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Introdução às Equações Diferenciais Um roteiro para estudos Luiz Fernando Provenzano UFMT Versão Novembro/2015 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 2 Índice Equações Diferenciais - Um Pouco de História...................................................................................... 3 A Natureza das Equações Diferenciais ..................................................................................................... 8 Definição e Notações ................................................................................................................................. 8 Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial ............................................................................. 11 Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial ....................................... 12 Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno ............................................ 13 Teorema de Existência e Unicidade................................................................................................... 14 Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau............................................................... 18 Classificação.............................................................................................................................................. 18 1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis ........................................................ 18 Sobre a Curva Tractriz ...................................................................................................................... 20 2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas ............................................................................. 21 3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis Separáveis ............................................................................................................................................. 25 4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas ......................................................................................... 27 Fator Integrante .................................................................................................................................. 30 Pesquisa de um Fator Integrante................................................................................................... 30 5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares ..................................................................................... 32 Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau ........... 35 Exercícios Gerais de Aplicações ..................................................................................................... 41 Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior à Primeira ............................................... 45 Tipos Especiais de Equações Diferenciais de 2a Ordem .............................................................. 45 Problema de Perseguição (Uma aplicação) ............................................................................... 49 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N .................................................................................. 54 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogêneas de Coeficientes Constantes .. 55 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Não-Homogêneas de Coeficientes Constantes ................................................................................................................................................. 60 Método dos Coeficientes a Determinar (ou Método de Descartes) ......................................... 60 Família de uma função ...................................................................................................................... 60 Construção de uma Solução Particular Experimental (yp) .................................................... 61 Método da Variação dos Parâmetros ................................................................................................ 67 Aplicações de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes ................................................................................................................................................. 73 Vibrações Mecânicas e Elétricas .................................................................................................... 73 Sistemas de Equações Diferenciais ........................................................................................................ 82 Aplicações de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares ........................................................... 87 Noções de Equações Diferenciais Parciais ........................................................................................... 92 Sobre a Resolução ................................................................................................................................... 93 Determinação de uma Equação Diferencial Parcial a partir de uma Solução dada. ........... 94 O Problema de Condução de Calor e o Método de Separação de Variáveis .......................... 96 Anexos........................................................................................................................................................... 100 Fórmulas Básicas ....................................................................................................................................... 101 Sistemas de Unidades ............................................................................................................................... 104 Bibliografia .................................................................................................................................................. 105 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 3 Equações Diferenciais - Um Pouco de História De várias maneiras, as equações diferenciais são o coração da análise e do cálculo, dois dos mais importantes ramos da matemática nos últimos 300 anos. Equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de cálculo. Como uma ferramenta matemática importante para ciências físicas, a equação diferencial não tem igual. Assim é amplamente aceito que equações diferenciais são importantes em ambas: a matemática pura e a aplicada. A história sobre este assunto é rica no seu desenvolvimento e é isto que estaremos olhando aqui. Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuições de um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a história deste assunto começa e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificação grosseira do seu desenvolvimento. Existem vários contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessários para que ele pudesse entender o cálculo e a análise necessários para desenvolver muitas das idéias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram idéias inteiramente novas, inacessíveis à perspectiva do século XVIII de Euler e sofisticadas além do entendimento de apenas uma pessoa. Esta é a história do desenvolvimento das equações diferenciais. Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equações, nas técnicas, na teoria e nas aplicações. A história começa com os inventores do cálculo, Fermat, Newton, e Leibniz. A partir do momento que estes matemáticos brilhantes tiveram entendimento suficiente e notação para a derivada, esta logo apareceu em equações e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que as soluções para estas equações não eram tão fáceis. As manipulações simbólicas e simplificações algébricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e seu papel teóricono Teorema Fundamental do Cálculo ofereceu ajuda direta apenas quando as variáveis eram separadas, em circunstâncias muito especiais. O método de separação de variáveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim estes pesquisadores iniciais do século 17 focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e técnicas para aqueles que os seguiram. Ao redor do início do século XVIII, a próxima onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a aplicar estes tipos de equações a problemas em astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equações diferenciais para o movimento planetário, usando os princípios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenária e o uso de coordenadas polares. Nesta época, as equações diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matemática e ciências para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princípios para analisar a trajetória de um cometa que hoje leva seu nome. O irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi provavelmente o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz e os princípios de mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos usando equações diferenciais e a encontrar suas soluções. Ricatti (1676--1754) começou um estudo sério de uma equação em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos Para ganhar conhecimento, adicione algo todos os dias. Para ganhar sabedoria, elimine algo todos os dias. Lao-Tsé (1324 a.C. - 1408 a.C.) Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 4 especiais da equação que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann, e Daniel, todos estudaram os casos da equação de Ricatti também. Na época, Taylor usou séries para "resolver" equações diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas séries para vários propósitos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferenças finitas começou um novo ramo da matemática intimamente relacionado ao desenvolvimento das equações diferenciais. No início do século XVIII, este e muitos outros matemáticos tinham acumulado uma crescente variedade de técnicas para analisar e resolver muitas variedades de equações diferenciais. Contudo, muitas equações ainda eram desconhecidas em termos de propriedades ou métodos de resolução. Cinqüenta anos de equações diferenciais trouxeram progresso considerável, mas não uma teoria geral. O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os métodos existentes e criar novas e mais poderosas técnicas para atacar grandes famílias de equações. Muitas equações pareciam amigáveis, mas tornaram-se decepcionantemente difíceis. Em muitos casos, técnicas de soluções iludiram perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou à cena das equações diferenciais. Euler teve o benefício dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu entendimento era seu conhecimento e percepção de funções. Euler entendeu o papel e a estrutura de funções, estudou suas propriedades e definições. Rapidamente achou que funções eram a chave para entender equações diferenciais e desenvolver métodos para suas resoluções. Usando seu conhecimento de funções, desenvolveu procedimentos para soluções de muitos tipos de equações. Foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e de muitas outras funções elementares. Euler também desenvolveu várias funções novas baseadas em soluções em séries de tipos especiais de equações diferenciais. Suas técnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. Em 1739, desenvolveu o método de variação de parâmetros. Seu trabalho também incluiu o uso de aproximações numéricas e o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluções" aproximadas para quase todas as equações. Euler então continuou aplicando o trabalho em mecânica que levou a modelos de equações diferenciais e soluções. Ele era um mestre que este assunto necessitava para se desenvolver além de seu início primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matemática aplicada moderna. Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das idéias de Euler. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os métodos de Euler para ajudá-lo a estudar oscilações e as equações diferenciais que produzem estes tipos de soluções. O trabalho de D'Alembert em física matemática envolveu equações diferenciais parciais e explorações por soluções das formas mais elementares destas equações. Lagrange seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados em mecânica, especialmente equações de movimento (problema dos três corpos) e energia potencial. As maiores contribuições de Lagrange foram provavelmente na definição de função e propriedades, o que manteve o interesse em generalizar métodos e analisar novas famílias de equações diferenciais. Lagrange foi provavelmente o primeiro matemático com conhecimento teórico e ferramentas suficientes para ser um verdadeiro analista de equações diferenciais. Em 1788, ele introduziu equações gerais de movimento para sistemas dinâmicos, hoje conhecidas como equações de Lagrange. O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avanços, incluindo técnicas numéricas melhores e um melhor entendimento de integração. Em 1799, introduziu as idéias de um laplaciano de uma função. Laplace claramente reconheceu as raízes de seu trabalho quando escreveu "Leia Euler, leia Euler, ele é nosso mestre". O trabalho de Legendre sobre equações diferenciais foi motivado pelo movimento de projéteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 5 resistência do ar e velocidades iniciais. Lacroix foi o próximo a deixar sua marca. Trabalhou em avanços nas equações diferenciais parciais e incorporou muito dos avanços, desde os tempos de Euler, ao seu livro. A contribuição principal de Lacroix foi resumir muitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O próximo na ordem foi Fourier. Sua pesquisa matemática fez contribuições ao estudo e cálculos da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analítica do Calor,1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da série que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilações. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria matemática desta série, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. As contribuições de Charles Babbage vieram por uma rota diferente. Ele desenvolveu uma máquina de calcular chamada de Máquina de Diferença que usava diferenças finitas para aproximar soluções de equações. O próximo avanço importante neste assunto ocorreu no início do século XIX, quando as teorias e conceitos de funções de variáveis complexas se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equações diferenciais para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação. Gauss estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da matemática. Também reconheceu que a teoria das funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados importantes das equações diferenciais aplicadas. Cauchy aplicou equações diferenciais para modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. Os resultados são agora clássicosem hidrodinâmica. Inventou o método das características, o qual é importante na análise e solução de várias equações diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as idéias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas e iniciou uma análise rigorosa de cálculo e equações diferenciais. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover soluções algébricas para equações diferenciais. Depois destas grandes contribuições de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplicá-las a vários ramos da ciência. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecânica apareceram em Traité de mécanique em 1811. Aplicou seu conhecimento de equações diferenciais a aplicações em física e mecânica, incluindo elasticidade e vibrações. Muito de seu trabalho original foi feito na solução e análise de equações diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de Green em fundamentos matemáticos de gravitação, eletricidade e magnetismo foi publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. A matemática de Green proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construíram a teoria atual do magnetismo. Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equações diferenciais à astronomia. Seu trabalho sobre funções de Bessel foi feito para analisar perturbações planetárias. Posteriormente estas construções foram usadas para resolver equações diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equações diferenciais para desenvolver teorias sobre a condução do calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equações integrais equivalentes, um método refinado por Fredholm e Hilbert no início da década de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funções elementares foi uma contribuição substancial para soluções de equações diferenciais. As investigações teóricas e experimentais de Stokes cobriram hidrodinâmica, elasticidade, luz, gravitação, som, calor, meteorologia e física solar. Ele usou modelos de equações diferenciais em todos os campos de estudo. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 6 Na metade do século XIX, uma nova estrutura era necessária para atacar sistemas de mais de uma equação diferencial. Vários matemáticos vieram em socorro. Jacobi desenvolveu a teoria de determinantes e transformações em uma ferramenta poderosa para avaliar integrais múltiplas e resolver equações diferenciais. A estrutura do jacobiano foi desenvolvida em 1841. Como Euler, Jacobi era um calculador muito hábil e um perito numa variedade de campos aplicados. Cayley também trabalhou com determinantes e criou uma teoria para operações com matrizes em 1854. Cayley era um amigo de J. J. Sylvester e foi para os Estados Unidos para lecionar na Universidade Johns Hopkins entre 1881 e 1882. Cayley publicou mais de 900 artigos cobrindo muitas áreas da matemática, dinâmica teórica e astronomia. Cayley criou a noção de matrizes em 1858 e desenvolveu boa parte da teoria de matrizes nas décadas posteriores. Josiah Gibbs fez contribuições à termodinâmica, ao eletromagnetismo e à mecânica. Por seu trabalho nos fundamentos de sistemas de equações, Gibbs é conhecido como o pai da análise vetorial. À medida que o final do século XIX se aproximava, os principais esforços em equações diferenciais se moveram para um plano teórico. Em 1876, Lipschitz (1832-- 1903) desenvolveu teoremas de existência para soluções de equações diferenciais de primeira ordem. O trabalho de Hermite foi desenvolver a teoria de funções e soluções de equações. À medida que a teoria se desenvolveu, as seis funções trigonométricas básicas foram provadas transcendentais, assim como as inversas das funções trigonométricas e as funções exponenciais e logarítmicas. Hermite mostrou que a equação de quinta ordem poderia ser resolvida por funções elípticas. Enquanto seu trabalho era teórico, os polinômios de Hermite e as funções de Hermite se mostraram posteriormente muito úteis para resolver a equação de onda de Schrödinger e outras equações diferenciais. O próximo a construir fundamento teórico foi Bernhard Riemann. Seu doutorado foi obtido, sob a orientação de Gauss, na teoria de variáveis complexas. Riemann também teve o benefício de trabalhar com o físico Wilhelm Weber. O trabalho de Riemann em equações diferenciais contribuiu para resultados em dinâmica e física. No final da década de 1890, Gibbs escreveu um artigo que descreveu a convergência e o "fenômeno de Gibbs" da série de Fourier. O próximo contribuinte teórico importante foi Kovalevsky, a maior matemática antes do século XX. Depois de vencer dificuldades consideráveis por causa da discriminação de seu gênero, ela teve oportunidade de estudar com Weierstrass. No início de sua pesquisa, completou três artigos sobre equações diferenciais parciais. No seu estudo da forma dos anéis de Saturno, ela se apoiou no trabalho de Laplace, cujo trabalho ela generalizou. Basicamente, o trabalho de Kovalevsky era sobre a teoria de equações diferenciais parciais e um resultado central sobre a existência de soluções ainda leva seu nome. Ela publicou vários artigos sobre equações diferenciais parciais. Posteriormente, no século XX, trabalhos teóricos de Fredholm e Hilbert refinaram os resultados iniciais e desenvolveram novas classificações para o entendimento posterior de algumas das mais complicadas famílias de equações diferenciais. O próximo impulso foi no desenvolvimento de métodos numéricos mais robustos e eficientes. Carl Runge desenvolveu métodos numéricos para resolver as equações diferenciais que surgiram no seu estudo do espectro atômico. Estes métodos numéricos ainda são usados hoje. Ele usou tanta matemática em sua pesquisa que físicos pensaram que fosse matemático, e fez tanta física que os matemáticos pensaram que fosse físico. Hoje seu nome está associado com os métodos de Runge-Kutta para resolver equações diferenciais. Kutta, outro matemático aplicado alemão, também é lembrado por sua contribuição à teoria de Kutta-Joukowski de sustentação de aerofólios em aerodinâmica, baseada em equações diferenciais. Na última metade do século XX, muitos matemáticos e cientistas da computação implementaram métodos numéricos para Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 7 equações diferenciais em computadores para dar soluções rápidas e eficientes para sistemas complicados, sobre geometrias complexas, de grande escala. Richard Courant e Garrett Birkhoff foram pioneiros bem sucedidos neste esforço. Equações não lineares foram o próximo grande obstáculo. Poincaré, o maior matemático de sua geração, produziu mais de 30 livros técnicos sobre física matemática e mecânica celeste. A maioria destes trabalhos envolveu o uso e análise de equações diferenciais. Em mecânica celeste, trabalhando com os resultados do astrônomo americano George Hill, conquistou a estabilidade das órbitas e iniciou a teoria qualitativa de equações diferenciais não lineares. Muitos resultados de seu trabalho foram as sementes de novas maneiras de pensar, as quais floresceram, tais como análise de séries divergentes e equações diferenciais não lineares. Poincaré entendeu e contribuiu em quatro áreas principais da matemática - análise, álgebra, geometria e teoria de números. Ele tinha um domínio criativo de toda a matemática de seu tempo e foi, provavelmente, a última pessoa a estar nesta posição. No século XX, George Birkhoff usou as idéias de Poincaré para analisar sistemas dinâmicos grandes e estabelecer uma teoria para aanálise das propriedades das soluções destas equações. Na década de 1980, a teoria emergente do caos usou os princípios desenvolvidos por Poincaré e seus seguidores. Fonte: http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/diffeq.htm em setembro de 2008. ...................................................................... Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando A Natureza das Equações Diferenciais Muitas das leis gerais da natureza, na física, na química, na biologia, na astronomia encontram a sua expressão mais natural na linguagem das equações diferenciais. Aplicações também surgem na matemática em si, especialmente na geometria, na engenharia, na economia, e em muitos outros campos da ciência aplicada. É fácil entender as razões que estão por detrás desta grande utilização de equações diferenciais. Para tanto, é bom relembrar que se ( )y f x é uma dada função, então, a sua derivada dy dx pode ser interpretada como a taxa (ou razão) de variação de y em relação a x . Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e suas taxas de variação estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos que governam o processo. Quando esta relação é expressa em símbolos matemáticos, o resultado é freqüentemente uma equação diferencial. Para ilustrar estas afirmações vejamos o exemplo que se segue. De acordo com a Segunda Lei de Newton do movimento, a aceleração a de um corpo de massa m é proporcional à força total F agindo sobre ele, com 1 m como a constante de proporcionalidade, assim, Fa m ou .m a F (1) Suponhamos, por hipótese, que um corpo de massa m cai livremente sobre a influência da gravidade. Nesse caso a única força que age sobre ele é m.g onde g é a aceleração devido à gravidade. Se y(t) é a distância abaixo do corpo para alguma altura fixada, então sua aceleração é 2 2 d y dt , e (1) torna-se 2 2 . d ym m g dt ou 2 2 d y g dt (2) Se nós alterarmos a situação assumindo que o ar exerce uma força de resistência proporcional à velocidade, então a força total exercida sobre o corpo é . dym g k dt e (1) torna-se 2 2 . d y dym m g k dtdt ou 2 2 . d y dym k m g dtdt (3) As equações (2) e (3) são as equações diferenciais que expressam as atribuições essenciais dos processos físicos considerados. Definição e Notações Definição: Uma equação envolvendo as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 9 Exemplos: 1. 13 x dx dy ; 6. xyyyyy 5''3'' 35 ; 2. 0.. dxydyx ; 7. yx dt dy dt dx 2 ; 3. 0652 2 y dx dy dx yd ; 8. 2 11' x y x y ; 4. 12 2 2 2 dx dy dx yde y ; 9. u v y x ; 5. 32 2 2 4. . 8. 0 d s dst s s dtdt ; 10. 02 2 2 2 y z x z . Observação: A notação de Leibniz dx dy , 2 2 dx yd , 3 3 dx yd , ... , x w , 2 2 y z , ... , nos parece ser mais vantajosa sobre a notação ''' ,'' ,' yyy , ... , pois, explicita claramente as variáveis dependentes e as independentes. Ordem de uma Equação Diferencial A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Grau de uma Equação Diferencial O grau de uma equação diferencial, admitindo-se a mesma escrita na forma racional inteira em relação às derivadas, é dado pelo grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece, ou seja, é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação. Exemplo: 1 3 33 3 dx yd y dx yd 3 32 3 3 dx ydy dx yd 3a ordem e 2o grau. Preencha o quadro abaixo, com respeito à ordem e o grau, dos dez exemplos apresentados anteriormente: Exemplo Ordem Grau Exemplo Ordem Grau 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 10 Classificação das Equações Diferenciais As equações diferenciais são classificadas em: a) Equações Diferenciais Ordinárias: são aquelas cuja(s) função(ões) incógnita(s) depende(m) de uma única variável, e portanto, só apresentam derivadas ordinárias (os oito primeiros exemplos); b) Equações Diferenciais Parciais: são aquelas cuja(s) função(ões) incógnita(s) depende(m) de mais uma variável, e portanto, as derivadas são parciais (os dois últimos exemplos). Resolução de uma Equação Diferencial Resolver ou integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que substituídas conjuntamente com as suas derivadas na equação diferencial dada, a verificam identicamente. Tais funções chamam-se soluções, primitivas ou integrais da equação. Exemplos: 1) A função xsencxcy cos 21 , onde 21 , cc , são ditas constantes arbitrárias, é solução da equação diferencial 02 2 y dx yd , pois, xcxsenc dx dy cos 21 e xsencxcdx yd cos 212 2 . Substituindo na equação diferencial dada vem, 0 cos cos ? 2121 xsencxcxsencxc 00 (Verdade a igualdade se verificou). 2) A função 22 yxz é solução da equação diferencial 0 y zx x zy , pois, x x z 2 e y y z 2 . Substituindo estas derivadas parciais na equação dada vem, 022 ? xyxy 00 (Verdade). 3) Já a função 2xy não é solução da equação diferencial 32 x dx dy , pois, x dx dy 2 e substituindo na equação diferencial dada vem, 322 xx . Logo, não se verificou a igualdade. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 11 Tipos de Soluções de uma Equação Diferencial Uma equação diferencial pode ser abordada de três maneiras diferentes: a analítica, a qualitativa e a numérica. A forma analítica é aquela tradicional onde a solução, uma função explícita ou implícita, é encontrada pelo uso direto do cálculo diferencial e integral. Num primeiro curso de Equações Diferenciais, geralmente, é dado prioridade a este processo analítico na busca da solução de uma equação diferencial. Aqui, já começa a ficar claro que por este processo analítico não é sempre possível encontrar a solução de todas as equações diferenciais, pois com já sabemos, existem muitas funções que não são integráveis. Já pelo processo qualitativo, discute-se o comportamento das soluções e os aspectos das curvas integrais descritos por meio de campos de direções, isto é, graficamente. Este procedimento, no estudo das equações diferenciaisordinárias de 1a ordem, não envolve cálculos complicados e é baseado na interpretação da derivada. Finalmente, na abordagem numérica, métodos numéricos são utilizados para aproximar soluções de problemas de valor inicial de equações diferenciais de 1a ordem. No caso das equações diferenciais ordinárias, a solução analítica pode ser dos seguintes tipos: a) Solução Geral: É uma solução que contém tantas constantes arbitrárias essenciais quantas forem as unidades da ordem da equação considerada. Exemplo: xsencxcy cos 21 (onde 21 , cc ) é solução geral da equação diferencial 02 2 y dx yd , pois, o número de constantes arbitrárias essenciais é 2, igual às unidades da ordem da equação diferencial considerada. b) Solução Particular: É a solução que se obtém atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias, que figuram na solução geral. Exemplo: xy cos é uma solução particular da equação 02 2 y dx yd ,pois, é uma solução obtida da solução geral acima, quando 11 c e .02 c c) Solução Singular: É uma solução desprovida de constantes arbitrárias e que não pode ser obtida da solução geral. Também são chamadas de soluções perdidas. Sendo assim, apenas alguns tipos de equações diferenciais apresentam essa solução. Exemplo: Seja a equação de Clairaut dx dy dx dyxy ln . Ela possui solução geral dada por cxcy ln. e solução singular dada por xy ln1 (verifique!). É fácil notar que a solução singular não pode ser obtida da solução geral. No caso das equações diferenciais parciais as soluções analíticas são dos seguintes tipos: a) Solução Geral: É uma solução que contém funções arbitrárias. Exemplo: Dada a equação diferencial parcial 0 y zx x zy , a função arbitrária )( 22 yxfz é solução geral da equação diferencial, pois, f é uma função de argumento 2 2u x y , isto é, )(ufz , sendo 22 yxu , e derivando z em relação a Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 12 x e a y, tem-se xuf x z 2).(' e yuf y z 2).(' . Substituindo-se na equação diferencial dada vem, 02).('2).('. ? yuxfxufy 00 (Verdade). b) Solução Completa: É uma solução que contém constantes arbitrárias. Exemplo: Dada a equação diferencial parcial y z x z y zy x zxz . , a função baybxaz ... , onde a e b são constantes arbitrárias, é solução completa da equação dada (Verifique). c) Solução Particular: É a solução obtida da solução completa, atribuindo-se valores às constantes arbitrárias. Assim, uma das mais importantes diferenças entre as soluções das equações diferenciais ordinárias e as soluções das equações diferenciais parciais, é aquela que, enquanto a solução geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n contém n constantes arbitrárias de integração, a solução geral de uma equação diferencial parcial contém funções arbitrárias. Outra particularidade que existe, é de que nem sempre o número de funções arbitrárias ou de constantes arbitrárias traduz a ordem da equação diferencial parcial. Interpretação Geométrica da Solução de uma Equação Diferencial Sob o ponto de vista geométrico a solução geral de uma equação diferencial ordinária representa uma família de curvas. Estas curvas chamam-se curvas integrais. Uma solução particular é representada por uma curva desta família. Exemplo: Seja a equação diferencial x dx dy 2 , cuja solução geral é dada por cxy 2 . Esta solução geral nada mais é do que uma Família de Parábolas, todas de concavidade voltada para cima e simétricas em relação ao eixo y, conforme mostra a figura abaixo, para alguns valores de .3 , 5,1 ,1 ,0 ,1 , 54321 cccccc Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 13 Observação: Existem infinitas parábolas nesta família, onde cada uma delas representa uma solução particular (uma para cada determinado valor de c ). Exemplos: 1) Verifique se 321 ).( cexccy x é solução da equação diferencial 02 2 2 3 3 dx dy dx yd dx yd . Solução: 2) Dado cxxy 2 3 2 determine a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. Solução: 3) Dado xsencxcy 2 2 cos 21 determine a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. Solução: Problemas de Valor Inicial e Problemas de Valores de Contorno Na resolução de equações diferenciais, estamos interessados não somente nas suas soluções gerais, mas também naquelas soluções que satisfazem certas condições. Aqui trataremos daquelas condições que são conhecidas como condições iniciais e condições de fronteira (contorno) de equações diferenciais ordinárias. Uma condição inicial é uma condição, na solução de uma equação diferencial, em um único ponto; condições de fronteira (contorno) são condições, na solução de uma equação diferencial, em dois ou mais pontos. A equação diferencial com condição inicial será chamada de um Problema de Valor Inicial; aquela que envolve suas condições de fronteira (contorno) será chamada de um Problema de Valores de Fronteira (contorno). Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando Exemplos de Problemas de Valor Inicial: a) 2)0(y ky dx dy , b) 3)0(' 0)0( 0.2''' y y yyy Exemplo de Problema de Valores de Fronteira (Contorno): a) 2 2 4. 0 (0) 1 ' 2 2 d y y dx y y b) owdx ydIE 4 4 .. , 0)0(')0( yy e 0)0(')( yLy . Teorema de Existência e Unicidade É sempre importante ter-se alguns teoremas básicos que nos habilitem a determinar se uma dada equação diferencial com condições iniciais tem ou não uma solução única. Afortunadamente, existem teoremas que nos ajudarão (nem sempre) a responder estas questões. Aqui nós abordaremos os Teoremas da Existência para equações diferenciais ordinárias de 1a e 2a ordem, sem nos preocuparmos com as demonstrações dos mesmos. Os teoremas a seguir apresentam as condições suficientes para a garantia da existência e unicidade de soluções. Teorema 1: Sejam as funções f e y f contínuas num domínio D do plano xy contendo o ponto (xo , yo). Então, existe um intervalo Io : 0x x h , (h>0) [ou xo – h < x < xo + h ], no qual há uma solução única , y = y(x), satisfazendo a equação diferencial ),( yxf dx dy e a condição inicial y(xo) = yo. As condições de continudade das funções f e y f são fáceis de serem verificadas mas, em geral, não é possível determinar um intervalo específico Io no qual uma solução está definida sem realmente resolver a equação diferencial. Este teorema estabelece apenas a existência local de solução. Exemplo: Dado o problema de valor inicial 2. (1) 1 dy x dx y Seja uma região D (cinza) no plano xy que contém o Fig.I ponto 0 0( , ) (1,1)x y . Como ( , ) 2.f x y x e 0 f y são Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro paraestudos Provenzano, Luiz Fernando contínuas em D , existe algum intervalo Io : 1x h , (h>0), no qual há uma solução única 2( )y x , satisfazendo a equação diferencial 2.dy x dx e a condição inicial (1) 1y (Fig.I). Teorema 2: Sejam as funções f, y f e z f contínuas num domínio tridimensional D contendo o ponto (xo , yo , zo). Então, existe um intervalo Io : 0x x h , (h>0) , no qual há uma solução única , y = y(x), satisfazendo a equação diferencial )',,('' yyxfy e as condições iniciais y(xo) = yo e 00 )(' zxy . Note-se que os teoremas acima não se referem ao tamanho do intervalo Io. Eles meramente afirmam que ela existe este intervalo. Além disso, estes teoremas não nos indicam um método para encontrar esta solução única. Estes teoremas fornecem aquelas que são conhecidas como as condições suficientes para a existência de uma solução única. Isto é, se as condições estabelecidas nas hipóteses dos respectivos teoremas são satisfeitas, então, nós assumiremos que existe uma única solução para o problema de valor inicial, em algum intervalo Io. Contudo, as condições estabelecidas nas hipóteses destes teoremas não são necessárias, isto é, se estas condições não forem todas satisfeitas, poderá existir uma única solução. Exemplos: 1) Mostre que o problema de valor inicial key ky dx dy )1( tem uma única solução no intervalo Io : 1x h (h>0). Solução: Aqui, f(x,y) = ky e k y yxf ),( . Claramente, ambas as funções f e y f satisfazem a hipótese do Teorema 1 em todo plano xy. Em particular, podemos aplicar este teorema em qualquer domínio D contendo o ponto (xo ,yo) = (1,ek). Assim, existe um intervalo Io : 0 1x x x h , no qual há uma única solução, y(x), satisfazendo a equação diferencial e sua condição inicial. A solução geral é dada por y = c.ek.x onde c é uma constante arbitrária. Desde que y = ek em x = 1, nós encontramos c = 1. Assim, y = ek.x é a única solução do problema de valor inicial no intervalo Io : 1x h . Neste exemplo, esta única solução existe sobre o intervalo < x < 2) Mostre que o problema de valor inicial: 0)0( 4' 2 y yy tem uma única solução no intervalo Io : x h . Solução: Aqui, f(x,y) = 4+ y2 e y y yxf 2),( . Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 16 As funções f(x,y) e y yxf ),( , satisfazem a hipótese do Teorema 1 em qualquer ponto do plano xy. Para um domínio D contendo o ponto (xo,yo) = (0,0) asseguramos, pelo teorema, a existência de um intervalo Io : 0 0x x x x h , onde há uma única solução y(x) satisfazendo o problema de valor inicial. A solução para este problema é y = 2.tg 2x (observe gráfico acima). Assim, esta função é a única solução do problema de valor inicial no intervalo Io: x h . Neste exemplo, a solução única realmente existe sobre o intervalo 44 x . Note, contudo, que esta solução única não pode ser estendida além deste intervalo, pois, qualquer intervalo maior conteria os pontos 4 x e/ou 4 x , e a função y dada por y = 2.tg 2x não é definida nestes pontos. 3) Mostre que y = e 2x – e x é a única solução do problema de valor inicial. 3)0(' 0)0( 0.2''' y y yyy , no intervalo Io : x h . Solução: )',,('' yyxfy onde '2)',,( yyyyxf . Assim, f(x,y,z) = 2y + z e 1),,( 2),,( z zyxf y zyxf Claramente, as funções f , y f e z f satisfazem a hipótese do Teorema 2. Em particular, podemos aplicar o teorema para qualquer domínio D contendo o ponto (xo ,yo ,zo) = (0,0,3). Assim, existe um intervalo Io : 0 0x x x x h , no qual há uma única solução y(x) satisfazendo a equação diferencial e as condições iniciais dadas acima. Exercícios 1) Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação diferencial correspondente: Funções Equações Diferenciais a) 221 2 xcxcy 0 21 2 2 xdx dy xdx yd ; Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 17 b) tt ececs 32 2 1 062 2 s dt ds dt sd ; c) 2).( cxcy 08'4' 23 yxyyy ; d) )2( cos 21 ctcs 042 2 s dt sd ; e) beay b x . 0 2 2 2 dx dy dx dy dx ydy ; f) xxx eececy 22 3 1 3 1 xey dx dy dx yd 2 2 2 32 ; g) tsenttsenctcx 3 . 2 13 3 cos 21 txdt xd 3 cos392 2 . 2) Verifique se as funções u = x2 y2 , u = ex.cos y e u = ln (x2+ y2) são soluções da equação diferencial de Laplace 02 2 2 2 y u x u . 3) Dadas as curvas abaixo, determine para cada uma delas, a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária. a) cyx 22 Resp.: 0 ydyxdx ; b) xcey Resp.: 0 y dx dy ; c) ).( 223 yxcx Resp.: dx dyxyxy 23 22 ; d) 321 )( cexccy x Resp.: 02 2 2 3 3 dx dy dx yd dx yd ; e) xx ececy 2 2 1 Resp.: 022 2 y dx dy dx yd . 4) Mostre que y = ex+1 – 3.(x+1) é a única solução do problema de valor inicial 1)1( 3' y yxy para algum intervalo Io : 1x h . 5) Mostre que x xxxy sen1 cos)cos2( é a única solução do problema de valor inicial 1)0( cos sec.' y xxyy , para algum intervalo Io : x h . 6) Encontre uma função ( )r x de modo que (ln )y sen x , 0x , seja solução da equação diferencial ordinária: .0 ' ).( x yyxr dx d Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 18 .................................................... Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau Como já foi citado anteriormente, nem todas as equações diferenciais possuem solução analítica [podemos até afirmar que não são “muitos” os tipos (classes) de equações diferenciais que as possuem]. Assim sendo, aqui vamos abordar somente alguns poucos tipos de equações diferenciais ordinárias de 1a ordem e 1o grau, para os quais foram criados procedimentos analíticos para se encontrar as suas respectivas soluções. Muitos desses procedimentos foram descobertos pela necessidade de se conhecer a solução de uma determinada equação diferencial, a qual, na realidade, era o modelo matemático de um problema real, outros procedimentos, foram criados por mera curiosidade matemática. A habilidade para se encontrar a solução analítica (exata) de uma equação diferencial depende da habilidade em se reconhecer a que tipo (classe) aequação diferencial em questão se enquadra e da aplicação de um método específico para o cálculo da solução, pois, o método que se aplica para resolver um tipo de equação diferencial, não necessariamente serve para resolver outro. Definição: Diz-se que uma Equação Diferencial Ordinária é de 1a Ordem e 1o Grau se a mesma pode ser escrita na forma ),( yxF dx dy ou 0).,().,( dyyxNdxyxM . Classificação Começaremos agora nosso estudo sobre a metodologia de resolução de algumas classes ou tipos de equações diferenciais ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau: 1o Tipo: Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis a) Equações Diferenciais de Variáveis Separadas: São aquelas equações diferenciais que podem ser expressas da forma 0)()( dyyNdxxM . Se as funções M e N são integráveis, obtemos imediatamente a solução geral da equação diferencial proposta aplicando-se o operador integral (que é um operador linear) a ambos os membros da equação diferencial. Assim, resulta cdyyNdxxM )()( cdyyNdxxM )()( . Observe que o “c” representa a soma algébrica de todas as constantes de integração. Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial 0.. dyydxx . Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 19 Solução: b) Equações Diferenciais Redutíveis às de Variáveis Separadas: Uma equação diferencial da forma 0).().().().( 2211 dyyNxMdxyNxM , pode ser reduzida a uma equação diferencial de variáveis separadas, mediante a multiplicação da equação pela expressão 1 2 1 ( ). ( )N y M x , chamada fator de integração. Assim, temos 0 )( )( )( )( 1 2 2 1 dy yN yNdx xM xM , que é uma equação diferencial de variáveis separadas. Observação: Este tipo de equação diferencial pode também aparecer escrito na forma de derivada, isto é, )().( yhxg dx dy . Assim, multiplicando-se ambos os membros da equação por )( 1 yh e a seguir por dx (por definição, xdx é o acréscimo da variável independente, então, seu valor é constante e diferente de zero), tem-se dxxgdx dx dy yh )( )( 1 (4) Como dydx dx dy (ou dxxfdy ).(' , isto é, a diferencial da variável dependente é igual ao produto da derivada da função pela diferencial da variável independente) de (4) resulta, dxxgdy yh )( )( 1 0 )( 1)( dy yh dxxg , que é uma equação diferencial de variáveis separadas, cuja solução poderá ser obtida por integração, se as funções )(xg e )( 1 yh forem integráveis. Exemplos: Resolva as seguintes equações diferenciais: 1) 0.. dyxdxy ; Solução: 2) 13 x dx dy ; Solução: 3) 04. dy y xdxx ; Solução: Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 4) yx y dx dy ).1( 1 2 2 . Solução: Sobre a Curva Tractriz Suponhamos que um ponto P é arrastado ao longo do plano xy por um fio PT de comprimento constante a, ou seja, T desloca-se a partir da origem na direção positiva do eixo x e P é arrastado a partir do ponto )0 ,(a . Nestas condições, determinar o caminho percorrido pelo ponto P ? A curva descrita pela trajetória deste ponto P é chamada de Tractriz (do latim tractum que significa arrastar) ou curva Equitangencial. O Modelo matemático: Das condições do problema e observando a sua representação gráfica ao lado, conclui-se que o segmento de reta PT é tangente à curva no ponto P, e portanto, sua inclinação é dada por QP QT dx dy ou 2 2 dy a x dx x que é uma equação diferencial de variáveis separáveis em x e y. A Resolução: Separando-se as variáveis, integrando e usando o fato de que 0y quando ax [condição inicial 0)( ay ], obtemos 2 2 2 2.ln a a xy a a x x ou 2 2 2 2.ln a a xy a a x x que é a equação da Tractriz. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 21 Esta curva é de considerável importância, pois, sua revolução em torno do eixo y gera a superfície que é um modelo para a versão da geometria não-Euclidiana de Lobachevski. Solução Singular (ou Solução Perdida): Dada uma Equação Diferencial de Variáveis Separáveis, digamos ( ). ( )dy g x h y dx , devemos ter cuidado quando estivermos separando as variáveis, uma vez que os divisores podem se anular em um ou mais pontos. Especificamente, se r for um zero da função ( )h y , substituir y r em ( ). ( )dy g x h y dx torna nulo ambos os membros; em outras palavras, y r é uma solução constante na equação diferencial. Mas, após a separação das variáveis, o primeiro membro da equação ( ). ( ) dy g x dx h y fica indefinido em r. Conseqüentemente, y r pode não aparecer na família de soluções (solução geral) obtidas após a integração e simplificação. Lembre-se que essa solução é chamada de solução singular. Exemplo: Resolver 2 4dy y dx . Solução: Separando as variáveis temos 2 4 dy dx y ou 1 1 4 4 . 2 2 dy dx y y e integrando vem 1 1 1ln 2 ln 2 4 4 y y x c 2ln 4. 2 y x k y 4.2 2 x ky e y 4.2 . 2 xy c e y 4. 4. 1 .2. 1 . x x c ey c e (Solução Geral). Agora, se fatorarmos o segundo membro da equação diferencial 2 4dy y dx , teremos ( 2).( 2)dy y y dx e é fácil verificar que 2y e 2y são duas soluções constantes. A solução 2y é uma solução particular, pois, pode ser obtida a partir da solução geral, atribuindo-se para a constante arbitrária c o valor zero. Já, a solução 2y é uma solução singular, pois, não pode ser obtida a partir da solução geral, mediante a atribuição de um valor à constante arbitrária c. Isto indica que esta solução foi perdida no início do processo de solução. A inspeção da equação diferencial 1 1 4 4 . 2 2 dy dx y y indica claramente que precisamos omitir 2y nessas etapas. 2o Tipo: Equações Diferenciais Homogêneas a) Função Homogênea: Diz-se que uma função, digamos, ),( yxf é uma função homogênea de grau de homogeneidade n, para algum n , em relação às variáveis x e y, se tiver para todo * ),(.).,.( yxfyxf n Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 22 Exemplos: Verifique se as funções abaixo são homogêneas e dê o grau de homogeneidade: 1) 22),( yxyxf 2) yx yxyxf . ),( 33 3) x yxyxg 25),( 4) x y eyyxh .),( 5) )1 ln .(ln),( 3 yxxyxf b) Equação Diferencial Homogênea 1: É toda equação diferencial que pode ser escrita da forma 0).,().,( dyyxNdxyxM , onde M e N são funções homogêneas e de mesmo grau, em relação a x e y. Assim, se a equação diferencial é homogênea ela pode ser transformada, mediante a substituição xvy . (ou yvx . ), em uma equação diferencial de variáveis separáveis em v e x (ou v e y), que depois de encontrada a sua solução geral faz-se a substituição x yv (ou y xv ) para se obter a solução geral da equação diferencial inicial. Observação:Uma equação diferencial também pode ser identificada como homogênea se ela puder ser escrita da forma x yF dx dy ou y xF dx dy . Exemplos: Encontre a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas abaixo: a) 0).()..(2 22 dyyxdxyxx Solução: 1 O significado da palavra “homogênea”, aqui apresentado, não é o mesmo daquele quando abordarmos as Equações Diferenciais Lineares, página 32. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 23 b) dx dyyx dx dyxy .22 Solução: Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 24 Exercícios I) Achar a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: a) 0).3().2( dyxdxy R: cxy )3).(2( b) 0).1(. 2 dyxdxxy R: 2 2. 1c y x c) 0).32.().3.( dxxydyxx R: . .( 3)y c x x d) 0.1.1 22 dxydyx R: 21.(ln xxcysenarc e) 0. . dtgd R: cos.c f) 0).1( 2 dxydyx R: 1)1.( ln. xcy g) ( 2 ). (2 3 ). 0x y dx x y dy R: cyxyx 22 34 h) 0).64().53( dyyxdxyx R: cyxyx )2.()( 2 i) 0.).(2 dyydxyx R: c x yxtgarcyxyx 22 22ln 2 1 j) 0).75().108( dyxydxxy R: cyxyx 32 )2.()( k) 0).3().2( dyyxdxyx R: cyxyx 22 322 l) 0).21().13.(2 dzwdwzz R: zczw .)31).(12( m) dxzxdxzdzx .4.2.2 22 R: 041 22 xccz n) 0.2).4( dyxdxyx R: cyxx 23 6 o) 21.ln. x y dy dxxy R: cyyyxxx ln2 2 1 9 1ln 3 1 233 II) Achar a equação da curva que passa pelo ponto )0,1( e cujo coeficiente angular é, em qualquer ponto igual a xx y 2 1 . R: xxy 1)1.( III) Achar a solução particular que é determinada pelos valores de x e y dados. a) 04 x dy y dx , 4x , 2y R: 324 22 yx b) dyxydxyx .2).( 22 , 1x , 0y R: xxy 22 ..................................................... Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 25 3o Tipo: Equações Diferenciais Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis Separáveis São as equações diferenciais da forma 222 111 cybxa cybxaF dx dy , onde 22111 ,,,, bacba e 2c são constantes. Para este tipo de equações temos a considerar dois casos: a) Se det 0 22 11 ba ba a equação diferencial se reduzirá a uma Equação Diferencial Homogênea. Para tanto, forma-se o sistema 0 0 222 111 cybxa cybxa , cuja solução admitamos ser x e y . A seguir, realizamos na equação diferencial considerada as seguintes substituições dvdyvy dudxux , com as quais vamos obter uma Equação Diferencial Homogênea em u e v. Esta mudança de variáveis, geometricamente, equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ),( , que é a interseção das retas do sistema acima. Desse modo, as retas com variáveis u e v se interceptarão na origem ( ).021 cc Exemplo: Resolver a equação diferencial 23 132 yx yx dx dy Solução: Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 26 b) Se det 0 22 11 ba ba , a equação diferencial se reduzirá a uma Equação Diferencial de Variáveis Separáveis. Para tanto, faz-se tybxa 11 (ou tybxa 22 ), sendo t uma função de x. Então, derivando-se em relação a x vem, 1 1 1 a dx dt bdx dy Substituindo estes resultados na equação diferencial dada, obtém-se uma Equação Diferencial de Variáveis Separáveis em t e x. Exemplo: Resolva a equação diferencial 136 12 yx yx dx dy . Solução: Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 27 Exercícios Calcular a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 1) 0).13().32( dyyxdxyx R: cxyxy 22 7 32 7 2. 7 3.6 7 2 2) 0).232().132( dyyxdxyx R: 3 3 9.ln 2 3 7x y x y c 3) 0).52().42( dxyxdyyx R: )3.()1( 3 yxcyx 4) 342 12 yx yx dx dy R: cxyyx 48584 ln 5) 0).56().34( dyyxdxyx R: )23.()12( 2 yxcyx 6) 0).32().42( dyyxdxyx R: 3 7.)1( 3 yxcyx 7) yx yx dx dy 1 331 R: cyxyx 1ln.23 8) 21 yx dx dy R: )( 1 cxtgxy 9) )(2 yxtg dx dy R: cyxsenxy ).(2 .2.2 ................................................ 4o Tipo: Equações Diferenciais Exatas Uma equação diferencial ordinária de 1a ordem escrita da forma 0).,().,( dyyxNdxyxM (5) é dita Exata se o 1o membro for uma diferencial total (ou exata) de uma função ),( yxU , isto é, dy y Udx x UdU (6) Neste caso a equação diferencial (5) pode ser escrita 0dU e mediante integração obteremos a solução geral de (5) que é da forma U(x,y) = c. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 28 Cálculo de U(x,y) Comparando (5) e (6) vemos que (5) é uma diferencial exata se existe uma função U(x,y) tal que, x UM (I) e y UN (II), então, xy U y M 2 e 2N U x x y e, pelo Teorema de Schwartz, como 2 2 U U y x x y x N y M (Condição necessária para que a equação diferencial 0).,().,( dyyxNdxyxM seja uma Equação Diferencial Exata). Para calcularmos a expressão de U(x,y) vamos integrar (I) em relação a x. Portanto, )(.),( yQdxMyxU , onde Q(y) é uma função só de y (III) Para determinarmos Q(y), derivamos (III) em relação a y e usamos (II). Assim, NyQdxM yy U )('. ).)(' dxM y NyQ (função só de y). Fazendo PdxM . , y PNyQ )(' dy y PNyQ .)( e substituindo em (III) vem, ( , ) . .PU x y M dx N dy y , onde dxMP . Como U(x,y) = c, a solução geral da Equação Diferencial Exata 0).,().,( dyyxNdxyxM será dada por cdy y PNdxM .. . Exemplos: Calcular a solução geral de cada uma das equações dadas: 1) 0).46().63( 3222 dyyyxdxxyx Solução: 2) 0.2).( 22 dyxydxyx Solução: Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 29 Exercícios I) Calcular a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais: 1) 0).23().12( dyyxdxyx R: cyyxxyx 22 34222 2) 0).2.(. dyyexdxe yy R: cyex y 2. 3) 0). cos2().( 23 dyyxydxyx R: cysenxyx 4 2 4 4) 0.1.2)( cos..)( cos. dy y xxyxdx x yxyy R: cyxyxysen ln.2)( 5) yxy xyx dx dy 2 2 R: cyyx 222 )1.( 6) 0). cos1(). .1( dyxdxxseny R: cxyyx cos. 7) 032 4 22 3 dy y xydx y x R: c yy x 1 3 2 8) 0).2 cos..2(). cos.( 22 dyyxyxexdxxyye yy R: 2 2. yx e sen xy y c 9) 0).42().32( 22 dyyxdxxy R: cyxyx 4322 10) 22 . 6xdyx x e y x dx R: cxeexxy xx 322.2 II) Resolva os problemas de valor inicial (determine a solução particular): 1) 0. .. cos.2 2 dyysenxdxeyx x , 0x R: 2 .cos 1xx y e 2) 2 2 cos . .(1 ) dy xy x sen x dx y x , 2)0( y R: 3cos)1.( 222 xxy 3) eydyyxxsenydxxyxxy )0( , 0). ln .2().23 cos.( 322 R: 2 3 2. .ln 0y sen x x y x y y y III) Mostre que qualquer Equação Diferencial de 1a ordem e 1o grau de Variáveis Separradas é uma Equação Diferencial Exata. ............................................................... Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 30 Fator Integrante Quando multiplicamos uma expressão dyyxNdxyxM ).,().,( , que não é diferencial exata, isto é, x N y M , por uma função ),( yx e ela se transforma em uma expressão diferencial exata, a esta função chamamos de Fator Integrante. Exemplo: Seja a equação diferencial 0.. dyxdxy , onde yyxM ),( e xyxN ),( . Assim, 11 x N y M e, portanto, a equação não é uma Equação Diferencial Exata. Porém, se multiplicarmos essa equação diferencial por 2 1 x ou 2 1 y ou 22 1 yx , ou yx. 1 ela se converterá em uma Equação Diferencial Exata (Verifique!). Logo, 2 1 x , 2 1 y , 22 1 yx ou yx. 1 são fatores integrantes da equação diferencial dada. Pesquisa de um Fator Integrante Vamos supor que ),( yx seja um fator integrante da equação diferencial 0).,().,( dyyxNdxyxM . Se multiplicarmos ambos os membros desta equação por ),( yx , teremos 0.... dyNdxM (7) Como por suposição, é fator integrante da equação (7), então, ela é uma Equação Diferencial Exata e, portanto, x N y M )()( . Calculando as derivadas parciais temos x N x N y M y M y M x N x N y M . (8) A equação (8) é uma equação diferencial de derivadas parciais de 1a ordem em , e por enquanto a sua solução não pode ser calculada. Assim, para simplificar esta equação vamos supor que é apenas uma função de x ou y . Supondo que seja uma função apenas de x , 0 y e (8) se transforma em y M x N x N . (9) Dividindo ambos os membros de (9) por N. , temos x N y M Nx 11 (10) A equação (10) só terá sentido se o 2o membro for função só de x . Desse modo, )(1 x dx d dxxd ).( dxx d ).( Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 31 dxx).(ln dxxe ).( . Analogamente, supondo que seja uma função apenas de y , 0 x e (8) se transforma em y M x N My 11 , que só terá sentido se o 2o membro for função só de y . Desse modo, )(1 y dy d dyyd ).( dyy d ).( dyy).(ln dyye ).( . Observemos que, pelo processo adotado, podemos determinar um fator integrante e não todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa desse fator. Nota: O Fator de Integração, abordado quando do estudo das Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis, na verdade é um Fator Integrante, pois, utilizado para separar as variáveis, a transforma em uma Equação Diferencial Exata. Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais, transformando-as em Equações Diferenciais Exatas, através da multiplicação por um fator integrante. 1) 0).1(.2 dyxydxy Solução: 2) 0.2).( 22 dyxydxyx Solução: Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 32 Exercícios I) Verifique se cada uma das equações diferenciais dadas não é Exata. A seguir, pesquise um fator integrante e calcule a solução geral de cada uma delas. 1) dxexdxydyx x .... 2 R: xexxcy .. 2) dyxdxydyy ..2 R: 2 .y x c y 3) 0). ln( 3 dyxydx x y R: ycyx .ln.2 3 4) 0).( 22 dyxdxxyx R: ln yx c x 5) dyxxdxy ).().1( 22 R: c x xytgarc 1 ln Nota: Nesta última equação (5) não é possível encontrar, por este processo, um fator integrante que seja função apenasde x ou de y. Assim sendo, identifique a qual tipo esta equação diferencial pertence e resolva-a. II) Resolva o problema de valor inicial dado encontrando um fator integrante: 0).4(. 2 dyyyxdxx , 0)4( y R: 20)4( 2 2 xe y ......................................................... 5o Tipo: Equações Diferenciais Lineares São aquelas que podem ser escritas na forma QyP dx dy . , onde P e Q são funções de x . Se Q = 0 é denominada Equação Diferencial Linear Homogênea ou Incompleta. Observação: Aqui o sentido de homogênea é diferente daquele descrito nas equações diferenciais do 2o tipo (página 21). Encontra-se a solução geral de uma equação deste tipo, utilizando-se o Método da Substituição (ou Método de Lagrange) ou transformando-a em uma Equação Diferencial Exata, pela multiplicação de um fator integrante. Método da Substituição ou Método de Lagrange Seja a equação diferencial QyP dx dy . (11) Antes vamos examinar dois casos particulares: 1o) Se P = 0 Q dx dy dxQdy . cdxQy . Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 33 2o) Se Q = 0 0. yP dx dy dxP y dy . cdxPy . ln .P dx cy e . .P dx cy e e dxPeky .. . Em cada um destes casos percebe-se que a equação diferencial resultante é sempre uma Equação Diferencial de Variáveis Separáveis. Agora, vamos nos ater para o caso geral, quando P e Q são ambas funções não nulas. Neste caso, pelo Método da Substituição, vamos fazer tzy . , onde z e t são funções de x, sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar. Assim, dx dzt dx dtz dx dy .. e substituindo em (11) vem QtzP dx dzt dx dtz .... Q dx dzttP dx dtz .. (12) Se conseguirmos obter os valores de z e t, obviamente teremos a solução geral de (11) que é uma Equação Diferencial Linear dita completa, já que tzy . . Assim, pesquisaremos em (12) um modo de calcular estas duas funções, z e t. Isto pode ser feito impondo-se as seguintes condições, em (12): Q dx dzt tP dx dt 0. Resolvendo a equação diferencial 0. tP dx dt , resulta dxPekt .1. e levando-se este resultado em Q dx dzt temos Q dx dzek dxP . 1. Qekdx dz dxP .1 . 1 Qdxe k dz dxP .1 . 1 e integrando, 2 . 1 ..1 kdxQe k z dxP . Como, tzy . dxPdxP ekkdxQe k y .12 . 1 ....1 cdxQeey dxPdxP ... .. que é a solução geral de (11). Exemplos: Resolva as equações diferenciais: 1) x x y dx dy ; Solução: Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 34 2) 0 cot x xg x y dx dy . Solução: Exercícios 1) Resolver as seguintes equações diferenciais: a) 2 x x y dx dy R: ) ln.2.( cxxxy b) xsenxtgy dx dy . R: cxsenxy 2 . sec 2 c) xyxtg dx dy cos). ( R: 1 1 2 .sec 2 4 y x sen x c x d) 44' xy x y R: 54 9 1 x x cy e) 0.5' yy R: xecy 5. 2) Resolva os problemas de valor inicial: a) 0 xey dx dyx , bay )( R: x eabey ax b) xsenyy ' , 1)( y R: xxseney x cos 2 1 3) Pesquise um fator integrante para a Equação Diferencial Linear QyP dx dy . . A seguir resolva o exercício (1a) por este processo. 4) A equação diferencial da forma nyQyP dx dy .. (*) Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 35 onde n e P e Q são funções de x, é chamada de Equação Diferencial de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1 a equação é Linear. Porém, se y 0 ela pode ser escrita da forma QyP dx dyy nn 1. (**) Fazendo a substituição nyw 1 , com n 0 e n 1, então, dx dyyn dx dw n .).1( e substituindo em (**) obteremos a Equação Diferencial Linear QnwPn dx dw ).1(.).1( (***) Resolvendo em w e x e, a seguir, substituindo nyw 1 , obteremos a solução geral para (*). Assim sendo, resolver as seguintes equações diferenciais: a) 2.1 yxy xdx dy R: 2. 1 xxC y b) 2 1 y y dx dyx R: 33 .1 xCy c) )1..( 3 yxy dx dy R: xeCxy .33 . 3 1 d) yxy dx dyx .22 R: xCe y x . ............................................. Algumas Aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias de 1a Ordem e 1o Grau Com freqüência, desejamos descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno do mundo real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, econômicos, sociológicos e mesmo biológicos. A representação idealizada (simplificada) deste sistema ou fenômeno envolvendo símbolos matemáticos é chamada de modelo matemático ou simbólico. A construção de um modelo matemático que represente o comportamento de um sistema ou fenômeno pode não ser uma tarefa fácil, pois, o mesmo deve envolver um grande número de variáveis, e cabe a quem estiver modelando identificar quais delas são realmente significativas ao comportamento do sistema, bem como, saber qual a relação que deve existir entre elas. Às vezes, também se faz necessário que certas imposições simplificadoras sejam agregadas para facilitar a construção do modelo, bem como a sua resolução. Assim, podemos concluir que, aqueles que quiserem se dedicar a esta tarefa de modelar deverão possuir “muita” experiência e uma “boa” capacidade de análise e síntese, qualidades estas que podem começar a ser adquiridas a partir do estudo de alguns modelos clássicos. Introdução às Equações Diferenciais – Um roteiro para estudos Provenzano, Luiz Fernando 36 1) Problemas de Variação de Temperatura: A lei empírica de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio
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