Aula 11 - Base e Dimensão

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 11 - Espac¸os Vetoriais:
Base e Dimensa˜o
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 23
Bases e Dimensa˜o
Relembrando:
O conjunto S = {→v1,→v2, . . . ,→vr} e´ linearmente independente (LI) se
k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kr
→
vr=
→
0 se, e somente se k1 = 0, k2 = 0, . . . , kr = 0.
Os vetores
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr geram V se todos os vetores
→
v de V sa˜o escritos
como combinac¸a˜o linear de
→
v1,
→
v2, . . . ,
→
vr. Isto e´, existem escalares
k1, k2, . . . , kr na˜o todos nulos, tais que
→
v= k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kr
→
vr.
Definic¸a˜o 0.1
Se V e´ um espac¸o vetorial qualquer. Dizemos que o conjunto
S = {→v1, →v2, . . . , →vn}, de vetores em V , e´ uma base de V se:
(a) S e´ linearmente independente.
(b) S gera V .
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Bases e Dimensa˜o
Teorema 0.1
Se S = {→v1, →v2, . . . , →vn} e´ uma base de um espac¸o vetorial V , enta˜o cada
vetor em V pode ser escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear dos
vetores de S, isto e´,
→
v= c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . .+ cn
→
vn.
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Bases e Dimensa˜o
Demonstrac¸a˜o:
Como S e´ uma base de V , cada vetor de V pode ser escrito como
combinac¸a˜o linear dos vetores de S. Suponha que existe um vetor
→
v∈ V ,
tal que
→
v= c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . .+ cn
→
vn (1)
e
→
v= k1
→
v1 +k2
→
v2 + . . .+ kn
→
vn (2)
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Bases e Dimensa˜o
Continuac¸a˜o:
Fazendo (1)-(2), temos que
→
0= (c1 − k1) →v1 +(c2 − k2) →v2 + . . .+ (cn − kn) →vn (3)
Como S = {→v1, →v2, . . . , →vn} e´ linearmente independente, da equac¸a˜o (3),
conclu´ımos que
c1 − k1 = 0⇒ c1 = k1
c2 − k2 = 0⇒ c2 = k2
...
cn − kn = 0⇒ cn = kn
Das igualdades acima, segue que as equac¸o˜es (1) e (2) sa˜o guais.
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Bases e Dimensa˜o
Coordenadas em Relac¸a˜o a uma Base
Se S = {→v1, →v2, . . . , →vn} e´ uma base de um espac¸o vetorial V e se
→
v= c1
→
v1 +c2
→
v2 + . . . cn
→
vn
e´ a expressa˜o de um vetor
→
v∈ V em termos da base S, enta˜o os escalares
c1, c2, . . . , cn sa˜o chamados as coordenadas de
→
v em relac¸a˜o a` base S.
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Bases e Dimensa˜o
O vetor (c1, c2, . . . , cn) em Rn, cujas componentes sa˜o as coordenadas de→
v , e´ chamado vetor de coordenadas de
→
v em relac¸a˜o a S e e´ denotado
por
(
→
v )S = (c1, c2, . . . , cn).
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Bases e Dimensa˜o
Exemplo 0.1
Mostre que S = {→i ,
→
j ,
→
k}, onde
→
i= (1, 0, 0),
→
j= (0, 1, 0),
→
k= (0, 0, 1), e´
uma base de R3. Esta base e´ denominada base canoˆnica de R3.
Soluc¸a˜o:
Exemplo 0.2
O conjunto S = {→e 1,→e 2, . . . ,→e n}, onde→
e1= (1, 0, . . . , 0),
→
e2= (0, 1, . . . , 0), . . . ,
→
en= (0, 0, . . . , 1), e´ uma base de
Rn, denominada base canoˆnica de Rn.
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Bases e Dimensa˜o
Exemplo 0.3
Sejam
→
v1= (1, 2, 1),
→
v2= (2, 9, 0) e
→
v3= (3, 3, 4). Mostre que o conjunto
S = {→v1, →v2, →v3} e´ uma base de R3.
Soluc¸a˜o:
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Bases e Dimensa˜o
Exemplo 0.4
Seja S = {→v1, →v2, →v3} uma base de R3, onde →v1= (1, 2, 1), →v2= (2, 9, 0) e→
v3= (3, 3, 4).
(a) Encontre o vetor de coordenadas de
→
v= (5,−1, 9) em
relac¸a˜o a S.
(b) Encontre o vetor de coordenadas de
→
v= (5,−1, 9) em
relac¸a˜o a base canoˆnica.
(c) Encontre o vetor
→
u em R3 cujo vetor de coordenadas em
relac¸a˜o a` base S e´ (
→
u)S = (−1, 3, 2).
Soluc¸a˜o:
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Bases e Dimensa˜o
Observac¸a˜o 0.1
Um vetor na˜o e´ igual ao seu vetor de coordenadas. Esta igualdade so´
acontece quando a base e´ canoˆnica.
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Bases e Dimensa˜o
Exemplo 0.5
(a) Mostre que S = {1, x, x2} e´ uma base do conjunto dos
polinoˆmios de grau menor ou igual a 2, denotado por P2.
(b) Encontre o vetor de coordenadas do polinoˆmio
p = a0 + a1x+ a2x
2 em relac¸a˜o a` base S = {1, x, x2}.
Soluc¸a˜o:
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Bases e Dimensa˜o
Observac¸a˜o 0.2
O conjunto S = {1, x, x2, . . . , xn} e´ uma base para o espac¸o vetorial Pn
dos polinoˆmios de grau menor ou igual a n, representados por
a0 + a1x+ . . .+ anx
n.
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Bases e Dimensa˜o
Exemplo 0.6
Sejam M1 =
(
1 0
0 0
)
,M2 =
(
0 1
0 0
)
,M3 =
(
0 0
1 0
)
,M4 =
(
0 0
0 1
)
.
Mostre que S = {M1,M2,M3,M4} e´ uma base do espac¸o vetorial das
matrizes 2× 2, representado por M22.
Soluc¸a˜o:
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Bases e Dimensa˜o
Observac¸a˜o 0.3
Se v =
(
a b
c d
)
∈M22, enta˜o
(
a b
c d
)
= a
(
1 0
0 0
)
+ b
(
0 1
0 0
)
+ c
(
0 0
1 0
)
+ d
(
0 0
0 1
)
e o vetor de coordenadas e´ (v)S = (a, b, c, d).
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Bases e Dimensa˜o
Observac¸a˜o 0.4
Se V tem uma base com um nu´mero finito de vetores, digamos n,
enta˜o a V tem dimensa˜o n. Notac¸a˜o: dim(V ) = n.
Se V tem uma base com infinitos vetores, enta˜o V tem dimensa˜o
infinita.
O espac¸o vetorial nulo sera´ definido como sendo de dimensa˜o finita.
Mais especificamente, este espac¸o vetorial sera´ definido como tendo
dimensa˜o zero e sua base e´ o conjunto vazio.
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Bases e Dimensa˜o
Teorema 0.2
Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e {→v1, →v2, . . . , →vn} uma
base qualquer de V .
(a) Um conjunto com mais do que n vetores e´ linearmente
dependente.
(b) Um conjunto com menos do que n vetores na˜o gera V .
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Bases e Dimensa˜o
Teorema 0.3
Qualquer base de um espac¸o vetorial V tem sempre o mesmo nu´mero de
elementos. Este nu´mero e´ chamado dimensa˜o de V e denotado por
dim(V ).
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Bases e Dimensa˜o
Exemplo 0.7
(a) dim(Rn) = n (A base canoˆnica tem n vetores)
(b) dim(Pn) = n+ 1 (A base canoˆnica tem n+ 1 vetores)
(c) dim(Mmn) = mn (A base canoˆnica tem mn vetores)
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Bases e Dimensa˜o
Exemplo 0.8
Determine uma base e a dimensa˜o do espac¸o-soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo
2x1 + 2x2 − x3 + x5 = 0
−x1 − x2 + 2x3 − 3x4 + x5 = 0
x1 + x2 − 2x3 − x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
Soluc¸a˜o:
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Bases e Dimensa˜o
Se S e´ um conjunto LI na˜o-vazio de vetores de um espac¸o vetorial V e se
→
v
e´ um vetor em V tal que
→
v na˜o esta´ em ger(S) enta˜o S ∪ {→v } e´ LI.
Seja S um conjunto na˜o-vazio de vetores de um espac¸o vetorial V . Se
→
v∈ S
pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos outros vetores de S enta˜o S e
S − {→v } geram o mesmo espac¸o.
Seja V um espac¸o vetorial n-dimensional. Se S ⊂ V tem exatamente n
vetores e S gera V , enta˜o S e´ base de V . Se S ⊂ V tem exatamente n
vetores e S e´ LI, enta˜o S e´ base de V .
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Bases e Dimensa˜o
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e S ⊂ V um conjunto finito de
vetores.
(a) Se S gera V , mas na˜o e´ uma base de V , enta˜o S pode ser
reduzido a uma base de V removendo os vetores apropriados.
(b) Se S e´ LI, mas na˜o e´ uma base deV , enta˜o S pode ser
ampliado para uma base de V acrescentando vetores
apropriados.
Se W e´ um subespac¸o de um espac¸o vetorial V de dimensa˜o finita, enta˜o
dim(W ) ≤ dim(V ). Se dim(W ) = dim(V ), enta˜o W = V .
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Exerc´ıcios: Lista 3.3
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