Integral de Produtos com Seno ou Cosseno

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Introduc¸a˜o
Nas aulas anteriores no´s estudamos te´cnicas para calcular integrais
envolvendo poteˆncias de seno ou de cosseno.
Nesta aula estudaremos como calcular integrais envolvendo o
produto com seno ou cosseno.
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 5x cos 2x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a cos b =
1
2
[ sen (a + b) + sen (a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 5x cos 2x dx =
∫
1
2
[ sen 7x + sen 3x ] dx
=
1
2
∫
sen 7x dx +
1
2
∫
sen 3x dx
= − 1
14
cos 7x − 1
6
cos 3x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 5x cos 2x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a cos b =
1
2
[ sen (a + b) + sen (a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 5x cos 2x dx =
∫
1
2
[ sen 7x + sen 3x ] dx
=
1
2
∫
sen 7x dx +
1
2
∫
sen 3x dx
= − 1
14
cos 7x − 1
6
cos 3x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 5x cos 2x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a cos b =
1
2
[ sen (a + b) + sen (a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 5x cos 2x dx =
∫
1
2
[ sen 7x + sen 3x ] dx
=
1
2
∫
sen 7x dx +
1
2
∫
sen 3x dx
= − 1
14
cos 7x − 1
6
cos 3x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 5x cos 2x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a cos b =
1
2
[ sen (a + b) + sen (a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 5x cos 2x dx =
∫
1
2
[ sen 7x + sen 3x ] dx
=
1
2
∫
sen 7x dx +
1
2
∫
sen 3x dx
= − 1
14
cos 7x − 1
6
cos 3x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 5x cos 2x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a cos b =
1
2
[ sen (a + b) + sen (a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 5x cos 2x dx =
∫
1
2
[ sen 7x + sen 3x ] dx
=
1
2
∫
sen 7x dx +
1
2
∫
sen 3x dx
= − 1
14
cos 7x − 1
6
cos 3x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 4x sen 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a sen b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a + b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 4x sen 3x dx =
∫
1
2
[cos x − cos 7x ] dx
=
1
2
∫
cos x dx − 1
2
∫
cos 7x dx
=
1
2
sen x − 1
14
sen 7x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 4x sen 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a sen b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a + b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 4x sen 3x dx =
∫
1
2
[cos x − cos 7x ] dx
=
1
2
∫
cos x dx − 1
2
∫
cos 7x dx
=
1
2
sen x − 1
14
sen 7x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 4x sen 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a sen b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a + b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 4x sen 3x dx =
∫
1
2
[cos x − cos 7x ] dx
=
1
2
∫
cos x dx − 1
2
∫
cos 7x dx
=
1
2
sen x − 1
14
sen 7x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 4x sen 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a sen b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a + b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 4x sen 3x dx =
∫
1
2
[cos x − cos 7x ] dx
=
1
2
∫
cos x dx − 1
2
∫
cos 7x dx
=
1
2
sen x − 1
14
sen 7x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 4x sen 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
sen a sen b =
1
2
[cos(a− b)− cos(a + b)].
Desse modo, ficamos com∫
sen 4x sen 3x dx =
∫
1
2
[cos x − cos 7x ] dx
=
1
2
∫
cos x dx − 1
2
∫
cos 7x dx
=
1
2
sen x − 1
14
sen 7x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
cos 5x cos 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
cos 5x cos 3x dx =
∫
1
2
[cos 8x + cos 2x ] dx
=
1
2
∫
cos 8x dx +
1
2
∫
cos 2x dx
=
1
16
sen 8x +
1
4
sen 2x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
cos 5x cos 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
cos 5x cos 3x dx =
∫
1
2
[cos 8x + cos 2x ] dx
=
1
2
∫
cos 8x dx +
1
2
∫
cos 2x dx
=
1
16
sen 8x +
1
4
sen 2x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
cos 5x cos 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
cos 5x cos 3x dx =
∫
1
2
[cos 8x + cos 2x ] dx
=
1
2
∫
cos 8x dx +
1
2
∫
cos 2x dx
=
1
16
sen 8x +
1
4
sen 2x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
cos 5x cos 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
cos 5x cos 3x dx =
∫
1
2
[cos 8x + cos 2x ] dx
=
1
2
∫
cos 8x dx +
1
2
∫
cos 2x dx
=
1
16
sen 8x +
1
4
sen 2x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
cos 5x cos 3x dx .
Primeiro vamos reescrever o integrando usando a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Desse modo, ficamos com∫
cos 5x cos 3x dx =
∫
1
2
[cos 8x + cos 2x ] dx
=
1
2
∫
cos 8x dx +
1
2
∫
cos 2x dx
=
1
16
sen 8x +
1
4
sen 2x + c
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Procedimento
∫
senmx cos nx dx .
Reescreva o integrando como
senmx cos nx =
1
2
[ sen (mx + nx) + sen (mx − nx)].
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Procedimento
∫
senmx sen nx dx .
Reescreva o integrando como
senmx sen nx =
1
2
[cos(mx − nx)− cos(mx + nx)].
Integral de Produtos com Seno ou Cosseno
Procedimento
∫
cosmx cos nx dx .
Reescreva o integrando como
cosmx cos nx =
1
2
[cos(mx + nx) + cos(mx − nx)].