear para a corrente i(t), L di dt +Ri = E(t) (3.4.8) em que L e R sa˜o constantes conhecidas como a indutaˆncia e a resisteˆncia, respectivamente. A corrente e´ algumas vezes chamada de resposta do sistema. A queda de potencial em um capacitor com capacitaˆncia C e´ dada por q(t)C , em que q e´ a carga no capacitor. Enta˜o, para o circuito em se´rie mencionado anteriormente, a segunda lei de kirchhoff nos da´ Ri+ 1 C q = E(t) (3.4.9) Mas a corrente i e a carga q esta˜o relacionadas por i = dqdt , logo, (3.4.9) torna-se a equac¸a˜o diferencial linear R dq dt + 1 C q = E(t) (3.4.10) Exemplo 3.10 Uma bateria de 12volts e´ conectada a um circuito em se´rie no qual a indutaˆncia e´ de 1/2henry e a resisteˆncia, 10ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial e´ zero. 21 3.5 MEIA-VIDA Em fı´sica, meia-vida e´ uma medida de estabilidade de uma substaˆncia radioativa. A meia- vida e´ simplesmente o tempo gasto para metade dos a´tomos de uma quantidade inicial A0 se desintegrar ou se transmutar em a´tomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substaˆncia, mais esta´vel ela e´. Por exemplo, a meia-vida do ultra-radioativo ra´dio, Ra−226, e´ cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada quantidade de Ra−226 e´ transmutada em radoˆnio, Rn− 222. O iso´topo de uraˆnio mais comum, U − 238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de U−238 e´ transmutada em chumbo, Pb−206. Exemplo 3.11 Um reator converte uraˆnio 238 em iso´topo de plutoˆnio 239. Apo´s 15 anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial A0 de plutoˆnio se desintegrou. Encontre a meia- vida desse iso´topo, se a taxa de desintegrac¸a˜o e´ proporcional a` quantidade remanescente.3.6 CRONOLOGIA DO CARBONO Por volta de 1950, o quı´mico Willard Libby inventou um me´todo para determinar a idade de fo´sseis usando o carbono radioativo. A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o iso´topo do carbono 14 e´ produzido na atmosfera pela ac¸a˜o de radiac¸o˜es co´smicas no nitrogeˆnio. A raza˜o entre a quantidade de C−14 para carbono ordina´rio na atmosfera parece ser uma constante e, como consequ¨eˆncia, a proporc¸a˜o da quantidade de iso´topo presente em todos os organismos vivos e´ a mesma proporc¸a˜o da quantidade na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorc¸a˜o de C− 14, atrave´s da respirac¸a˜o ou alimentac¸a˜o, cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C− 14 presente, digamos, em um fo´ssil com a raza˜o constante encontrada na atmosfera, e´ possı´vel obter uma razoa´vel estimativa da idade do fo´ssil. O me´todo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C− 14, cerca de 5.600 anos. Por esse trabalho, Libby ganhou o Preˆmion Nobel de quı´mica em 1960. O me´todo de Libby tem sido usado para datar mobı´lias de madeira nos tu´mulos egı´pcios e os pergaminhos do Mar Morto. Exemplo 3.12 Um osso fossilizado conte´m 1 1.000 da quantidade original do C−14. Determine a idade do fo´ssil. 22 3.7 LISTA DE EXERC´ICIOS Exercı´cio 3.3 Em uma refinaria de petro´leo, um tanque de estocagem conte´m 2.000 galo˜es de gasolina que, inicialmente, possui 100 libras de aditivo dissolvido nela. Durante a preparac¸a˜o para o inverno, gasolina contendo 2 lb de aditivo por gala˜o e´ bombeada para o reservato´rio a uma taxa de 40gal/min. A mistura homogeˆnea e´ bombeada para fora do tanque na mesma taxa, ou seja, 40gal/min. Quanto aditivo ha´ no tanque depois de 20 minutos do inı´cio do processo? Exercı´cio 3.4 O corpo de uma vı´tima de homicı´dio foi descoberto a`s 23 horas. O me´dico da polı´cia chegou a`s 23h30m e imediatamente tomou a temperatura do cada´ver, que era de 34,80. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,10. A temperatura do quarto era mantida constante a 200. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva e´ 36,50. Exercı´cio 3.5 Uma barra de metal com uma temperatura de 100◦F e´ colocada em um ambiente com temperatura constante de 0◦F. Se apo´s 20 minutos a temperatura da barra e´ de 50◦F, determinar o tempo (t) necessa´rio para que a barra atinja uma temperatura de 25◦F. Qual a temperatura que estara´ esta barra depois de decorridos 10 minutos? Exercı´cio 3.6 A populac¸a˜o de uma cidade cresce a uma taxa proporcional a` populac¸a˜o exis- tente no tempo t. A populac¸a˜o inicial de 500 aumenta 15 % em 10 anos. Qual sera´ a populac¸a˜o em t anos? Qual sera´ a populac¸a˜o em 30 anos? Exercı´cio 3.7 Um tanque grande e´ preenchido com 500 litros de a´gua pura, que inicialmente, possui 2 quilos de sal dissolvidos nele. Salmoura contendo 2 quilos de sal por litro e´ bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 l/min. A soluc¸a˜o bem misturada e´ bombeada para fora a` mesma taxa. Determine a quantidade A(t) de quilos de sal no tanque no instante de tempo t? Quanto quilos de sal ha´ no tanque depois de 20 minutos do inı´cio do processo? Exercı´cio 3.8 O suda´rio de Turim mostra a imagem em negativo do corpo de um homem cru- cificado, que muitos acreditam ser de Jesus de Nazare´. Em 1988, o Vaticano deu a permissa˜o para datar por carbono o suda´rio. Treˆs laborato´rios cientı´ficos e independentes analisaram o tecido e concluı´ram que o suda´rio tinha aproximadamente 660 anos, idade consistente com seu aparecimento histo´rico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade original de C−14 remanescente no tecido em 1988. 23 Exercı´cio 3.9 O iso´topo radioativo de chumbo, Pb−209, decresce a uma taxa proporcional a` quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida e´ 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo esta´ presente inicialmente, quanto tempo levara´ para 90% de chumpo desaparecer? Exercı´cio 3.10 Um termoˆmetro e´ removido de uma sala, em que a temperatura e´ de 70◦F, e colocado do lado de fora, em que a temperatura e´ de 10◦F. Apo´s 0,5 minuto, o termoˆmetro marcava 50◦F. Qual sera´ a temperatura marcada no termoˆmetro no instante t = 1 minuto? Quanto tempo levara´ para o termoˆmetro marcar 15◦F? Exercı´cio 3.11 Um tanque conte´m 200 litros de fluı´do no qual sa˜o dissolvidos 30g de sal. Uma soluc¸a˜o salina contendo 1g de sal por litro e´ enta˜o bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura e´ drenada a` mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal A(t) no tanque em qualquer instante. Exercı´cio 3.12 Uma cidade e´ abastecida por um lago cujo manancial e´ de 108 l e que e´ ali- mentada por um rio cuja vaza˜o e´ de 200 l/min. Algumas fabricas localizadas a` beira deste rio o poluem na ordem de 60g/l. A quantidade ma´xima de poluente admissı´vel, por decisa˜o das autoridades sanita´rias, e´ da ordem de 25g/l. O Prefeito municipal, muito preocupado com as constantes reclamac¸o˜es que colocam em perigo a eleic¸a˜o de seu candidato, pede ao enge- nheiro hidra´ulico, responsa´vel pelo abastecimento, que resolva o grave problema em um prazo ma´ximo de 4 meses(para na˜o ultrapassar o dia das eleic¸o˜es).O engenheiro resolve desviar o curso de outro rio (considerando que as condic¸o˜es topogra´ficas impec¸am que seja desviado o curso do rio poluı´do), cujas a´guas esta˜o com um grau de poluic¸a˜o de 10g/l, fazendo com que o mesmo alimente o lago com uma vaza˜o de 800 l/min. Desprezando-se a evaporac¸a˜o e outros fatores que viessem a alterar o volume do manancial (considerando-o, portanto, constante), pergunta-se: O candidato do Prefeito sera´ eleito? Figura 2: EDO de primeira ordem. 24 4 EDOS HOMOG ˆENEAS, EXATAS, LINEARES, BERNOULLI, RICATTI, CLAIRAUT, D’ALEMBERTDE Mudanc¸a de Varia´veis Como uma equac¸a˜o diferencial cujas varia´veis sa˜o separa´veis e´ fa´cil de resolver, surge enta˜o a seguinte pergunta: “Existem outros tipos de equac¸o˜es diferenciais cujas varia´veis na˜o sa˜o separa´veis mas que podem ser transformadas em equac¸o˜es cujas varia´veis sa˜o separa´veis?” A resposta, a esta pergunta e´ “sim”. De fato, uma das maneiras mais importantes de resolver uma equac¸a˜o diferencial dada e´ fazer uma mudanc¸a de varia´vel conveniente, que reduza a equac¸a˜o num tipo que possamos resolver. ´E uma situac¸a˜o semelhante a que usamos em ca´lculo I para resolver integrais por meio de uma mudanc¸a de varia´veis. Em alguns casos a mudanc¸a de varia´veis a ser usada e´ sugerida pela forma da equac¸a˜o. Em outros casos a transformac¸a˜o na˜o e´ ta˜o o´bvia. 4.1 EQUAC¸ ˜OES HOMOG ˆENEAS Antes de considerar o conceito de equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de primeira ordem e seu me´todo de soluc¸a˜o, precisamos primeiro examinar a natureza de uma func¸a˜o homogeˆnea. Comec¸amos com a definic¸a˜o deste conceito. Definic¸a˜o 4.1 (Func¸a˜o Homogeˆnea) Se uma func¸a˜o f satisfaz f (tx, ty) = tn f (x,y) (4.1.1) para algum nu´mero real n, enta˜o dizemos que f e´ uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n. Exemplo 4.1 Dadas as func¸o˜es abaixo vamos determinar se elas sa˜o homogeˆneas e especificar o grau de homogeneidade, quando for o caso. 1. f (x,y) = x2−3xy+5y2 25 2. f (x,y) = 3 √ x2 + y2 3. f (x,y) = x3 + y3 +1 4. f (x,y) = x 2y +4 Seja f (x,y) uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n, ou seja, f (tx, ty) = tn f (x,y) , podemos escrever f (x,y) = ( 1 t )n f (tx, ty) . (4.1.2) Fazendo tx = 1 temos x = 1 t e t = 1 x . De (4.1.2), obtemos: f (x,y) = xn f ( 1, y x ) . (4.1.3) Fazendo ty = 1 temos y = 1 t e t = 1 y . Substituindo em (4.1.2), obtemos: f (x,y) = yn f ( x y ,1 ) . (4.1.4) ´E importante observar que f ( 1, y x ) e f ( x y ,1 ) sa˜o ambas homogeˆneas de grau zero. Uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de primeira ordem e´ definida em termos das func¸o˜es homogeˆneas. Definic¸a˜o 4.2 (Equac¸a˜o Homogeˆnea) Uma equac¸a˜o diferencial da formaM(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 e´ chamada de homogeˆnea se ambos os coeficientes M e N sa˜o func¸o˜es homogeˆneas do mesmo grau. Em outras palavras, M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 e´ homogeˆnea se M(tx, ty) = tnM(x,y) e N(tx, ty) = tnN(x,y) 26 ou ainda, M(x,y) = xnM ( 1, y x ) e M(x,y) = ynM ( x y ,1 ) e N(x,y) = xnN ( 1, y x ) e N(x,y) = ynN ( x y ,1 ) 4.1.1 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe A Uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea pode sempre ser expressa na forma alternativa dy dx = f (y x ) ou dy dx = g ( x y ) . Para ver isso, consideramos a equac¸a˜o homogeˆnea M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 e escrevemos na forma, dydx = f (x,y), onde f (x,y) =−M(x,y) N(x,y) . Sabendo que M e N sa˜o homogeˆneas de grau n, observamos que f (x,y) deve ser necessari- amente homogeˆnea de grau zero e f (x,y) =−x nM(1, y x ) xnN(1, y x ) =−M(1, y x ) N(1, y x ) . A u´ltima raza˜o e´ uma func¸a˜o da forma f (y x ) . Analogamente, f (x,y) =− ynM(xy ,1) ynN(xy ,1) =− M(xy ,1) N(xy ,1) . A u´ltima raza˜o e´ uma func¸a˜o da forma g ( x y ) . Definic¸a˜o 4.3 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe A) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea de classe A e´ dada por dy dx = f (y x ) (4.1.5) ou dy dx = g ( x y ) (4.1.6) 27 onde f (y x ) e g ( x y ) sa˜o func¸o˜es arbitra´rias. Me´todo de soluc¸a˜o: O me´todo consiste em transformar a EDO homogeˆnea de Classe A, em uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis com a substituic¸a˜o y(x) x = u(x) , ou de uma forma mais simples y x = u , onde u = u(x) e´ uma nova func¸a˜o inco´gnita. Dada a equac¸a˜o homogeˆnea M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0, podemos escreveˆ-la na forma dy dx = f (y x ) . Fazendo y x = u, temos y = ux ⇒ dydx = u+ x du dx podemos enta˜o separar as varia´veis u+ x du dx = f (u) ou ainda, x du dx = f (u)−u. (4.1.7) onde temos dois casos, a considerar: Caso 1: f (u)−u 6= 0; Se f (u)−u 6= 0 podemos escrever (4.1.7) da seguinte forma 1 f (u)−udu = dx x , . Integrando, ambos os membros, obtemos∫ 1 f (u)−udu = ∫ dx x ou ainda, ∫ du f (u)−u = lnx+ c ⇒ lnx− lnc = ∫ 1 f (u)−udu ⇒ ln x c = ∫ 1 f (u)−udu ⇒ x c = e ∫ 1 f (u)−u du 28 isolando x, x = ce ∫ 1 f (u)−u du. Fazendo φ(u) = ∫ 1 f (u)−udu obtemos x = ceφ(u). Como y x = u ⇒ y = ux ⇒ y = cueφ(u) Portanto, obtemos { x = ceφ(u) y = cueφ(u) (4.1.8) que sa˜o as curvas de equac¸o˜es parame´tricas que sa˜o as soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de Classe A para cada c ∈ IR. Caso 2: f (u)−u = 0. Suponhamos que existe algum u0 tal que f (u0) = u0. Neste caso, e´ imediato comprovar que a reta y = u0x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (4.1.5), pois: dy dx = u0.1 = u0 = f (u0) = f (y x ) . A reta y = u0x e´ a soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o (4.1.5). Apresentaremos agora um exemplo de EDO homogeˆnea de Classe A. Exemplo 4.2 Resolva a equac¸a˜o homogeˆnea de classe A dy dx = 2xy− y2 x2 . 4.1.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe C. Definiremos a seguir uma Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe C. Definic¸a˜o 4.4 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe C) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea de classe C e´ dada por dy dx = f ( ax+by+ c rx+ sy+ t ) 29 onde f e´ uma func¸a˜o arbitra´ria e a, b, c, r, s e t sa˜o constantes. Me´todo de Soluc¸a˜o: Consideremos a equac¸a˜o da forma dy dx = f ( ax+by+ c rx+ sy+ t ) onde a, b, c, r, s e t sa˜o constantes. Para esse tipo de equac¸a˜o temos dois casos a considerar: Caso 1: O ∣∣∣∣∣ a br s ∣∣∣∣∣ e´ diferente de zero. Suponhamos em primeiro lugar que o ∣∣∣∣∣ a br s ∣∣∣∣∣ 6= 0, ou seja, que as retas ax+by+c = 0 e rx+ sy+ t = 0 se interceptam em um ponto (α;β ), ou ainda, ao considerarmos o sistema { ax+by+ c = 0 rx+ sy+ t = 0 (4.1.9) temos como soluc¸a˜o x = α e y = β . Fazendo { x = u+α y = v+β (4.1.10) e substituindo no sistema (4.1.9), temos dv du = f ( a(u+α)+b(v+β )+ c r(u+α)+ s(v+β )+ t ) que pode ser escrita como dv du = f ( au+bv+aα +bβ + c ru+ sv+ rα + sβ + t ) . Como (α,β ) e´ soluc¸a˜o do sistema, temos dv du = f ( au+bv ru+ sv ) . Obtemos assim uma equac¸a˜o homogeˆnea de classe A, dv du = f ( a+b ( v u ) r+ s ( v u ) ) , 30 para resolvermos essa equac¸a˜o basta observamos (4.1.6). Observamos que, geometri- camente, equivale a uma translac¸a˜o dos eixos coordenados para o ponto (α,β ) que e´ a intersec¸a˜o das retas componentes do sistema, o que e´ verdadeiro, uma vez que o determi- nante considerado e diferente de zero. Caso 2: O ∣∣∣∣∣ a br s ∣∣∣∣∣ e´ igual a zero. Suponhamos agora, que o ∣∣∣∣∣ a br s ∣∣∣∣∣= 0, ou seja, que as retas ax+by+c= 0 e rx+sy+t = 0 sejam paralelas distintas, ou seja, a soluc¸a˜o do sistema e´ vazia. Isto implica que o me´todo aplicado no primeiro caso na˜o faz sentido. Como ∣∣∣∣∣ a br s ∣∣∣∣∣= 0 , os coeficentes de x e y sa˜o proporcionais, de modo que se podemos escrever as = rb, ou ainda, s b = r a . (4.1.11) Chamando a relac¸a˜o de m, temos: s b = r a = m 6= t c (4.1.12) logo s b = m ⇒ s = bm e r a = m ⇒ r = am. Como dy dx = f ( ax+by+ c rx+ sy+ t ) e substituindo as relac¸o˜es anteriores nesse sistema, obtemos dy dx = f ( ax+by+ c m(ax+by)+ t ) (4.1.13) Fazendo ax+by = z, e sendo z = g(x), temos y = 1 b(z−ax). (4.1.14) Derivando (4.1.14) em relac¸a˜o a x, obtemos dy dx = 1 b ( dz dx −a ) (4.1.15) 31 Substituindo as equac¸o˜es (4.1.14) e (4.1.15) na equac¸a˜o (4.1.13), temos: 1 b ( dz dx −a ) = f ( z+ c mz+ t ) o que implica em dz dx = a+b f ( z+ c mz+ t ) que e´ uma EDO de varia´veis separa´veis. Para resolvermos esta equac¸a˜o basta observar (3.3.4). Apresentamos a seguir um exemplo de uma EDO homogeˆnea de classe C. Exemplo 4.3 Resolva as equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas de classe C. 1. dy dx = 2x−3y−1 3x+ y−2 ; 2. dy dx = x− y−1 x− y−2 . Exercı´cio 4.1 Resolva as equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas de classe C. 1. dy dx = 2x−3y 3x− y−1 ; 2. dy dx = x+2y−4 2x+1y−5 . 3. dydx = 2x− y+1 6x−3y−1 ; 4. dy dx = −2x−3y+1 2x+3y+2 . 4.2 EQUAC¸ ˜OES EXATAS Embora a EDO seja ydx+ xdy = 0 seja Separa´vel e Homogeˆnea, podemos ver que ela e´ tambe´m equivalente a` diferencial do pro- duto de x e y, isto e´ d(xy) = ydx+ xdy = 0. Por integrac¸a˜o, obtemos imediatamente a soluc¸a˜o xy = c. 32 Voceˆ deve se lembrar do ca´lculo que, se z = f (x,y) e´ uma func¸a˜o com derivadas parciais contı´nuas em uma regia˜o R do plano xy, enta˜o sua diferencial total e´ dz = ∂ f∂x dx+ ∂ f ∂y dy. Agora, se f (x,y) = c, segue-se que ∂ f ∂x dx+ ∂ f ∂y dy = 0 Em outras palavras, dada uma famı´lia de curvas f (x,y) = c, podemos gerar uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total. Exemplo 4.4 Dada f (x,y) = x2−5xy+ y3 = c encontraremos dydx. Para isso, basta calcular a diferencial total. Para nossos propo´sitos, e´ mais importante inverter o problema, isto e´, dada uma equac¸a˜o como dy dx = 5y−2x −5x+3y2 , (4.2.16) queremos encontrar uma func¸a˜o, neste caso f (x,y) = x2−5xy+ y3, onde d(x2−5xy+ y3) = 0. Observac¸a˜o 4.1 Note que a equac¸a˜o (4.2.16) na˜o e´ separa´vel nem homogeˆnea. Definic¸a˜o 4.5 (Equac¸a˜o Exata) Uma expressa˜o diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy e´ uma diferencial exata em uma regia˜o R do plano xy se ela corresponde a` diferencial total de algum func¸a˜o f (x,y). Uma equac¸a˜o diferencial da forma M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 e´ chamada de uma equac¸a˜o exata se a expressa˜o do lado esquerdo e´ uma diferencial exata. Exemplo 4.5 Dada a func¸a˜o f (x,y) = x3y3 = c, observe que, a equac¸a˜o x2y3dx+ x3y2dy = 0 e´ exata. O teorema a seguir e´ um teste para uma diferencial exata. 33 Teorema 4.1 (Crite´rio para uma Diferencial Exa ta) Sejam M(x,y) e N(x,y) func¸o˜es contı´nuas com derivadas parciais contı´nuas em uma regia˜o retangular R definida por a< x< b, c< y< d. Enta˜o, uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 seja uma diferencial exata e´ ∂M ∂y = ∂N ∂x Prova de que a Condic¸a˜o e´ necessa´ria: Para simplificar, suponha que M(x,y) e N(x,y) tenham derivadas parciais de primeira ordem contı´nuas em todo plano(x,y). Agora, se a expressa˜o M(x,y)dx+N(x,y)dy e´ exata, existe algum func¸a˜o f tal que M(x,y)dx+N(x,y)dy = ∂ f∂x dx+ ∂ f ∂y dy para todo (x,y) em R. Logo, M(x,y) = ∂ f ∂x , N(x,y) = ∂ f ∂y , e ∂M ∂y = ∂ ∂y (∂ f ∂x ) = ∂ 2 f ∂y∂x = ∂ ∂x (∂ f ∂y ) = ∂N ∂x . A igualdade das derivadas parciais mistas e´ uma consequeˆncia da continuidade das derivadas parciais de primeira ordem de M(x,y) e N(x,y). A prova de que a condic¸a˜o do teorema (4.1) e´ suficiente consiste em mostrar que existe uma func¸a˜o f tal que ∂ f∂x = M(x,y) e ∂ f ∂y = N(x,y). A construc¸a˜o de tal func¸a˜o na verdade reflete um procedimento ba´sica na resoluc¸a˜o para equac¸o˜es exatas. Me´todo de Soluc¸a˜o: Dada a equac¸a˜o M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 mostre primeiro que ∂M ∂y = ∂N ∂x . Depois suponha que ∂ f ∂x = M(x,y), daı´ podemos encontrar f integrando M(x,y) com relac¸a˜o a x, considerando y constante. Escre- 34 vemos, f (x,y) = ∫ M(x,y)dx+g(y), (4.2.17) em que a func¸a˜o arbitra´ria g(y) e´ a constante de integrac¸a˜o. Agora, derivando (4.2.17) com relac¸a˜o a y e supondo ∂ f∂y = N(x,y): ∂ f ∂y = ∂ ∂y ∫ M(x,y)dx+g′(y) = N(x,y). Assim g′(y) = N(x,y)− ∂∂y ∫ M(x,y)dx (4.2.18) Finalmente, integre (4.2.18) com relac¸a˜o a y e substitua o resultado em (4.2.17). A soluc¸a˜o para a equac¸a˜o e´ f (x,y) = c. Exemplo 4.6 Resolva a EDO (1−2x2−2y)dydx = 4x 3 +4xy. Algumas vezes, e´ possı´vel convertermos uma equac¸a˜o diferencial na˜o exata em uma equac¸a˜o exata multiplicando-a por uma func¸a˜o µ(x,y) chamada “fator de integrac¸a˜o”. Definic¸a˜o 4.6 (Fator de Integrac¸a˜o) Se M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 e´ multiplicada por µ(x,y) para obter µ(x,y)M(x,y)dx+µ(x,y)N(x,y)dy = 0 cujo membro esquerdo e´ uma diferencial exata, dizemos que obtivemos uma equac¸a˜o diferencial exata. A func¸a˜o de multiplicac¸a˜o µ e´ chamada fator de integrac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0. Dada a equac¸a˜o na˜o exata M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (4.2.19) queremos determinar um fator de integrac¸a˜o µ , onde supomos que µ depende apenas de uma varia´vel. Temos dois casos, a considerar: 35 1. µ = µ(x) Como µ e´ um fator de integrac¸a˜o para (4.2.19), ao multiplicarmos por µ , obtemos uma equac¸a˜o exata da forma µ(x)M(x,y)dx+µ(x)N(x,y)dy = 0 assim ∂ (µM) ∂y = ∂ (µN) ∂x , daı´ µMy = µxN +µNx ⇒ µMy−µNx = µxN ⇒ (My−Nx)µ = µxN ⇒ µxµ = My−Nx N , N 6= 0. ⇒ ∫ µx µ dx = ∫ My−Nx N dx ⇒ ln µ = ∫ My−Nx N dx. Obtemos o fator de integrac¸a˜o µ , que e´ dado por µ(x) = e ∫ My−Nx N dx , N 6= 0. (4.2.20) 2. µ = µ(y) Raciocinando de forma ana´loga ao item anterior obtemos, µ(y) = e ∫ Nx−My M dy , M 6= 0. Para melhor entendimento, apresentaremos os exemplos a seguir. Exemplo 4.7 Dada a EDO (x+ y)dx+ x lnxdy = 0, encontraremos a sua soluc¸a˜o. Exemplo 4.8 Resolva x2y3dx+ x3y2dy = 0. Exercı´cio 4.2 Resolva (5y−2x)dx+(5x−3y2)dy = 0. Exercı´cio 4.3 1. Resolva 2xydx+(x2−1)dy = 0. 36 2. Resolva o problema de valor inicial (PVI).{ (cosxsinx− xy2)dx+ y(1− x2)dy = 0 y(0) = 2 3. Resolva (e2y− ycosxy)dx+(2xe2y− xcosxy+2y)dy = 0. 4.3 EQUAC¸ ˜OES LINEARES No capı´tulo (2) sec¸a˜o (2.1.3), definimos a forma geral para uma equac¸a˜o diferencial de ordem n, como an dny dxn +an−1(x) dn−1y dxn−1 + · · ·+a1(x) dy dx +a0(x)y = g(x) Lembre-se de que linearidade em y significa que todos os coeficientes sa˜o func¸o˜es de x somente e que y e todas as suas derivadas sa˜o elevadas a` primeira poteˆncia. Agora, quando n = 1, obtemos uma “EDO linear de Primeira Ordem”, a1(x) dy dx +a0(x)y = g(x). Dividindo pelo coeficiente a1(x), temos dy dx +P(x)y = f (x) (4.3.21) onde P(x) = a0(x) a1(x) e f (x) = g(x) a1(x) . Definic¸a˜o 4.7 (Equac¸a˜o Linear) Uma equac¸a˜o diferencial da forma dy dx +P(x)y = f (x) (4.3.22) e´ chamada de equac¸a˜o linear. Me´todo de Soluc¸a˜o: Usando diferenciais, podemos escreveˆ-la, como dy+[P(x)y− f (x)]dx = 0. (4.3.23) Equac¸o˜es lineares possuem a agrada´vel propriedade atrave´s da qual podemos sempre en- contrar uma func¸a˜o µ(x) em que µ(x)dy+µ(x)[P(x)y− f (x)]dx = 0, (4.3.24) 37 e´ uma equac¸a˜o diferencial exata. Logo ∂ ∂x(µ(x)) = ∂ ∂y [µ(x)(P(x)y− f (x))] (4.3.25) enta˜o dµ dx = µ(x)P(x). Esta e´ uma equac¸a˜o separa´vel em que podemos determinar µ(x). Sendo µ(x) 6= 0, temos dµ µ(x) = P(x)dx. (4.3.26) Enta˜o ln µ = ∫ P(x)dx (4.3.27) assim µ(x) = e ∫ P(x)dx (4.3.28) A func¸a˜o µ(x) definida em (4.3.28) e´ um fator de integrac¸a˜o para a equac¸a˜o linear (4.3.22). Note que na˜o precisamos usar uma constante de integrac¸a˜o em (4.3.27), pois (4.3.25) na˜o se altera se multiplicarmos por uma constante. Observe que µ(x) 6= 0 para todo x em I. Multiplicando a equac¸a˜o (4.3.22) por (4.3.28), obtemos e ∫ P(x)dx [ dy dx +P(x)y ] = e ∫ P(x)dx f (x), (4.3.29) daı´ d dx [ e ∫ P(x)dxy ] = e ∫ P(x)dx f (x). (4.3.30) Integrando esta equac¸a˜o, obtemos y = e− ∫ P(x)dx ∫ e ∫ P(x)dx f (x)dx+ ce− ∫ P(x)dx. (4.3.31) Em outras palavras, se (4.3.22) tiver uma soluc¸a˜o, ela devera´ ser da forma (4.3.31). Reci- procamente, e´ imediato que (4.3.31) constitui uma famı´lia a um paraˆmetro de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o (4.3.22). Observac¸a˜o 4.2 Uma equac¸a˜o diferencial da forma dy dx +P(x)y = f (x) (4.3.32) 38 e´ chamada de equac¸a˜o linear. a) Se P(x) = 0 temos, em particular, uma EDO Quadratura. Veja (3.1.5); b) Se f (x) = 0 temos, em particular, uma EDO separa´vel. Veja (3.3.4); b) Se f e P forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.5); Exemplo 4.9 Dada a equac¸a˜o diferencial dy dx − 4 x y = x5ex (4.3.33) vamos obter sua soluc¸a˜o. Soluc¸a˜o Geral - Por hipo´tese P(x) e f (x) sa˜o contı´nuas em um intervalo I e x0 e´ um ponto desse intervalo. Enta˜o, segue-se do Teorema 3.1 que existe uma u´nica soluc¸a˜o para o problema de valor inicial dy dx +P(x)y = f (x) y(x0) = y0 (4.3.34) Mas vimos antes que (4.3.22) possui uma famı´lia de soluc¸o˜es e que toda soluc¸a˜o para a equac¸a˜o no intervalo I tem a forma (4.3.31). Logo, obter a soluc¸a˜o para (4.3.34) e´ uma simples questa˜o de encontrar um valor apropriado de c em (4.3.31). Consequentemente estamos certos em chamar (4.3.31) de soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial. Voceˆ deve se lembrar de que em va´rias ocasio˜es encontramos soluc¸o˜es singulares para equac¸o˜es na˜o lineares. Isso na˜o pode acontecer no caso de uma equac¸a˜o linear em que P(x) e f (x) sa˜o contı´nuas. Exemplo 4.10 Resolva o problema de valor inicial (P.V.I) dy dx +2xy = x y(0) = −3 (4.3.35) Exercı´cio 4.4 1. Encontre a soluc¸a˜o geral para (x2 +9)dydx + xy = 0 2. Resolva o problema de valor inicial (P.V.I) x dy dx + y = 2x y(1) = 0 (4.3.36) 39 3. Resolva o problema de valor inicial (P.V.I) dy dx = 1 x+ y2 y(−2) = 0 (4.3.37) 4. Encontre uma soluc¸a˜o contı´nua satisfazendo dy dx + y = f (x) y(0) = 0 (4.3.38) em que f (x) = { 1 se 0 ≤ x ≤ 1 0 se x > 1 4.4 EQUAC¸ ˜AO DE BERNOULLI Definic¸a˜o 4.8 (Equac¸a˜o de Bernoulli) A equac¸a˜o diferencial dy dx +P(x)y(x) = f (x)y(x) n (4.4.39) em que n e´ um nu´mero real qualquer, e´ chamada de equac¸a˜o de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1, a equac¸a˜o (4.4.39) e´ linear em y. Me´todo de Soluc¸a˜o: Se y 6= 0, a equac¸a˜o (4.4.39) pode ser escrita como y−n dy dx +P(x)y −n · y = f (x) . Enta˜o y−n dy dx +P(x)y 1−n = f (x) . (4.4.40) Se fizermos w = y1−n, com n 6= 0 e n 6= 1, temos dw dx = (1−n)y −n dy dx Com esta substituic¸a˜o, a equac¸a˜o (4.4.40) transforma-se na equac¸a˜o dw dx +(1−n)P(x)w = (1−n) f (x) , (4.4.41) que e´ uma EDO linear. Resolvendo (4.4.41) e depois substituindo y1−n = w, obtemos a soluc¸a˜o de (4.4.39). 40 Observac¸a˜o 4.3 A equac¸a˜o diferencial dy dx +P(x)y(x) = f (x)y(x) n (4.4.42) em que n e´ um nu´mero real qualquer, e´ chamada de equac¸a˜o de Bernoulli (MURPHY, 1960). a) Se n = 0 ou n = 1 temos, em particular, uma EDO Linear de Primeira Ordem. Veja (4.3.23); b) Se P(x) = 0 ou f (x) = 0 temos, em particular, uma EDO separa´vel. Veja (3.3.4); b) Se f e P forem constantes, temos uma EDO Quadratura.Veja (3.1.5); Exemplo 4.11 Vamos aplicar o me´todo de soluc¸a˜o para resolver a equac¸a˜o de Bernoulli dy dx + 1 x y = xy2. (4.4.43) 4.5 EQUAC¸ ˜AO DE RICATTI Definic¸a˜o 4.9 (Equac¸a˜o De Ricatti) A equac¸a˜o diferencial na˜o linear dy dx = P(x)+Q(x)y+R(x)y 2 (4.5.44) e´ chamada de equac¸a˜o de Ricatti. Me´todo de Soluc¸a˜o: Se y1 e´ uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o (4.5.44), enta˜o as substituic¸o˜es y = y1 +u e dy dx = dy1 dx + du dx na equac¸a˜o (4.5.44) produzem a seguinte equac¸a˜o diferencial na varia´vel u: du dx − (Q+2y1R)u = Ru 2 (4.5.45) Como (4.5.45) e´ uma equac¸a˜o de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, pode ser reduzida a` Equac¸a˜o Linear dw dx +(Q+2y1R)w = −R (4.5.46) atrave´s da substituic¸a˜o w = u−1. Ao encontrarmos, u na equac¸a˜o (4.5.46), basta substituirmos na relac¸a˜o y = y1 +u 41 e teremos a soluc¸a˜o da EDO. Observac¸a˜o 4.4 A equac¸a˜o diferencial na˜o linear dy dx = P(x)+Q(x)y+R(x)y 2 (4.5.47) a) Se P(x) = 0 a equac¸a˜o (4.5.47) passa a ser uma EDO de Bernoulli; b) Se R(x) = 0 a equac¸a˜o (4.5.47) passa a ser EDO Linear de Primeira Ordem; c) Se P, Q e R forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.5); Exemplo 4.12 Dada a EDO dy dx = 2−2xy+ y 2 , (4.5.48) encontre sua soluc¸a˜o. 4.6 EQUAC¸ ˜AO DE CLAIRAUT Definic¸a˜o 4.10 (Equac¸a˜o De Clairaut) Toda equac¸a˜o diferencial de 1a ordem da forma y = x dy dx +g ( dy dx ) (4.6.49) e´ chamada de Equac¸a˜o de Clairaut onde g e´ uma func¸a˜o diferencia´vel. Me´todo de Soluc¸a˜o: Para resolver a equac¸a˜o (4.6.49) fazemos a mudanc¸a de varia´vel dy dx = p. Assim, a equac¸a˜o (4.6.49) passa a ser y = xp+g(p) . (4.6.50) Derivando (4.6.50) com relac¸a˜o a x, obtemos dy dx = p+ xp ′+g′(p).p′ p = p+ xp′+g′(p).p′ (x+g′(p))p′ = 0 enta˜o p′ = 0 ou x+g′(p) = 0 42 Caso 1: Soluc¸a˜o geral Se p′ = 0 enta˜o p = c. Devido ao fato de dydx = p temos dy dx = c. Portanto a soluc¸a˜o geral e´ y = cx+g(c). Concluı´mos que y = cx+g(c) e´ uma famı´lia de retas em que c e´ uma constante arbitra´ria. Caso 2: Soluc¸a˜o singular Se x+g′(p) = 0 podemos obter outra soluc¸a˜o da equac¸a˜o (4.6.50) eliminando p entre as equac¸o˜es { x+g′(p) = 0 y = xp+g(p) Esta soluc¸a˜o e´ conhecida como soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o de Clairaut a qual conduz sempre a uma envolto´ria da famı´lia de retas definida pela soluc¸a˜o geral. Observac¸a˜o 4.5 Envolto´ria e´ uma curva que e´ tangente a todas as curvas da famı´lia de curvas. Exemplo 4.13 Resolveremos a EDO y = x dy dx + 1 2 ( dy dx )2 (4.6.51) como exemplo de uma EDO de Clairaut. 4.7 EQUAC¸ ˜AO DE D’ALEMBERT Definic¸a˜o 4.11 (Equac¸a˜o de D’Alembert) A forma geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria de d’Alembert e´ dada por: y = x f ( dy dx ) +g ( dy dx ) onde f e g sa˜o func¸o˜es arbitra´rias. Esta EDO e´ uma generalizac¸a˜o da E.D.O. de Clairaut. Me´todo de Soluc¸a˜o: Fazendo dy dx = p temos y = x f (p)+g(p) . Daı´ dy dx = 1 f (p)+ x f ′ (p) d p dx +g ′ (p) d p dx 43 logo, p = f (p)+ x f ′ (p) d pdx +g ′ (p) d p dx , ou ainda, (x f ′ (p)+g′ (p))d pdx = p− f (p) Caso 1: p− f (p) 6= 0; Se p− f (p) 6= 0, temos: ( x f ′ (p) p− f (p) + g′ (p) p− f (p) ) d p dx = 1 ou ainda x f ′ (p) p− f (p) + g′ (p) p− f (p) = dx d p ou seja, dx d p − f ′ (p) p− f (p)x = g′ (p) p− f (p) que e´ uma equac¸a˜o linear em x. Caso 2: p− f (p) = 0. Se existe algum p0 tal que p0− f (p0) = 0, temos que, y = p0x+g(p0) e´ soluc¸a˜o singular da EDO. De fato, dada a equac¸a˜o, y = x f ( dy dx ) +g ( dy dx ) e y = p0x+g(p0) temos dy dx = p0 e y = x f (p0)+g(p0) p0x+g(p0) = x f (p0)+g(p0) p0x = x f (p0) p0x− x f (p0) = 0 (p0− f (p0))x = 0 0 = 0 44 Exemplo 4.14 Resolva a equac¸a˜o de D’Alembert y = x ( y′+ 1 y′ ) +(y′)4 . (4.7.52) Exercı´cio 4.5 Resolva a equac¸a˜o de Bernoulli dada. 1. x dy dx + y = 1 y2 ; 2. dy dx = y(xy 3−1); 3. x2 dydx + y 2 = xy Exercı´cio 4.6 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada. 1. x2 dy dx −2xy = 3y 4 y(1) = 1 2 2. xy(1+ xy 2) dy dx = 1 y(1) = 0 Exercı´cio 4.7 Resolva a equac¸a˜o de Ricatti dada: y1 e´ uma soluc¸a˜o conhecida para a equac¸a˜o. 1. dy dx = −2− y+ y 2 y1 = 2 2. dy dx = − 4 x2 − 1 x y+ y2 y1 = 2 x Exercı´cio 4.8 Resolva a equac¸a˜o de Clairaut dada. Obtenha uma soluc¸a˜o singular. 1. y = xy′+1− lny′; 2. y = x dy dx − ( dy dx )3 . Exercı´cio 4.9 Resolva as Equac¸o˜es Diferenciais de D’Alembert. 1. y = 2x ( dy dx ) − x ( dy dx )2 45 2. y = 2x dy dx + 1 dy dx 3. y = xdxdy − dy dx 4. y = ( 1+ dy dx ) x+ ( dy dx )2 5. y =−1 2 ( dy dx )( 2x+ dy dx ) ; 6. y = 2x ( dy dx ) + ( dy dx )2 ; 7. y = y ( dy dx )2 +2x ( dy dx ) . 4.8 APLICAC¸ ˜OES DE EQUAC¸ ˜OES N ˜AO LINEARES A mais simples ideia, idealizada por Thomas Malthus, conhecida como Crescimento Expo- nencial, diz que, assumindo-se y = φ(x) como a populac¸a˜o de uma dada espe´cie no tempo x, a taxa de variac¸a˜o de y e´ proporcional ao valor corrente desta mesma populac¸a˜o, ou seja, dy dx = ry, (4.8.53) onde a constante de proporcionalidade r e´ chamada de taxa de crescimento ou declı´nio, depen- dendo de seu sinal. Quando r > 0, a soluc¸a˜o deste modelo prediz que a populac¸a˜o crescera´ exponencialmente por todo o tempo. Em condic¸o˜es ideais, este crescimento pode ser obser- vado em muitas populac¸o˜es, no entanto, em condic¸o˜es na˜o ideais, a possı´vel falta de comida, suprimentos ou outros recursos podem reduzir a taxa de crescimento e dar fim ao crescimento exponencial. Nesse contexto, P. F. Verhulst, lapidou a ideia e formulou um modelo mais pro´ximo da realidade, o Crescimento Logı´stico. Tal modelo considera que a taxa de crescimento depende da populac¸a˜o atual, mas substitui a constante r na Eq.(4.8.53) por uma func¸a˜o h(y), obtendo uma equac¸a˜o modificada de forma que h(y) ≈ r quando o valor de y e´ pequeno, h(y) decresce com o crescimento de y, e h(y)< 0 quando y e´ suficientemente grande. A mais simples func¸a˜o tendo estas propriedades e´ h(y) = r−ay, com r > 0 e a > 0, obte´m-se enta˜o dy dx = (r−ay)y. (4.8.54) 46 A Eq.(4.8.54) e´ conhecida como Equac¸a˜o de Verhulst ou Equac¸a˜o Diferencial Logı´stica e e´ conveniente escreve-la em sua forma equivalente dy dx = r ( 1− y K ) y, (4.8.55) onde K = r/a. A constante r e´ chamada de Taxa de Crescimento Intrı´nseca, isto e´, a taxa de crescimento na auseˆncia de qualquer fator limitante e K, conhecido como Nı´vel de Saturac¸a˜o, ou a Capacidade de Suporte Ambiental, e´ o limite superior, abordado, mas nunca ultrapassado pelo crescimento populacional iniciado abaixo dele, conforme pode ser visto na Figura (3) obtida com o auxı´lio do Maple. Ale´m disso, tem como soluc¸o˜es constantes y = φ1(x) = 0 e y = φ2(x) = K. Estas soluc¸o˜es sa˜o chamadas Soluc¸o˜es de Equilı´brio da Eq.(4.8.55) pois elas na˜o correspondem a qualquer mudanc¸a ou variac¸a˜o em y com o aumento de x . Figura 3: Visualizac¸a˜o gra´fica via Maple. Exemplo 4.15 Suponha que um estudante infectado com um vı´rus da gripe retorne a uma fa- culdade isolada no campus onde se encontram 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vı´rus se espalha e´ proporcional na˜o somente a` quantidade y de alunos infectados, mas tambe´m a` quantidade de alunos na˜o infectados, determine o nu´mero de alunos infectados apo´s 6 dias se ainda e´ observado que depois de 4 dias existem 50 alunos infectados. Exercı´cio 4.10 O nu´mero de supermercados C(t) no paı´s que esta˜o usando um sistema com- 47 putadorizado e´ descrito pelo problema de valor inicial dC dt = C(1−0,0005C) C(0) = 1 em que t > 0. Quantos supermercados estara˜o usando sistemas computadorizados quando t = 10? Quantos companhias estara˜o adotando esse novo procedimento depois de um longo perı´odo de tempo? Exercı´cio 4.11 O nu´mero de pessoas N(t) em uma comunidade que sa˜o expostas a um anu´ncio em particular e´ dado pela equac¸a˜o logı´stica. Inicialmente N(0) = 500, e e´ observado que N(1)= 1000. Esta´ previsto que o nu´mero ma´ximo de pessoas na comunidade que vera˜o o anu´ncio sera´ de 50.000. Determine N(t) em qualquer tempo. Exercı´cio 4.12 A populac¸a˜o P(t) de uma grande cidade e´ descrita pelo problema de valor inicial dP dt = P(10 −1−10−7P) P(0) = 5000 em que t e´ medido em meses. Qual e´ o valor limite da populac¸a˜o? Quando a populac¸a˜o sera´ igual a metade desse valor limite? Exercı´cio 4.13 Um grande tanque esta´ com 100 litros de um fluido no qual foram dissolvidos 10 gramas de sal. Uma salmoura contendo 1 2 grama de sal por litro e´ bombeado para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto (6 l/min). A soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o bombeada para fora a uma taxa de 4 l/min. 1. Ache a quantidade de gramas de sal no tanque apo´s 30 minutos; 2. O tamanho do tanque contendo a mistura de sal na˜o foi dado. ´E claro que, uma vez que a salmoura esta´ se acumulando no tanque a uma taxa de 2l/min, qualquer tanque finito deve, mais cedo ou mais tarde, derramar. Suponha agora que o tanque tenha uma tampa aberta e uma capacidade total de 400 litros. (a) Quando o tanque transbordara´? (b) No instante em que estiver transbordando, qual sera´ a quantidade de gramas de sal no tanque? 48 (c) Suponha que, embora o tanque esteja transbordando, a soluc¸a˜o salina continue a ser bombeada para dentro a uma taxa de 6 l/min e a soluc¸a˜o bem misturada continue a ser bombeada para fora a uma taxa de 4 l/min. Crie um me´todo para determinar a quantidade de gramas de sal no tanque no instante t = 250 min. (d) Determine a quantidade de gramas de sal no tanque quando t → ∞. Exercı´cio 4.14 Resolva a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de classe A dy dx = x2 + y2 xy− x2 Exercı´cio 4.15 Resolva a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de classe C dy dx = 2x−3y−1 3x+ y−2 Exercı´cio 4.16 Resolva a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de classe A (x2e− y x + y2)dx = xydy. Exercı´cio 4.17 Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Ricatti (1+x3)dydx +2xy 2+x2y+1= 0, sabendo-se que y =−x e´ uma soluc¸a˜o particular. Exercı´cio 4.18 Resolva a equac¸a˜o diferencial na˜o exata y2dx+(xy+1)dy = 0. Exercı´cio 4.19 Resolva a equac¸a˜o de D’Alembert dydx ( x dy dx − y+5 ) +4 = 0. Exercı´cio 4.20 Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Ricatti dy dx + y 2 = x2−2x sabendo-se que y = 1− x e´ soluc¸a˜o particular. 49 5 EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR 5.1 TEORIA PRELIMINAR Comec¸amos a discussa˜o sobre equac¸o˜es diferenciais de ordem maior, como fize- mos com equac¸o˜es de primeira ordem, com a noc¸a˜o de um problema de valor inicial. Pore´m, concentramos nossa atenc¸a˜o nas equac¸o˜es diferenciais lineares. 5.1.1 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno Problema de Valor Inicial Para uma equac¸a˜o diferencial de n-e´sima ordem, o problema Resolva : an(x) dny dxn +an−1(x) dn−1y dxn−1 + · · ·+a1(x) dy dx +a0(x)y = g(x) Su jeita : y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, · · · ,y(n−1)(x0) = y(n−1)0 (5.1.1) em que y0,y′0, · · · ,y(n−1)0 sa˜o constantes arbitra´rias, e´ chamado de um problema de valor ini- cial. Os valores especı´ficos y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, · · · , y(n−1)(x0) = y(n−1)0 sa˜o chamados de condic¸o˜es iniciais. Procuramos uma soluc¸a˜o em algum intervalo I contendo x0. No caso de uma equac¸a˜o linear de segunda ordem, uma soluc¸a˜o para o problema de valor inicial Resolva : a2(x) d2y dx2 +a1(x) dy dx +a0(x)y = g(x) Su jeita : y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 (5.1.2) e´ uma func¸a˜o que satisfac¸a a equac¸a˜o diferencial em I cujo gra´fico passa pelo ponto (x0,y0) com inclinac¸a˜o igual a y′0. O pro´ximo teorema nos fornece condic¸o˜es suficientes para a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o para (5.1.1). Teorema 5.1 (Existeˆncia de uma ´Unica Soluc¸a˜o) - Sejam an(x),a(n−1)(x), · · · ,a1(x),a0(x) e g(x) contı´nuas em um intervalo I com an(x) 6= 0 para todo x neste intervalo. Se x = x0 e´ algum 50 ponto deste iintervalo, enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o y(x) para o problema de valor inicial (5.1.1) neste intervalo. Exemplo 5.1 Verifique se y = 3e2x + e−2x−3x e´ a u´nica soluc¸a˜o para o{ y′′−4y = 12x y(0) = 4, y′(0) = 1 Exemplo 5.2 Verifique se y ≡ 0 e´ a u´nica soluc¸a˜o para o{ 3y′′′+5y′′− y′+7y = 0 y(1) = 0, y′(1) = 0, y′′(1) = 0 Exemplo 5.3 Verifique se a func¸a˜o y = 1 4 sin4x e´ a u´nica soluc¸a˜o para o { y′′+16y = 0 y(0) = 0, y′(0) = 1 Observac¸a˜o 5.1 No teorema (5.1), a continuidade de ai(x); i= 0,1,2, · · · ,n e a hipo´tese an(x) 6= 0 para todo x em I sa˜o ambas importantes. Especificamente, se an(x) = 0 para algum x no in- tervalo, enta˜o a soluc¸a˜o para um problema de valor inicial linear pode na˜o ser u´nica ou nem mesmo existir. Exemplo 5.4 Verifique se a func¸a˜o y = cx2+x+3 e´ a u´nica soluc¸a˜o para o problema de valor inicial { x2y′′−2xy′+2y = 6 y(0) = 3, y′(0) = 1 no intervalo de (−∞,+∞) para qualquer escolha do paraˆmetro c. Problema de Valor de Contorno Um outro tipo de problema consiste em resolver uma equac¸a˜o diferencial de ordem dois ou maior na qual a varia´vel dependente y ou suas derivadas sa˜o especificadas em pontos diferentes. Um problema como Resolva : a2(x) d2y dx2 +a1(x) dy dx +a0(x)y = g(x) Su jeita : y(a) = y0, y(b) = y1 51 e´ chamado de problema de valor de contorno. Os valores especificados y(a) = y0 e y(b) = y1 sa˜o chamados de condic¸o˜es de contorno ou de fronteira. Uma soluc¸a˜o para o problema em questa˜o e´ uma func¸a˜o que satisfac¸a a equac¸a˜o diferencial em algum intervalo I, contendo a e b, cujo gra´fico passa pelos pontos (a,y0) e (b,y1). Exemplo 5.5 Verifique que, no intervalo (0,+∞), a func¸a˜o y = 3x2−6x+3 satisfaz a equac¸a˜o diferencial e as condic¸o˜es de contorno do problema de valor de contorno{ x2y′′−2xy′+2y = 6 y(1) = 0, y(2) = 3 Para uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem, outras condic¸o˜es de contorno podem ser 1. y′(a) = y′0 , y(b) = y1; 2. y(a) = y0 , y′(b) = y′1; 3. y′(a) = y′0 , y′(b) = y′1. em que y0,y′0,y1 ey′1 denotam constantes arbitra´rias. Os pro´ximos exemplos mostram que, mesmo quando as condic¸o˜es do teorema (5.1) sa˜o satisfeitas, um problema de valor de contorno pode ter: 1. va´rias soluc¸o˜es; 2. uma u´nica soluc¸a˜o; 3. nenhuma soluc¸a˜o. Exemplo 5.6 Verifique se y = c1 cos4x+ c2 sin4x e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o y′′+16y = 0 Suponha agora que queiramos determinar aquela soluc¸a˜o para a equac¸a˜o que tambe´m satisfac¸a as condic¸o˜es de contorno. 1. y(0) = 0 , y(pi2 ) = 0; 2. y(0) = 0 , y(pi8 ) = 0; 3. y(0) = 0 , y(pi2 ) = 1. 52 LISTA DE EXERC´ICIOS 1. Sabe-se que y = c1ex+c2e−x e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es para y′′−y = 0 no intervalo (−∞,+∞). Encontre um membro dessa famı´lia satisfazendo as condic¸o˜es iniciais y(0) = 0 , y′(0) = 1. 2. Sabe-se que y = c1e4x + c2e−x e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es para y′′− 3y′−4y = 0 no intervalo (−∞,+∞). Encontre um membro dessa famı´lia satisfazendo as condic¸o˜es iniciais y(0) = 1 , y′(0) = 2. 3. Sabe-se que y = c1x+ c2x lnx e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es para x2y′′− xy′+ y = 0 no intervalo (−∞,+∞). Encontre um membro dessa famı´lia satisfazendo as condic¸o˜es iniciais y(1) = 3 , y′(1) =−1. 4. Sabe-se que y = c1ex cosx+ c2ex sinx e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es para y′′−2y′+2y = 0 no intervalo (−∞,+∞). Encontre, se existir, um membro dessa famı´lia satisfac¸a as condic¸o˜es. (a) y(0) = 1, y′(0) = 0; (b) y(0) = 1, y′(pi) =−1; (c) y(0) = 1, y(pi2 ) = 1; (d) y(0) = 1, y(pi) = 0. 5.1.2 Dependeˆncia Linear e Independeˆncia Linear Os dois pro´ximos conceitos sa˜o ba´sicos para o estudo de equac¸o˜es diferenciais lineares. Definic¸a˜o 5.1 (Dependeˆncia Linear) - Dizemos que um conjunto de func¸o˜es f1(x), f2(x), · · · , fn(x) e´ linearmente dependente em um intervalo I se existirem constantes c1,c2, · · · ,cn na˜o todas nulas, tais que c1 f1(x)+ c2 f2(x)+ · · ·+ cn fn(x) = 0 para todo x no intervalo. Definic¸a˜o 5.2 (Independeˆncia Linear) - Dizemos que um conjunto de func¸o˜esf1(x), f2(x), · · · , fn(x) 53 e´ linearmente independente em um intervalo I se ela na˜o e´ linearmente dependente no inter- valo. Em outras palavras, um conjunto de func¸o˜es e´ linearmente independente em um intervalo se as u´nicas constantes para as quais c1 f1(x)+ c2 f2(x)+ · · ·+ cn fn(x) = 0 para todo x no intervalo, sa˜o c1 = c2 = · · ·= cn = 0. ´E fa´cil de entender essas definic¸o˜es no caso de duas func¸o˜es f1(x) e f2(x). Se as func¸o˜es sa˜o linearmente dependentes em um intervalo, enta˜o existem constantes c1 e c2, que na˜o sa˜o ambas nulas, tais que, para todo x no intervalo, c1 f1(x)+ c2 f2(x) = 0 Portanto, se supomos c1 6= 0, segue-se que f1(x) =−c2 c1 f2(x) isto e´, se duas func¸o˜es sa˜o linearmente dependentes, enta˜o uma e´ simplesmente uma constante mu´ltipla da outra. Reciprocamente, se f1(x) = c2 f2(x) para alguma constante c2, enta˜o (−1) f1(x)+ c2 f2(x) = 0 para todo x em algum intervalo. Logo, as func¸o˜es sa˜o linearmente dependentes, pois pelo menos uma das constantes (a saber c1 =−1) na˜o e´ nula. Concluı´mos que duas func¸o˜es sa˜o linearmente independentes quando nenhuma delas e´ mu´ltipla da outra em um intervalo. Exemplo 5.7 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = sin2x e f2(x) = sinxcosx sa˜o linearmente depen- dentes no intervalo de (−∞,+∞). Exemplo 5.8 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = x e f2(x) = |x| sa˜o linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo de (−∞,+∞). Observac¸a˜o 5.2 Na considerac¸a˜o de dependeˆncia linear ou independeˆncia linear, o intervalo no qual as func¸o˜es sa˜o definidas e´ importante. As func¸o˜es f1(x) = x e f2(x) = |x| do exemplo (5.8) sa˜o linearmente dependentes no intervalo (0,+∞), pois c1x+ c2|x|= c1x+ c2x = 0 54 e´ satisfeita se, por exemplo, c1 = 1 e c2 =−1. Exemplo 5.9 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = cos2 x, f2(x) = sin2 x, f3(x) = sec2 x e f4(x) = tan2 x sa˜o linearmente dependentes no intervalo de ( −pi 2 ,+ pi 2 ) . Dizemos que um conjunto de func¸o˜es f1(x), f2(x), · · · , fn(x) e´ linearmente dependentes em um intervalo se pelo menos uma func¸a˜o pode ser expressa como uma combinac¸a˜o linear das outras func¸o˜es. Exemplo 5.10 Verifique se as func¸o˜es f1(x) =√x+5, f2(x) =√x+5x, f3(x) = x−1 e f4(x) = x2 sa˜o linearmente dependentes no intervalo de (0,+∞). Wronskiano O seguinte teorema proporciona condic¸a˜o suficiente para a independeˆncia linear de n func¸o˜es em um intervalo. Supomos que cada func¸a˜o seja diferencia´vel pelo menos n−1 vezes. Teorema 5.2 (Crite´rio para Independeˆncia Linear de Func¸o˜es)- Suponha que f1(x), f2(x), · · · , fn(x) sejam diferencia´veis pelo menos n−1 vezes. Se o determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f1 f2 · · · fn f ′1 f ′2 · · · f ′n . . . . . . . . . . . . f (n−1)1 f (n−1)2 · · · f (n−1)n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, enta˜o as func¸o˜es f1(x), f2(x), · · · , fn(x) sera˜o linearmente independentes no intervalo. O determinante do teorema precedente e´ denotado por W ( f1(x), f2(x), · · · , fn(x)) e e´ chamado o Wronskiano das func¸o˜es. 55 Observac¸a˜o 5.3 Josef Maria Hoe¨ne Wronski (1778-1853) Nascido na Poloˆnia e educado na Alemanha, Wronski passou a maior parte de sua vida na Franc¸a. Mais um filo´sofo do que um matema´tico, ele acreditou que a verdade absoluta poderia ser alcanc¸ada atrave´s da matema´tica. Sua u´nica contribuic¸a˜o digna de nota a` matema´tica foi o determinante acima. Sempre um exceˆntrico, eventualmente tinha crises de insanidade. Corola´rio 5.1 Se f1(x), f2(x), · · · , fn(x) possuem pelo menos (n− 1) derivadas e sa˜o linear- mente dependentes em I, enta˜o W ( f1(x), f2(x), · · · , fn(x)) = 0 para todo x no intervalo. Exemplo 5.11 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = em1x e f2(x) = em2x tal que m1 6= m2 sa˜o L.I. Exemplo 5.12 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = sin2 x e f2(x) = 1− cos2x sa˜o linearmente de- pendentes no intervalo de (−∞,+∞), depois calcule o W ( f1(x), f2(x)). Exemplo 5.13 Verifique que se α e β sa˜o nu´meros reais, β 6= 0, enta˜o y1 = eαx cos(βx) e y2 = eαx sin(βx) sa˜o linearmente independentes em qualquer intervalo do eixo x. Observac¸a˜o 5.4 Vimos no exemplo (5.8) que f1(x) = x e f2(x) = |x| sa˜o linearmente indepen- dentes no intervalo (−∞,+∞), pore´m, na˜o e´ possı´vel calcular o Wronskiano, pois f2 na˜o e´ difetencia´vel em x = 0. Um conjunto de func¸o˜es f1(x), f2(x), · · · , fn(x) pode ser linearmente independente em al- gum intervalo, mesmo que o Wronskiano seja nulo. Exemplo 5.14 Verifique que: 1. f1 = x2 e f2 = x|x| sa˜o linearmente independentes em (−∞,+∞). 2. W ( f1(x), f2(x)) = 0 para todo nu´mero real. Exercı´cio 5.1 Determine se as func¸o˜es dadas sa˜o linearmente independentes ou dependentes em (−∞,+∞). 1. f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = 4x−3x2; 56 2. f1(x) = 5, f2(x) = cos2 x, f3(x) = sin2 x; 3. f1(x) = x, f2(x) = x−1, f3(x) = x+3; 4. f1(x) = 1+ x, f2(x) = x, f3(x) = x2. Exercı´cio 5.2 Mostre, calculando o Wronskiano, que as func¸o˜es dadas sa˜o linearmente inde- pendentes no intervalo indicado. 1. x 1 2 , x2; (0,+∞). 2. sinx, cscx; (0,pi). 3. ex, e−x, e4x; (−∞,+∞). 4. ex, xex e x2ex; (−∞,+∞). 5.1.3 Soluc¸o˜es Para Equac¸o˜es Lineares Equac¸o˜es Homogeˆneas Uma equac¸a˜o diferencial de n-e´sima ordem da forma an(x) dny dxn +an−1(x) d(n−1)y dx(n−1) + · · ·+a1(x)dydx +a0(x)y = 0 (5.1.1) e´ chamada homogeˆnea, enquanto an(x) dny dxn +an−1(x) d(n−1)y dx(n−1) + · · ·+a1(x)dydx +a0(x)y = g(x) (5.1.2) com g(x) na˜o identicamente zero, e´ chamada de na˜o-homogeˆnea Observac¸a˜o 5.5 1. A palavra homogeˆnea neste contexto na˜o se refere aos coeficientes como sendo func¸o˜es homogeˆneas. 2. A equac¸a˜o 2y′′+ 3y′− 5y = 0 e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de segunda ordem homogeˆnea. 3. A equac¸a˜o x3y′′′− 2xy′′+ 5y′+ 6y = ex e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de terceira ordem na˜o-homogeˆnea. 4. Veremos, que, para resolver uma equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea, devemos primeiro resolver a equac¸a˜o homogeˆnea associada. 57 5. Para evitar repetic¸o˜es desnecessa´rias no decorrer do texto, faremos sempre as seguintes suposic¸o˜es com relac¸a˜o a`s equac¸o˜es lineares (5.1.1) e (5.1.2). Em algum intervalo I, (a) os coeficientes ai(x); i = 0,1, · · · ,n sa˜o contı´nuas; (b) a func¸a˜o g(x) e´ contı´nua; (c) an(x) 6= 0 para todo x no intervalo. Princı´pio de Superposic¸a˜o No pro´ximo teorema, veremos que a soma, ou superposic¸a˜o, de duas ou mais soluc¸o˜es para uma equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea e´ tambe´m uma soluc¸a˜o. Teorema 5.3 (Principı´o de Superposic¸a˜o - Equac¸a˜o Homogeˆnea) Sejam y1,y2, · · · ,yk soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial linear de n-e´sima ordem homogeˆnea (5.1.1) em um intervalo I. Enta˜o, a combinac¸a˜o linear y = c1y1(x)+ c2y2(x)+ · · ·+ ckyk(x) em que os ci, i = 1,2, · · · ,k sa˜o constantes arbitra´rias, e´ tambe´m uma soluc¸a˜o no intervalo. Corola´rio 5.2 1. Um mu´ltiplo y = c1y1(x) de uma soluc¸a˜o y1(x) para uma equac¸a˜o dife- rencial linear homogeˆnea e´ tambe´m uma soluc¸a˜o; 2. Uma equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea sempre possui a soluc¸a˜o trivial y = 0. Exemplo 5.15 Verifique usando o princı´pio de superposic¸a˜o que, a combinac¸a˜o linear y = c1x2 + c2x2 lnx e´ soluc¸a˜o para a equac¸a˜o homogeˆnea x3y′′′−2xy′+4y = 0 no intervalo (0,+∞). Exemplo 5.16 Verifique usando o princı´pio de superposic¸a˜o que, a combinac¸a˜o linear y = c1ex + c2e2x + c3e3x 58 e´ soluc¸a˜o para a equac¸a˜o homogeˆnea d3y dx3 −6 d2y dx2 +11 dy dx −6y = 0 em (−∞,+∞). Exemplo 5.17 Verifique se y = cx2 e´ soluc¸a˜o para a equac¸a˜o linear homogeˆnea x2y′′−3xy′+4y = 0 em (0,+∞), usando o corola´rio (5.2). Soluc¸o˜es Linearmente Independentes Estamos interessados em determinar quando n soluc¸o˜es y1,y2, · · · ,yn para a equac¸a˜o di- ferencial homogeˆnea (5.1.1) sa˜o linearmente independentes. Surpreendentemente, o Wrons- kiano na˜o nulo em um conjunto de n soluc¸o˜es em um intervalo I e´ necessa´rio e suficiente para a independeˆncia
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