Lista_Complementação Calc 3

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COMPLEMENTAÇÃO_CÁLCULO 3 
Profa. Alexandra Braga 
Disciplina: Cálculo III 
 
 
1. Verifique que y1(t) e y2(t) são soluções das equações diferenciais 
 
(a) y” – y’ = 0, y1(t) = et, y2(t) = cosh t 
(b) y” + 2y’ − 3y = 0, y1(t) = e−3t, y2(t) = et 
(c) ty’ − y = t2, y1(t) = 3t + t2 
 
(d) 2y’ + y = 0, y1(x) = e−x/2 
 
(e) y” − 6y’ + 13y = 0, y1(t) = e3tcos 2t 
2. Encontre a solução geral das equações diferenciáveis. (Fator Integrante) 
 
(a) dy + ycos t = 0 
 
(b) dy + y t2sen t = 0 
(c) tdy + y = tet 
(d) t2 dy + t4y = t4 
(e) dy + 3y = t + e−2t 
(f) dy + y = sen t, t > 0 
dt t 
(g) dy − 2y = t2e2t 
(h) dy + y = 3cos 2t, t > 0 
dt t 
(i) t2 dy + 3ty = sen t , t>0 
dt t 
 
3. Encontre a solução do PVI 
(a) y’ +t2y = t2, y(2) = 0 
(b) y’ -2y = t2e2t, y(0)=0
 
 
(c) dy + 1 y = 1 , y(1) = 0 
dt t 1+t2 
(d) dy + 2 y = cos t, y(π) = 0, x > 0 
dt t t2 
 
 
 
 
 
 
4. Encontre a solução geral das equações diferenciáveis. (Homogêneas) 
a) 2y – xy’=0 b) y’ =����
�
 c) y’= �����
����
 
 
5. Encontre a solução geral das equações de Bernoulli. 
a) y’=� + 
�����	 b) y’ = 5y – ��
�
 c) 2
�y’ = y (�� +	3
� 
 
6. Resolva as equações de primeira ordem determinando um fator integrante para as 
não-exatas. 
a) �3
� + 	���
 + �
 + 4��� = 0 
b) (x�� + 	2��
 + 	3
���� = 0	 
c) (2�� + 	2��
 + 3
���� = 0 
 
7. Utlizando os métodos estudados resolva as EDO’S de segunda ordem não-homogêneas 
abaixo: 
a)y”+4y’-2y = 2x2-3x+6 
b) y” -2y’-3y = 4x-5+6e2x 
c)y”+y = sen2x 
d)y”+3y’+2y = sen(ex) 
8. Verifique se as funções dadas formam soluções LI para a equação dada e 
resolva o problema de valor inicial. Y1(t) = e3x e Y2(t) = e-3x 
 
 
 y’ – 9y =0 
 y(1) =2 
 y’(1)=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Considere uma população de ratos do campo que habitam uma certa área 
rural. Na ausência de predadores, a população de ratos cresce a uma taxa 
proporcional à população atual (discutir se esta hipótese é razoável, exata, 
uma aproximação ruim ou boa...). Para sermos mais específico, suponhamos 
que a taxa de crescimento populacional seja de 0,5 por mês (o que isto 
significa numericamente?). Suponhamos que diversas corujas moram na 
mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos do campo por dia para 
sobreviver. 
 
 
I – Queremos descrever o crescimento populacional dos ratos do campo. 
Devemos construir um modelo matemático (equação diferencial) que descreva 
o problema. Para modelar matematicamente um problema devemos seguir 
alguns passos (regras, procedimentos...). Liste os procedimentos 
fundamentais, para você, que devem ser seguidos num processo de modelagem 
matemática. 
 
 
II – Construa uma equação diferencial que descreva o crescimento 
populacional dos ratos do campo. 
 
 
III – Resolva a equação diferencial obtida. 
 
IV – É possível, com este dados, responder qual será a população de ratos 
depois de 1 ano? Discuta a questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Quanto mais as pessoas acreditam em alguma coisa,q uanto mais se dedicam à ela, mais podem influenciar o seu acontecimento.”