Gabarito P1 2 (2023)_1774360697

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U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D O A B C 
Disciplina: BC0005 – DB1BIN0406-15SA Avaliação: P1 
 Professor: Ailton Paulo de Oliveira Jr Turma: Quinta-Feira 06/07/2023 - 
10h00min 
 
Instruções para a prova (leia antes de começar): 
A) Não pode haver consulta a qualquer material. 
B) Pode ser utilizado lápis, caneta, borracha e calculadora científica. 
C) É proibido o uso de qualquer aparelho ou recurso de processamento e/ou comunicação. 
 
QUESTÃO 01 (1,0 ponto) Dez policiais federais (dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes) foram 
designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. 
O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um 
delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 
INDIQUE SE É VERDADEIRO OU FALSO E JUSTIFIQUE SUA OPÇÃO. 
 
a) há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 
b) se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de 
maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares (motorista e mais quatro 
passageiros) será superior a 100. 
 
Item a) 
Temos 
1) duas opções para delegados 
2) duas opções para peritos 
3) duas opções para escrivães 
4) duas entre quatro opções para agentes. Nessa situação temos que: 
l escolher os dois agentes temos uma combinação de 4, tomados 2 a 2: 
 
 
Assim a solução será: 2x2x2x6= 48 100. 
 
Resposta: VERDADEIRO 
 
QUESTÃO 02 (1,0 pontos) Se um time de futebol jogou 13 partidas em um campeonato, tendo perdido 5 jogos, 
empatado 2 e vencido 6 jogos, de quantos modos isto pode ter ocorrido? 
 
É apenas a permutação de 13 elementos com repetições (5 derrotas, 2 empates e 6 vitórias). Assim, isso pode ocorrer de 
 
𝑃𝑅!;#;$%& =
13!
5! ∗ 2! ∗ 6!
=
13 ∗ 12 ∗ 11 ∗ 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6!
5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 6!
= 36036𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
QUESTÃO 03 (1,8 pontos) Uma família dentro de seu carro, indo para a cidade de alguns de seus parentes (Resende), 
resolveram vivenciar uma pequena aventura. Para fazer isso, escolheram aleatoriamente cada um dos cruzamentos 
que encontraram na estrada. Partiram e quando já tinham percorrido 60 km saíram da via principal, podendo 
escolher entre duas estradas: A ou B. Se forem pela estrada A chegariam a um ponto em que poderiam escolher entre 
duas estradas regionais: A1 ou A2. A estrada regional A1 leva a uma cidade que não conhecem, enquanto a A2 leva 
diretamente à cidade de seus parentes (Resende). No entanto, se forem pela estrada B, chegarão a um ponto em que 
terão de escolher entre três estradas regionais: B1, B2 ou B3. Se escolherem a estrada regional B3 os levará 
diretamente à cidade que desejam ir, enquanto as outras levarão a outras duas cidades que não conhecem. O que é 
mais provável: chegar à cidade que não desejam ou chegar em Resende? APRESENTAR OS CÁLCULOS E 
JUSTIFICAR A RESPOSTA. 
 
Pelos dados do enunciado temos que: 
P(A) = %
#
 
P(B) = %
#
 
P(A1/A) = %
#
 
P(A2/A) = %
#
 
P(B1/B) = %
&
 
P(B2/B) = %
&
 
P(B3/B) = %
&
 
 
Assim, a probabilidade de chegar à Resende é indicada por: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐴2) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐵3) = 𝑃(A) ∗ P(A2/A) + 𝑃(B) ∗ P(B3/B) = %
#
∗ %
#
+ %
#
∗ %
&
 = %
'
+ %
$
= &(#
%#
= !
%#
= 0,4167 
 
A probabilidade de chegar em outra cidade, diferente daquela que a família deseja chegar, é indicada por: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐴1) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐵1) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐵2) = 𝑃(A) ∗ P(A1/A) + 𝑃(B) ∗ P(B1/B) + 𝑃(B) ∗ P(B2/B) = %
#
∗ %
#
+ %
#
∗ %
&
+ %
#
∗ %
&
 
= %
'
+ %
$
+ %
$
= &(#(#
%#
= )
%#
= 0,5833 
 
Como P(não chegar à Resende) = 0,5833 é maior do P(chegar à Resende) = 0,4167, então torna-se mais provável não chegar 
à cidade em que os primos da família aventureira residem. 
 
QUESTÃO 04 (1,2 pontos) Duas urnas A e B contêm 10 bolas cada uma, algumas das quais são pretas e outras 
brancas. Fazemos 1000 extrações de cada urna, sempre devolvendo a bola para a urna depois de extraída. Na urna 
A, obtivemos 324 bolas brancas e 676 bolas pretas. Na urna B os resultados foram 510 bolas brancas e 490 bolas 
pretas. 
 
a) Quantas bolas brancas e pretas você acha que há na urna A? E na urna B? Justifique sua resposta. 
b) Qual é a probabilidade de retirar uma bola preta no 1001º sorteio na urna A? Por quê? 
c) Qual é a probabilidade de sair uma bola preta na urna B? Por quê? 
 
Item a) 
Os participantes foram solicitados a estimar o número de bolas brancas (b) e pretas (p) em cada urna, usando os resultados 
fornecidos a partir de uma amostra de 10000 extrações de cada urna. Como o tamanho da amostra e os resultados são 
independentes, a probabilidade de cada cor deve ser estimada a partir da frequência relativa. Para a primeira urna, os valores 
são 0,3245 (b) e 0,6755 (p), e os valores são 0,5104 (b) e 0,4896 (p) para a segunda urna. O valor esperado do número é 
dado pelo produto da frequência relativa de cada cor pelo número de bolas nas urnas, ou seja, 3,245 e 6,755 para a primeira 
urna e 5,104 e 4,896 para a segunda. Como o número de bolas é um número natural, o arredondamento fornece a melhor 
estimativa para o número de bolas pretas e brancas, ou seja, na urna A haveria 3 bolas brancas e 7 bolas pretas e na urna B 
seriam 5 bolas brancas e 5 bolas pretas. 
Item b e c) 
Depois de determinada a composição mais provável das urnas conforme o item a), deve-se aplicar a definição clássica de 
probabilidade para responder ao item b). Consequentemente, na urna A, a probabilidade de sair bola preta seria 7/10 ou 0,7 
ou 0,6755 e na urna B a probabilidade seria ½ ou 0,5 ou 0,5104. 
 
QUESTÃO 05 (2,0 pontos) Em um exame, há 2 disciplinas de dificuldade máxima, 5 de dificuldade média e 3 de 
dificuldade baixa, das quais uma é escolhida aleatoriamente. A probabilidade de um aluno passar no exame se o 
tópico for de dificuldade máxima é 1/9, se for de dificuldade média 3/5 e se for de dificuldade baixa 3/4. Encontre a 
probabilidade de o tema escolhido ser de dificuldade máxima, caso o aluno seja aprovado. 
 
Indicação de Resposta: 
 
Os dados do problema nos dizem que: 
 
P (Disciplina dificuldade máxima) = 2/10 = 1/5 
P (Disciplina dificuldade média) = 5/10 = 1/2 
P (Disciplina dificuldade baixa) = 3/10 
 
P(ser aprovado/ disciplina dificuldade máxima) = 1/9 
P(ser aprovado/ disciplina dificuldade média) = 3/5 
P(ser aprovado/ disciplina dificuldade baixa) = 3/4 
 
P (disciplina dificuldade máxima /aluno foi aprovado) = ?? 
 
Portanto, o Teorema de Bayes, escrito nos termos deste problema, nos diz que: 
 
𝑃(𝑑𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜⁄ 𝑓𝑜𝑖𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜) = 
𝑃(𝐷𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎) ∗ 𝑃(𝑠𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎⁄ 𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎)
𝑃(𝐷𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎) ∗ 𝑃(𝑠𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎⁄ 𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎) + 𝑃𝑃(𝐷𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎) ∗ 𝑃(𝑠𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎⁄ 𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎) + 𝑃(𝐷𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎) ∗ 𝑃(𝑒𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑖𝑝𝑙𝑖𝑛𝑎⁄ 𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎) 
1
5 ∗
1
9
1
5 ∗
1
9 +
1
2 ∗
3
5 +
3
10 ∗
3
4
=
1
45
1
45 +
3
10 +
9
40
=
1
45
8 + 108 + 81
360
=
1
45
197
360
=
1
45
∗
360
197
=
8
197
= 0,00406𝑜𝑢 4,06% 
 
QUESTÃO 06 (1,5 pontos) Uma caixa contém 10 iogurtes, estando 4 estragados. Retiram-se 3, com reposição: (a) 
Sendo X o número de iogurtes estragados, determine a função probabilidade de X; (b) Calcule P [1estragado) = 1 – P(iogurte estragado) = 1 – 0,4 = 0,6 
 
Seja X: número de homens selecionadas na amostra na lista com três alunos. 
 
P(X=3) = P(E1 Ç E2 Ç E3) = 0,4 * 0,4 * 0,4 = 0,064 
P(X=2) = P(E1 Ç E2 Ç NE3) + P(E1 Ç NE2 Ç E3) + P(NE1 Ç E2 Ç E3) = 0,4*0,4*0,6 + 0,4*0,6*0,4 + 0,6*0,4*0,4 = 0,288 
P(X=1) = P(E1 Ç NE2 Ç NE3) + P(NE1 Ç NE2 Ç E3) + P(NE1 Ç E2 Ç NE3) = 0,4*0,6*0,6 + 0,6*0,6*0,4 + 0,6*0,4*0,6 = 
0,432 
P(X=0) = P(NE1 Ç NE 2 Ç NE 3) = 0,6 * 0,6 * 0,6 = 0,216 
 
Item 1) 
Xi 0 1 2 3 
P(Xi) 0,216 0,432 0,288 0,064 
 
Item 2) P (1