Algebra2_Aula_01_Volume_01

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Anéis quocientes 1
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Meta da aula
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
• Apresentar a relação de congruência módulo I.
• Identificar os passos que levam à caracterização de um anel quociente.
• Apresentar e demonstrar as primeiras propriedades operatórias da congruência 
módulo I.
Apresentar o desenvolvimento da 
estrutura algébrica de anel quociente.
Pré-requisitos
 Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, 
desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de Álgebra I. Você também vai 
precisar dos conceitos de ideal de Z e dos anéis dos inteiros módulo n, 
do seu curso de Álgebra I.
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 INTRODUÇÃO Bem-vindo ao curso de Álgebra II. Aqui vamos estudar duas importantes e belíssimas 
estruturas algébricas: os anéis e os grupos. Estas teorias têm raízes em problemas 
muito longínquos que relativamente há pouco tempo foram resolvidos. 
Nesta aula, vamos copiar a construção dos anéis dos inteiros módulo n, visto 
no seu curso de Álgebra I, para o caso geral de um anel A e de um ideal I de 
A. Portanto, é uma boa idéia rever as aulas daquele curso. Você perceberá uma 
idéia que é recorrente na matemática: a construção de uma estrutura abstrata 
geral seguindo os passos de um exemplo particular muito importante.
EXPANDINDO O CONCEITO DE CONGRUÊNCIA
Definição 1
Sejam A um anel e I um ideal de A. Definimos a seguinte relação 
binária em A:
 a ≡ b (mod I) ⇔ b − a ∈ I
Dizemos, neste caso, que a e b são congruentes módulo I. Esta 
relação satisfaz às seguintes propriedades, que a tornam uma relação 
de equivalência.
Proposição 1
1. Propriedade Reflexiva 
 a ≡ a (mod I) 
2. Propriedade Simétrica 
Se a ≡ b (mod I), b ≡ a (mod I).
3. Propriedade Transitiva 
Se a ≡ b (mod I) e b ≡ c (mod I), então a ≡ c (mod I).
Demonstração
1. Basta observar que a − a = 0 ∈ I.
2. Como a ≡ b (mod I), então b − a ∈ I. Assim, a − b = −I.
(b − a) ∈ I, pela condição I2 de subanel. Logo, b ≡ a (mod I). �
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GENERALIZANDO AS CLASSES DE CONGRUÊNCIA
Agora, que vimos que a congruência módulo I é uma relação 
de equivalência, sabemos que o anel A fica decomposto em classes de 
equivalência. São subconjuntos disjuntos, cuja união é todo o anel 
A, caracterizando o que chamamos de uma partição de A. Será neste 
conjunto de classes de equivalência que definiremos operações de adição 
e multiplicação, de modo a transformá-lo num anel.
Definição 2
Sejam A um anel, I um ideal de A, e a ∈ A. Definimos a classe 
residual de a módulo I (também chamada classe de congruência de a 
módulo I) como sendo o conjunto
 
 a = a + I = {a + x x ∈ I}.
A próxima proposição afirma que as classes de congruência são 
exatamente as classes de equivalência da relação congruência módulo I.
Proposição 2
Sejam A um anel, I um ideal de A, e a, b ∈ A. Então a ≡ b (mod I) 
se, e somente se, a = b.
ATIVIDADE 
1. Prove a propriedade transitiva da congruência módulo I.
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 Demonstração
(⇒) Vamos provar a inclusão a ⊂ b. Como a ≡ b (mod I), então 
y = b − a ∈ I. Assim, a = b − y. Agora, um elemento genérico de a é da 
forma a + x com x ∈ I. Segue que:
 a + x = (b − y) + x 
 = b + (x − y) ∈ b ,
pois x − y ∈ I. A inclusão inversa, b ⊂ a, é análoga, e será uma 
atividade para você.
(⇐) Temos a = b, então b = b + 0 ∈ b = a. Como b ∈ a, existe 
x ∈ I, tal que b = a + x. Portanto, temos b − a = x ∈ I, ou seja, a ≡ b 
(mod I).�
Vamos, agora, demonstrar a propriedade da partição que a 
congruência módulo I gera no anel A.
Proposição 3
1. Se a ∩ b ≠ ∅, então a = b.
2.
Demonstração
1. Como a ∩ b ≠ ∅, existe um elemento c ∈ a ∩ b. De c ∈ a, 
temos que c = a + x com x ∈ I. De c ∈ b, temos que c = b + y, com 
y ∈ I. Logo, b + y = a + x, o que nos dá: 
 b − a = x − y ∈ I,
ou seja, a ≡ b (mod I). Pela Proposição 2, segue que a = b.
2. Temos a ∈ a para todo a ∈ A, então Como, clara-
mente, então segue que .
 Denotamos por A/I o conjunto das classes residuais módulo I, 
ou seja, 
a A.
Aa∈
=
U
A a.
A
⊂
∈a
U
a A,
Aa∈
=
U
a A,
Aa∈
⊂
U
A/I a a A .= ∈{ }
�
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 O próximo passo é a definição das operações de adição e 
multiplicação em A/I.
Definição 3
Em A/I, definimos as seguintes operações:
Adição: a + b = a + b;
Multiplicação: a . b = a . b.
Observação
 Como a = a + I, uma outra notação muito utilizada para as 
operações de adição e multiplicação, definidas anteriormente, é:
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I;
(a + I) . (b + I) = (a . b) + I.
 A próxima proposição mostra que estas operações, em A/I, estão 
bem definidas, na medida em que não dependem dos representantes 
a e b das classes residuais a e b, respectivamente.
Proposição 4
Se a = a1 e b = b1, então:
1. a + a = a1 + b1;
2. a . b = a1 . b1.
Demonstração
1. Se a = a1, então, pela Proposição 2, a ≡ a1 (mod I), ou seja, 
a1 − a = x, com x ∈ I. Analogamente, de b = b1, segue que 
b1 − b = y, com y ∈ I. Então,
(a1 + b1) − a + b = (a1 − a) + (b1 − b) 
 = x + y ∈ I,
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 logo, (a + b) ≡ (a1 + b1) (mod I), ou seja, a + b = a1+ b1. 
Portanto,
 a + b = a + b = a1 + b1 = a1+ b1.
2. Esta parte é um pouco mais trabalhosa, pois depende de um 
certo traquejo algébrico. Como anteriormente, se a = a1, então a1 − a = 
x, com x ∈ I, e, de b = b1 , segue que b1 − b = y, com y ∈ I. Então,
(a1 . b1) − (a . b) = (a1 . b1 − a . b1) + (a . b1 − a . b)
 = (a1 − a ). b1 + a . (b1 − b)
 = x . b1 + a . y ∈ I, 
pois, x . b1 ∈ I e a . y ∈ I. Portanto, (a . b) ≡ (a1 . b1)(mod I), ou 
seja, a . b = a1 . b1 . Assim,
 a . b = a . b = a1 . b1 = a1 . b1 
Podemos, agora, completar nossa construção. Segue que (A/I, +, ⋅) é 
um anel, chamado de anel quociente, ou anel das classes residuais módulo I, 
cujo zero é dado por 0 e cuja unidade é dada por 1.
Exemplo 1
 Sejam (Z, +, .) o anel dos inteiros e I o ideal de Z dado por
 I = 12Z = {12k k ∈ Z}.
 
 Então o anel Z/I = {a + I a ∈ Z} consiste em 12 elementos:
 
 Z/I = {0 + I, 1 + I, 2 + I, ..., 11+ I}
 = {0, 1, 2, ..., 11}
 = Z
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que são as classes residuais módulo 12. Como 12 não é um número 
primo, então, por teorema dado no Volume III de Álgebra I, Z/I é anel, 
mas não é um domínio.
. �
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 CONCLUSÃO
 Se você achou esta aula mais abstrata, não se preocupe, pois 
ela é mesmo. Apesar de termos feito uma construção semelhante à que 
você fez no seu curso de Álgebra I, qualquer passagem de uma estrutura 
algébrica, como um anel, para uma estrutura quociente, como o anel 
quociente, requer um salto de abstração. Tenha paciência e insista na 
compreensão destes conceitos. Eles são importantes na Álgebra e serão 
utilizados ao longo de todo o curso de Álgebra II.
ATIVIDADE FINAL
1. Verifique que os axiomas de anel valem para (A/I, +, .).
R E S U M O
A construção darelação de equivalência que consiste na congruência módulo I, é o 
primeiro passo da construção do anel quociente, feita por meio da introdução das 
operações de adição e multiplicação no conjunto das classes residuais módulo I. Tudo 
isto, seguindo a construção análoga que foi feita no seu curso de Álgebra I, para 
obter-se o anel dos inteiros módulo n.
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Atividade 1
De a ≡ b (mod I), temos que x = b − a ∈ I. De b ≡ c (mod I), temos y = c − b ∈ I. 
Então 
 c − a = (c − b) + (b − a)
 = y + x ∈ I ,
ou seja, a ≡ c (mod I).
Atividade Final
Percorra cada um dos axiomas que definem um anel, lembrando que os elementos 
neutros são 0 e 1. Por exemplo,
A1. Associatividade da Adição:
a + (b + c) = a + b +c
 = a + (b + c)
 = (a + b) + c
 = a + b +c
 = (a + b) + c.
RESPOSTAS