MAT021_Lista_Sistemas_Lineares_3

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MAT021 - LISTA
PARTE III: SISTEMAS LINEARES DE EDO’s
3. AUTOVALORES REAIS IGUAIS
Prof. Leandro G. Gomes
Questa˜o 1: Matrizes 2× 2 com dois autovalores reais iguais
Para cada uma das matrizes 2× 2 abaixo proceda da seguinte forma:
(i) Encontre seus autovalores λ1 e λ2 e verifique que sa˜o iguais;
(ii) Encontre pelo menos um autovetor de A. Existem dois autovetores L.I. ?
(iii) Desenhe todas as retas invariantes por A em R2;
(iv) Escolha 2 pontos diferentes da origem em R2: (x1, y1) na reta associada ao autovalor λ1 e (x2, y2)
fora desta. Aplique A em cada um destes pontos e os represente geometricamente. O ponto A(x1, y1)
permanece sobre a reta associada ao autovalor λ1? Por queˆ ? O ponto A(x2, y2) esta´ sobre alguma
reta associada a um autovalor? Por queˆ ?
As matrizes sa˜o:
(a)A =
(
3 1
0 3
)
(b)A =
(−2 0
3 −2
)
(c)A =
(
3 1
−1 1
)
(d)A =
(
0 −4
1 4
)
(e)A =
(√
2 −1
1
2 0
)
(f)A =
(
a 0
0 a
)
Questa˜o 2: Sistema ineares de EDO’s com autovalores reais iguais
Para cada uma das matrizes da questa˜o 1, tome o sistema linear de EDO’s
d
dt
~r = A~r
e proceda da seguinte forma:
(i) Encontre uma soluc¸a˜o ao longo da reta invariante associada ao autovalor λ1 ;
(ii) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema ;
(iii) Desenhe o retrato de fases do sistema e classifique os pontos de equil´ıbrio isolados. (Na˜o se esquec¸a
de determinar os eixos dos autovetores e que em geral soluc¸o˜es fora deste eixo na˜o sa˜o retas. )
1
(iv) Encontre explicitamente a u´nica soluc¸a˜o que no instante t = 0 passa pelo ponto
~r0 =
(−1
1
)
(v) Desenhe a soluc¸a˜o do item (iv) no plano de fases e verifique se ela e´ uma reta;
Questa˜o 3: Se qualquer vetor na˜o nulo ~V e´ autovetor da matrix A, enta˜o como e´ A ? Encontre todas
as soluc¸o˜es do sistema
d
dt
~r = A~r
e desenhe seus poss´ıveis retratos de fases.
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