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1 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL 
DDCCEEEEnngg –– DDeeppaarrttaammeennttoo ddee CCiiêênncciiaass EExxaattaass ee EEnnggeennhhaarriiaass 
 
 
COMPONENTE CURRICULAR: Cálculo II 
 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 
 
Parte 1: Anti-diferencial: Técnicas de integração 
1.1. Integração por substituição 
1.2. Integração por partes 
1.3. Integração de potências de funções trigonométricas 
1.4. Integração por substituição trigonométrica 
1.5. Integração de funções racionais 
 
 
Parte 2: Teorema fundamental do cálculo 
2.1. Integral definida 
2.2. Aplicações de Integrais 
 
 
Parte 3: Derivadas Parciais 
3.1. Funções de Duas ou mais variáveis 
3.2. Limites e Continuidade 
3.3. Derivadas parciais 
3.4. Diferenciabilidade e Regra da cadeia 
3.5. Derivada direcional e gradiente 
3.6. Derivada de ordem superior 
3.7. Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
2 
 
Parte 1: Anti-diferencial: Técnicas de integração 
 
ANTI-DIFERENCIAL OU INTEGRAL 
 Chama-se antidiferenciação ou integração a operação inversa da diferenciação, ou seja: 
 
integração 
 
 
y = f(x) → dy = f ′ (x) dx 
 
 
diferenciação 
 
 Seja f(x) uma função contínua num certo intervalo [a, b]. A primitiva da função f é uma função F(x), 
tal que: F’(x) = f(x) 
 
 
Exemplos 
1) x3 é primitiva de 3x2? 2) x3 + 2 é primitiva de 3x2? 
 sim, porque a derivada de x3 é 3x2 sim, porque a derivada de x3 + 2 é 3x2 
 
3) x3 + 100 é primitiva de 3x2? 4) x4 é primitiva de 4x? 
 sim, porque a derivada de x3 + 100 é 3x2 não, porque a derivada de x4 é 4x3 
 
 
 Se F(x) é primitiva de f(x) indicamos: ∫= dxf(x))x(F . Mas como F(x) + c também é primitiva da f(x) 
então podemos indicar: 
 
∫ += cF(x)dxf(x) 
 
O símbolo (operador) ∫ denota a operação de antidiferenciação (Integral). 
 
 
Teoremas de integração 
 
1. ∫ −≠++
=
+
1nC
1n
x
dxx
1n
n 
 
2. ∫ += cxdx 
 
3. ∫ ∫= dxf(x)adxf(x)a 
 
4. ∫ ∫ ∫+=+ (x)dxf(x)dxf(x)]dxf(x)[f 2121 
 
 
3 
 
Exercícios: Resolva as integrais indefinidas 
 
1. dxx 5∫ = 
 
2. ds)4s3( 2∫ + = 
 
3. dxxp2∫ = 
 
4. dx
x
1x
∫
+
 = 
 
5. dx
x
4x5x
2
23
∫
−+
 = 
 
 
6. O custo marginal da fabricação de x unidades de um produto tem como modelo a seguinte 
equação x04,032
dx
dC
−= (Custo Marginal). A produção da primeira unidade custa $50. Ache o Custo 
Total da produção de 200 unidades. 
 
 
7. Ache a Função Custo correspondente ao custo marginal 4
x20
1
dx
dC
+= com custo de $750 para x = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 1 no final da apostila. 
 
 
 
 
 
4 
 
1.1. Integração por substituição de variável 
 
∫ +=′ cx))(g(G(x)]dxgf(g(x))[ 
 
Exemplo. Calcular ∫ + dx3xx2
2 
Seja g(x) = x2 + 3, realizamos a substituição g(x) = u, ou seja: 
3xu 2 += e portanto teremos dxx2du = logo 
duudx.2x
dx2x
du
udx2x3x 2
1
2
∫∫∫ ==+ c3
u2
c
u 3
2
3
2
3
+=+= 
Como 3xu 2 += , então c
3
)3x(2
dx3xx2
32
2 +
+
=+∫ 
 
Exercícios: Calcule as seguintes integrais indefinidas. 
 
1. ( ) dxx212 4∫ + 
2. dx4x5x10 2∫ − 
3. ( ) dx1x 4∫ − 
4. dx
)3x2x(
1x
22∫
−+
+
 
5. dx
3x4x
2x
2∫ +−
−
 
 
 
Integral da função exponencial 
 
 ∫ += cedue
uu ∫ +−=
−− cedue uu ∫ += caln
a
dua
u
u 
 
Exemplos 
 
∫ dx5
x3 u = 3x du = 3dx , logo 
∫∫ +== c)5ln(3
5
du5
3
1
dx5
x3
ux3 
 
Exercícios 
a) ∫
− dxe x52 b) dx
2
ee xx
∫
−+
 
 
 
 
5 
 
Integral da função logarítmica 
 
∫ += c|u|lnduu
1
 
 
Exemplo 
 ∫
− x23
dx
 u = 3 – 2x du = -2dx, logo 
 c)x23ln(
2
1
du
u
1
2
1
x23
dx
+−−=
−
=
−
∫∫ 
 
Exercícios 
a) ∫ x
dx
 b) ∫ + 1x
dx4
 
 
 
 
Integral das funções trigonométricas 
 
Comecemos com uma pequena tabela de Integrais Trigonométricas ... 
 
 
 ● ( ) ( )∫ += Cusenduucos ● ( ) ( ) ( )∫ +−= Cuseccosduugcot.useccos 
 
 ● ( ) ( )∫ +−= Cucosduusen ● ( ) ( ) ( ) CucoslnCuseclnduutg +−=+=∫ 
 
 ● ( ) ( )∫ += Cutgduusec2 ● ( ) ( )∫ += Cusenlnduugcot 
 
 ● ( ) ( ) ( )∫ += Cusecduutg.usec ● ( ) ( ) ( )∫ ++= Cutguseclnduusec 
 
 ● ( ) ( )∫ +−= Cugcotduuseccos 2 ● ( ) ( ) ( )∫ +−= Cugcotuseccoslnduuseccos 
 
 
Demais possibilidades ver tabela das fórmulas 
 
 
Exemplos 
 
1) dx
x
)xcos(ln
∫ u = ln(x) dxx
1
du = 
dx
x
)xcos(ln
∫ = c)x(lnsendu)ucos( +=∫ 
 
2) ∫ dx)x3(tg u = 3x du = 3dx 
( ) c|x3cos|ln
3
1
du)u(tg
3
1
dx)x3(tg +−== ∫∫ 
6 
 
3) ∫ )x2(cos
dx
2
 u = 2x du = 2dx 
( )∫ ∫∫ +=== cx2tg2
1
duusec
2
1
ucos
du
2
1
)x2(cos
dx 2
22
 
 
 
Exercícios: Calcular as integrais indefinidas 
 
1. ( )∫ dxxcos2 = 
2. ( )∫ dxxsenx3 32 
3. ( )∫ dxx2sen 
4. ( )∫ dxxcosx 2 
5. ∫ dx)x3(tg 
6. ∫ 




dx
2
x
sec2 
7. ( ) ( )∫ dxx3tgx3sec 
8. 
( )
( )∫ dxx2tg
x2sec2
 
 
 
1.2. Integração por partes 
 
 O processo de integração por partes é indicado quando o integrando possui um produto do tipo: 
� função potência x função logarítmica; 
� função potência x função trigonométrica; 
� função potência x função exponencial. 
 E todas as outras decorrentes da combinação entre estas funções. 
 
Tomando como ponto de partida a Derivação pela Regra do Produto temos ... 
 'uvv'u)uv(
dx
d
+= (Regra do Produto) 
 
∫ ∫∫ +=



dx'uvvdx'u)uv(
dx
d
 (Integrando ambos os lados) 
 
7 
 
∫ ∫+= dx'vudx'uvuv (Reescrevendo a expressão) 
 
 ∫ ∫+= dvuduvuv (Escrevendo na forma diferencial) 
 
∫ ∫−= duvuvdvu Integração por Partes com u e v funções diferenciáveis de x. 
 
 
A integral por partes pode ser aplicada sucessivas vezes para um mesmo exercício. Quando um dos 
fatores, for potência procura-se diminuir o expoente desta potência. 
 
Dica: Ao aplicarmos esta técnica devemos separar o integrando em duas partes, u e dv, levando em conta 
duas situações: 
1º- A parte escolhida como dv deve ser facilmente integrável; 
2º - ∫ vdu deve ser mais simples do que ∫udv . 
 
Exemplo 
1) ∫ dxex
x u = x dv = exdx 
 du = dx v = ex 
 
∫∫ −= dxexedxex
xxx cexedxex xxx +−=∫ 
 
 
Exercícios 
 
a) ∫ dx)x2(xsen b) ∫ dx)x(sene
x c) ∫ dx)xln(x 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 2 no final da apostila. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
1.3. Integrais envolvendo potências de funções trigonométricas 
 
SENO E COSSENO 
 
Caso 1. ∫ duusen
n ou ∫ duucos
n onde n é um número inteiro ímpar 
 
Usamos xsen1xcos,xcos1xsenentão,1xcosxsen 222222 −=−==+ . 
 
 
Exemplo: ∫ dxxcos
3 
∫ ∫∫ −=−= dx)xxsencosx(cosdx)xsen1(xcosdxxcos
223 = ..... 
 
 
Caso 2. ∫ duusen
n ou ∫ duucos
n onde n é um número par 
Usamos: 
2
x2cos1
xcos
2
x2cos1
xsen
2
2
+
=
−
=
 
 
Exemplo: ∫ dxxsen
2 
∫ ∫∫ −=
−
= dx)x2cos1(
2
1
dx
2
x2cos1
dxxsen2 =..... 
 
 
Caso 3. ∫ dxxcosxsen
mn onde pelo menos um dos expoente é ímpar (abre-se o expoente ímpar e 
substitui-se). 
Usamos xsen1xcos,xcos1xsenentão,1xcosxsen 222222 −=−==+ . 
 
Exemplo: ∫ dxxcosxsen
43 
∫∫∫ −== dx)x(cos))x(cos1)(x(sendx)x(cos)x(sen)x(sendxxcosxsen
424243 
 
∫ ∫∫ −=−= dx)x(cos)x(sen)x(cos)x(sendx)x(cos))x(cos)x(sen)x(sex(dxxcosxsen
644243 =..... 
 
 
Caso 4. ∫ dxxcosxsen
mn onde m e n são pares 
Usamos: 
2
x2cos1
xcos
2
x2cos1
xsen
2
2
+
=
−
=
 
 
Exemplo: ∫ dxxcosxsen
22 
∫∫∫ −=



 +





 −
= dx)x2(cos1
4
1
dx
2
)x2cos(1
2
)x2cos(1
dxxcosxsen 222 = ...... 
9 
 
TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE 
 
 
Caso 1. ∫ ∫ udugcotouudutg
nn n inteiro positivo. 
Usamos: );1u(secutgutg 22nn −= − 
).1usec(cosugcotugcot 22nn −= −
 
 
Exemplo: ∫ xdxtg
4 
 
∫ ∫∫ −=−= dx)xtgxsecxtg(dx)1x(secxtgxdxtg
222224 = ..... 
 
 
 
Caso 2. ∫ ∫ positivoparnuduseccosouudusec
nn 
Usamos: usec)1utg(usec 22
2n
2n
−
+= useccos)1ug(cotuseccos 22
2n
2n
−
+= 
 
Exemplo: ∫ xdxseccos
4 
( )∫ ∫∫ +=+= dxxseccosxseccosxgcotdxxseccos)1xg(cotxdxseccos 222224 = .... 
 
 
 
Caso 3. ∫ ∫ uduseccosouudusec
nn n ímpar positivo. 
Usamos Integração por partes. 
 
Exemplo: ∫ xdxsec
3 
 
∫∫ = dx)x(sec)xsec(xdxsec
23 através da integração por partes temos 
u = sec(x) dv = xdxsec2 
du = sec(x)tg(x) dx v = )x(tg 
 
então 
∫∫ −= dx)xsec()x(tg)x(tg)xsec(xdxsec
23 
∫∫ −−= dx)xsec()1)x((sec)x(tg)xsec(xdxsec
23 
∫∫ −−= dx)xsec()x(sec)x(tg)xsec(xdxsec
33 
∫∫ += dx)xsec()x(tg)xsec(xdxsec2
3 
c
2
|)x(tg)xsec(|ln
2
)x(tg)xsec(
xdxsec3 +
+
+=∫ 
 
 
 
 
 
10 
 
1.4. Integração por substituição trigonométrica 
 
 Até agora resolvemos integrais envolvendo potências e produtos de funções trigonométricas. 
Surgem integrais que envolvem expressões tais como: 222 uba − , 222 uba + e 222 aub − . É possível 
resolver estas integrais fazendo uma substituição trigonométrica, que resulta em uma integral de funções 
trigonométricas. 
Podemos expressá-las sem os radicais, utilizando a chamada Substituição Trigonométrica, 
conforme a tabela: 
 
Caso Radical Subs. Trigonométrica Transformada Trigonometria 
no Triângulo 
Retângulo 
I 222 uba − ( )θ





= sen
b
a
u ( ) ( )θ=θ− cos.asen1.a 2 
CA
CO
tg =θ 
II 222 uba + ( )θ





= tg
b
a
u ( ) ( )θ=θ+ sec.atg1.a 2 
HI
CA
cos =θ 
III 222 aub − ( )θ





= sec
b
a
u ( ) ( )θ=−θ tg.a1sec.a 2 
HI
CO
sen =θ 
 
Demonstraremos o desenvolvimento do radical 222 uba − , os demais casos são análogos ... 
 
( ) ( ) ( ) ( ) =θ−=θ−=θ−=




 θ−=− )sen1.(asenaasen
b
a
.basen
b
a
bauba 222222
2
2
22
2
22222 
 ( ) ( ) ( )θ=θ=θ−= cosacosasen1.a 22 
 
Obs.: Verifique que a variável final é θ . A expressão correspondente, na variável original (x), é obtida 
através das relações do triângulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )dθθ.tgθa.secdu
θa.secu
θa.tgau
dθθa.secdu
θa.tgu
θa.secua
dθθa.cosdu
θa.senu
θa.cosua
22
2
22
22
=
=
=−
=
=
=+
=
=
=−
 
Resumindo... 
11 
 
Exemplo: ∫
+ 9xx
dx
2
 
∫∫∫ +−===
+
cgd
tg
d
xx
dx |cotseccos|ln
3
1
seccos
3
1
sec33
sec3
9
2
2
θθθθ
θθ
θθ
 
c
x
x
xx
dx
+
−+
=
+
∫
39ln
3
1
9
2
2
 
 
 
Exercícios 
 
a) dx
x
x9
2
2
∫
−
 b) ∫
+
dx
x4
1
2
 c) ∫
−
dx
x
9x2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 3 no final da apostila. 
 
 
 
 
 
 
12 
 
1.5. Integração de funções racionais 
 
Uma função racional f(x) é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja, 
( )
)x(q
)x(p
xf = , onde p(x) e q(x) são polinômios. 
 As integrais de algumas funções racionais simples, como por exemplo: 
 
13x6x
1
,
1x
x2
,
1x
1
,
x
1
2222 ++++
 
são imediatas ou podem ser resolvidas por substituição, conforme vistas anteriormente. 
Vamos verificar um procedimento para calcular a integral de qualquer função racional. A idéia 
básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples. Para isto, usaremos um 
resultado importante da Álgebra, que é dado na proposição seguinte. 
Proposição: Se p(x) é um polinômio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de 
fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. 
 Por exemplo, o polinômio ( ) 2x3xxq 2 +−= pode ser escrito como um produto de fatores lineares, 
ou seja, ( ) ( )( )1x2xxq −−= . 
Estamos interessados na integração de expressões da forma ∫ dx)x(q
)x(p
onde o grau de p(x) é menor 
que o grau de q(x). Caso isso não ocorra, devemos primeiro efetuar a divisão de p(x) por q(x). 
 
Caso 1 Os fatores de q(x) são lineares e distintos, isto é, não se repetem. 
Neste caso podemos escrever ( ) ( )( ) ( )n21 axaxaxxq −−−= L , onde n,,1ai L= , são distintos dois a 
dois. 
A decomposição da função racional ( )
)x(q
)x(p
xf = em frações mais simples é dada por: 
( ) ( ) ( ) ( )n
n
2
2
1
1
ax
A
ax
A
ax
A
xf
−
++
−
+
−
= L , onde n21 A,,A,A L são constantes que devem ser 
determinadas. 
 
Exemplo: ∫ +−
dx
)2x)(1x(
1
 
 
A fração 
)2x)(1x(
1
+−
 pode ser escrita na forma de duas frações parciais 
2x
B
1x
A
+
+
−
 onde o valor do A e 
do B serão determinados resolvendo a seguinte igualdade: 
 
13 
 
)2x)(1x(
1
+−
=
2x
B
1x
A
+
+
−
 
)2x)(1x(
)1x(B)2x(A1
+−
−++=
 




==−
−==+
3
1
A1BA2
BA0BA
 
 
Portanto, a solução da integral ∫ +−
dx
)2x)(1x(
1
será a solução das integrais ∫ ∫ +
−
−
dx
2x
1
3
1
dx
1x
1
3
1
 
 
c)2xln(
3
1
)1xln(
3
1
dx
)2x)(1x(
1
++−−=
+−∫
 
 
 
 
Caso 2. Os fatores Q(x) são todos lineares e alguns se repetem. 
 
Se algum fator linear ( )iax − de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma soma de 
frações parciais da forma: 
( ) ( ) ( )i
r
1r
i
2
r
i
1
ax
B
ax
B
ax
B
−
++
−
+
−
−
L , onde r21 B,,B,B L são constantes que devem ser determinadas. 
 
 
Exemplo: ∫
−
−
dx
)2x)(x(
1x
32
3
 
A fração 
32
3
)2x)(x(
1x
−
−
pode ser escrita como a soma das frações 
)2x(
E
)2x(
D
)2x(
C
x
B
x
A
232
−
+
−
+
−
++ 
 
o valor das constantes A, B, C, D e E serão determinadas resolvendo a seguinte igualdade: 
 
32
3
)2x)(x(
1x
−
−
=
)2x(
E
)2x(
D
)2x(
C
x
B
x
A
232
−
+
−
+
−
++ 
 
Organizando e resolvendo o sistema encontramos 
 
dx
2x
1
16
3
dx
)2x(
1
4
5
dx
)2x(
1
4
7
dx
x
1
16
3
dx
x
1
8
1
dx
)2x)(x(
1x
23232
3
∫∫∫∫∫∫
−
−
−
+
−
++=
−
−
 
 
c)2xln(
16
3
)2x(4
5
)2x(8
7
)xln(
16
3
x8
1
dx
)2x)(x(
1x
232
3
+−−
−
−
−
−+
−
=
−
−
∫ 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 4 no final da apostila. 
 
 
14 
 
Parte 2: Teorema fundamental do cálculo 
 
2.1. Integral definida 
 
Teorema fundamental do cálculo: Seja f contínua em [a, b] tal que existe uma função F(x) com 
dx)x(f)x(F =′ , então: )a(F)b(Fdx)x(f
b
a
−=∫ 
 
Exemplo: 
3
1
3
0
3
1
3x
dxx
1
0
31
0
2
=−==∫ 
 
 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL 
 
 Historicamente, foi da necessidade de calcular áreas de figuras planas cujos contornos não são 
segmentos de reta que surgiu a noção de integral. 
 O processo para determinar a área de uma região sob um gráfico da função f:[a, b], consiste em 
dividirmos o intervalo [a, b] em subintervalos suficientemente pequenos que neles f(x) possa ser 
considerada constante e com isso formar “n” retângulos nos quais serão calculados em cada um a sua área 
e a soma das áreas dos “n” retângulos será aproximadamente a área procurada. 
 
)x(fxA 11 ⋅∆= 
)x(fxA 22 ⋅∆= 
... 
)x(fxA
n
1i
i∑
=
⋅∆≅ 
 
 
 
 
 
 De um modo geral, se f é uma função contínua em [a, b], o nº do qual a soma )x(fxA
n
1i
i∑
=
⋅∆≅ se 
aproxima a medida em que os x∆ se tornam simultaneamente pequenos é chamado integral de f em [a, b] 
e é representado por 
 
 
∫ ∑
=
∆⋅≅
b
a
x)x(fdx)x(f
n
1i
i que é chamada soma de Riemann. 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Exemplo: 
Faça uma estimativa da área A sob o gráfico de 
10
x
250)x(f
2
−= , 0 ≤ x ≤ 50, dividindo o intervalo [0, 50] em 
subintervalos de comprimento 10. 
 
A1 = 2475
10
5
25010
2
=







− A2 = 2275
10
15
25010
2
=







− A3 = 1875
10
25
25010
2
=







− 
 
A4 = 1275
10
35
25010
2
=







− A5= 475
10
45
25010
2
=







− 
Somando todas as áreas A1 + A2 + ... + A5 obtemos a área total que pode ser expressa por: 
8375)x(fxA
n
1i
i ≅⋅∆≅∑
=
 
 
Exercício 
Faça uma estimativa da área A sob o gráfico de 4x)x(f 2 +−= , 0≤ x ≤ 2, dividindo o intervalo [0, 2] em 
subintervalos de comprimento 0,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 5 no final da apostila. 
 
 
16 
 
2.2. Aplicações de integrais 
 
ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA 
 
A) Se f é uma função contínua em um intervalo [a, b] e se f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] então a área da região 
limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x= b é dada por: 
 
 
 
 ∫=
b
a
dx)x(fA 
 
 
 
Exemplo 
Calcular a área da região limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = 0 e x = 2. 
 
.a.u
3
8
dxxA
2
0
2
== ∫ 
 
 
 
 
 
B) Se f é uma função contínua em um intervalo [a, b] e se f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a, b] então a área da região 
limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x= b é dada por: 
 
 
 
 ∫−=
b
a
dx)x(fA 
 
 
 
Exemplo 
Calcular a área determinada pela função y = -x2, eixo x, x = 0 e x = 2. 
∫ =−−=
2
0
2 .a.u
3
8
dxxA 
 
 
 
 
Exercícios 
 
a) Determinar a área formada pela função y = -2x, o eixo x, x = 1 e x = 3. 
 
b) Determinar a área formada pela função y = -2x, o eixo x, x = -2 e x = 0. 
 
 
17 
 
C) Sejam f e g duas funções contínuas em [a, b], tal que f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a, b] então a área da região 
limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e as retas x =a e x= b é dada por: 
 
 
 
∫ −=
b
a
dx)]x(g)x(f[A 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Determinar a área formada entre as funções y = x2 e y = -x2 + 4x. 
 
 
.a.u
3
8
dx)]x()x4x[(A
2
0
22
=−+−= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO 
 
1. Sólidos de Revolução 
 Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma 
reta, que está no mesmo plano da região; a reta é chamada de eixo de revolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
2. Método do Disco Circular 
Seja y = f(x) uma função contínua e positiva em [a, b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função y = f(x), as retas x = a, x = b e y = 0 define uma área A. Girando a área A em torno do eixo x 
definimos um sólido de revolução, semelhante a um cilindro (cilindróide). 
 
O volume desse sólido pode ser calculado por integração da seguinte maneira: 
 
Definimos a medida do volume de um cilindro circular reto como hrV 2pi= . 
 
[ ] x)(fV i2ii ∆⋅ε⋅pi=∆ , como existem n retângulos, são obtidos n discos circulares e é dada por: 
 
[ ] x)(fV i
2n
1i
i
n
1i
i ∆ε⋅pi=∆ ∑∑
==
 
 
Quanto menor o ∆x da partição, maior será o número de retângulos (n) e teremos a melhor 
aproximação possível do volume. 
∑
=
→∆
∆⋅pi≅
n
1i
2
0x
x))x(f(limV 
( )∫pi=
b
a
2 dx)x(fV em torno do eixo x. 
 
 
Definição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e admitamos f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]. Se S for o 
sólido de revolução obtido pela rotação em torno do “eixo x”, da região limitada pela curva y=f(x), o eixo x 
e as retas x = a e x = b, então: 
 
∫pi=
b
a
2 dx)]x(f[V (1) 
 
 
19 
 
 
Exemplo 
Calcular o volume da região limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = 1 e x = 2 sendo a rotação em 
torno do eixo x. 
 
 
 ∫
pi
=pi=
2
1
22
5
31
dx)x(V u.v. 
 
 
 
 
 
 
A fórmula (1) pode ser generalizada para outras situações. 
 
 
2.1) A função f(x) é negativa em alguns pontos de [a, b] 
 A figura abaixo mostra a região quando gerado pela rotação, ao redor do eixo dos x, da região sob o 
gráfico da função f(x) de a até b, forma um sólido de revolução. Como f(x)2 = (f(x))2, a fórmula (1) 
permanece válida neste caso. 
 
2.2) Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região gira em torno do eixo dos y e é limitada pelo eixo y 
Obviamente, uma região plana pode ser girada em torno do eixo y ao invés do eixo x, e, novamente, um 
sólido de revolução será gerado. Por exemplo, suponhamos que R seja uma região plana limitada pelo eixo 
y, pelas linhas horizontais y = a e y = b, onde a < b, e pelo gráfico de x = f(y). O sólido de revolução gerado 
pela revolução de R em torno de y é dado por: 
 
∫pi=
b
a
2 dy))y(f(V 
 
20 
 
Exemplo. Calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região R, pelo eixo y, pela linha y=4 e pelo 
gráfico de y = x2 para x ≥ 0, em torno do eixo y. 
 
 
∫ ==
4
0
2 8)( pipi dyyV u.v. 
 
 
 
 
2.3) A região está entre o gráfico de duas funções f(x) e g(x) de a até b (Método dos anéis circulares) 
 
Sejam f e g contínuas no intervalo [a, b] a admitamos que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]. Se S for o sólido de 
revolução gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y = f(x) e y= g(x) e as 
retas x = a e x = b: 
∫ −pi=
b
a
22 dx)]x(g[)]x(f[V 
Exemplo 
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada por y= x2 + 1 e 
y = x + 3. 
 
 
 
 ∫
−
=+−+=
2
1
2
5
117)²1()²3( pipi dxxxV u.v. 
 
 
 
 
 
Naturalmente, o método dos anéis circulares é aplicável aos sólidos gerados pela revolução de regiões 
planas R em torno do eixo y, ao invés do eixo x. 
 
∫ −pi=
b
a
22 dy)]y(g[)]y(f[V 
 
 
2.4) Volume correspondente a rotação em, torno do eixo x, de uma região limitada pelo eixo x e não 
adjacente ao eixo de rotação 
∫ −pi=
b
0
22 dx]))x(f(c[V ou [ ] dxxfbcV
b
∫−−=
0
22 )()0( pipi 
 ou 
 ∫pi−pi=
b
0
22 dx)]x(f[bcV 
 
 
21 
 
2.5) Volume correspondente a rotação em, torno do eixo y, de uma região limitada pelo eixo x e não 
adjacente ao eixo de rotação 
 
 
 ∫pi−pi=
c
0
22 dy)]y(f[cbV 
 
 
 
2.6) A rotação se efetuaao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados 
O método dos anéis circulares é também efetivo para sólidos gerados pela revolução de regiões planas 
em torno de eixos diferentes dos eixos x e y. 
 
a) Região adjacente a reta x = L e girada em torno de L 
 
 
 ∫ −pi=
c
0
2 dy)]y(fL[V 
 
 
 
b) Região não adjacente a reta x =L e girada em torno de L 
 
 
 
 ∫ −pi−pi=
c
0
22 dy)]y(fL[cbV 
 
 
 
c) Região adjacente a reta y = M e girada em torno de M 
 
 
 ∫ −pi=
b
0
2 dx)]x(fM[V 
 
 
d) Região não adjacente a reta y = M e girada em torno de M 
 
 
 
 ∫ −pi−pi=
b
0
22 dx)]x(fM[bcV 
 
 
 
 
 
22 
 
Exemplos 
 
1) Determine o volume do sólido obtido pela revolução da região R em torno da linha x = 4, onde R é 
limitada pelos gráficos de y2 = 4x e x = 4. 
 
∫ −pi=
c
0
2 dy)]y(fL[V 
15
1024
dy)]
4
y
4[2V
4
0
2
2 pi
=−pi= ∫ u.v. 
 
 
 
 
 
2) Na figura, a curva OP tem a equação y = x3. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região: 
 
a) OBP em torno da linha y = 8. 
b) OAP em torno da linha x = 2. 
c) OAP em torno da linha y = 8. 
 
 
a) 
7
576
dx]x8[V
2
0
23 pi
=−pi= ∫ u.v 
 
b) 
5
16
dy]y2[V
8
0
23
pi
=−pi= ∫ u.v 
 
c) 
7
320
dx]x8[128V
2
0
23 pi
=−pi−pi= ∫ u.v 
 
 
 
 
 
Outras aplicações de integrais definidas são: 
- Comprimento de arco de uma curva 
- Centro de massa 
- Trabalho 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 6 no final da apostila. 
 
 
 
23 
 
Parte 3: Derivadas Parciais 
 
COORDENADAS CARTESIANAS E FUNÇÕES NO ESPAÇO 
 
O Espaço n-dimensional 
 Um número “x” representa um ponto numa reta (espaço unidimensional). Um par de números 
(x1,x2) representa um ponto no plano (espaço bidimensional). Uma terna de números (x1, x2, x3) representa 
um ponto no espaço tridimensional. Embora não possamos desenhar uma figura com mais de três 
dimensões, nada nos impede de considerar uma quádrupla de números (x1, x2, x3, x4) e estabelecer que 
isso é um ponto no espaço tetradimensional, e assim sucessivamente. 
Definimos um ponto no espaço n-dimensional como sendo uma n-úpla de números (x1, x2, x3,...,xn), 
onde cada xi ∈ R, i = 1,2, 3, ..., n. Chamamos os números x1, x2, x3,...,xn de coordenadas do ponto (x1, x2, 
x3,...,xn). 
 
 
Localização de pontos no R3 
 
a) No plano: P(a, b) 
 
 
 
 
 
 
 
b) No espaço: P (a, b, c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planos coordenados 
 
 Os três eixos determinam três planos 
ortogonais coordenados. Podemos observar que: 
 
• No plano xy a cota é nula (z=0) 
• No plano yz a abcissa é nula (x=0) 
• No plano xz a ordenada é nula (y=0) 
 
 
 
 
24 
 
3.1. Funções de Duas ou mais variáveis 
Na indústria, se um fabricante determina que x unidades de certo produto podem ser vendidos no 
mercado interno por R$ 90,00 a unidade e y unidades podem ser vendidas no mercado externo pelo 
equivalente a R$ 110,00 a unidade, a receita total obtida com as vendas do produto é dada por 
y110x90R += 
Outros exemplos 
Função de duas variáveis 
 Área do retângulo ⇒ A = f(x,y) = x.y 
 Função polinomial ⇒ 10xy5y3x2)y,x(fz 22 +−+== 
 
Função de três variáveis 
 Volume de um paralelepípedo ⇒ V = f(x,y,z) = x.y.z 
 Função polinomial ⇒ xyz2xz5xy3x2)z,y,x(fW 222 +−+== 
 
 
FUNÇÕES NO R3 
 
 Se uma variável “z” depende de duas outras “x e y”, de tal forma que a cada par (x,y) associamos 
um único valor para “z”, temos uma função de duas variáveis z = f(x,y). 
 As variáveis “x e y” são chamadas variáveis independentes e a variável “z” é chamada de variável 
dependente. 
 
 
DOMÍNIO E IMAGEM NO R3 
Uma função de duas variáveis pode ser representada graficamente como uma superfície no espaço, 
fazendo-se z = f ( x, y ). Ao fazer o gráfico de uma função de x e y, tenha em mente que, embora o gráfico 
seja tridimensional, o domínio da função é bidimensional – consiste nos pontos do plano xy para os quais 
a função é definida. 
 O conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem a função z formam um conjunto, chamado 
“domínio da função” e o conjunto de todos os valores possíveis de z, o que pode ser obtido aplicando a 
relação z aos pares ordenados (x,y) no domínio D, é denominado “imagem da função”. 
 
 
Exemplo: Considere a função dada por 22 yx9z −−= . Determinar o domínio, a imagem e representar 
graficamente o seu domínio. 
 
Domínio: 
A condição de existência de z está relacionada a presença de um radical, de índice par, na lei da função, o 
que implica que 0yx9 22 ≥−− e portanto: }9yx/R)y,x{()f(D 22 ≤+∈= 
 
 
Representação gráfica do domínio 
 
Temos pois : x² + y² ≤ 3² ( círculo de raio 3 ) 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para este domínio, determinamos a imagem, com as seguintes questões: 
1. A função pode ser negativa? Não, pois não existe resposta negativa para um radical de índice par 
2. A função é nula? Sim, para todos os pontos de fronteira 
3. A função é positiva infinita? É positiva não infinita. 
 
GRÁFICO 
 
 Definimos o gráfico de uma função de duas variáveis como sendo o conjunto de todos os pontos 
(x,y,z) no espaço tridimensional, tal que (x,y) pertença ao domínio D de f. 
 
ou então 
 
 Sabemos que o domínio de z = f(x,y) está contido em R2 (D ⊂ R2) e a imagem (valores de z) está 
contida em R (Im ⊂ R). O gráfico da função G(f) ⊂ R3, isto é: 
 
G(f) = {(x,y,z) ∈ R3 / z = f(x,y)}. 
 
 O gráfico, G(f) pode ser um plano ou uma superfície curva no espaço tridimensional. Normalmente 
representamos o gráfico de uma função apenas no 1º octante. 
 
 
� O gráfico de f é uma superfície cuja projeção perpendicular ao plano xy é o domínio D. 
 
Para esboçarmos o gráfico de uma função de duas variáveis: 
 1) determinamos o domínio da função e a representação deste domínio; 
 2) encontramos os pontos de intersecção com os eixos; 
 3) encontramos as curvas de intersecção com os planos coordenados. 
Para auxiliar na visualização do gráfico de z podemos realizar as intersecções com os eixos e com os planos 
coordenados. Para a função do exemplo temos: 
 
 
Intersecção com os eixos 
 
eixo x →→→→ y = z = 0 
3x
x90
0x90
2
22
±=
−=
−−=
Dois pontos de intersecção com o eixo x: (3, 0, 0) e (-3, 0, 0) 
 
 
Centro (0, 0) e 
raio externo 3 
26 
 
x
y
z
eixo y →→→→ x = z = 0 
3y
y90
y090
2
22
±=
−=
−−=
Dois pontos de intersecção com o eixo y: (0, 3, 0) e (0, -3, 0) 
 
eixo z →→→→ x = y = 0 
3z
009z 22
=
−−=
Um ponto de intersecção com o eixo z: (0, 0, 3). 
 
Intersecção com os planos coordenados 
plano xy →→→→ z = 0 
9yx
yx90
yx90
22
22
22
=+
−−=
−−=
 xy é interceptado por uma circunferência de raio 3 (fronteira do domínio) 
 
plano xz →→→→ y = 0 
9xz
x9z
0x9z
22
22
22
=+
−=
−−=
 xz é interceptado por uma circunferência de raio 3 (valores acima do plano xy) 
 
plano yz →→→→ x = 0 
9yz
y9z
y09z
22
22
22
=+
−=
−−=
 yz é interceptado por uma circunferência de raio 3 (valores acima do plano xy) 
 
O gráfico visualizado em dois aplicativos gráficos 
 
 
O conjunto imagem desta função é [ ]3,0)fIm( = 
 
 
Exercícios 
1)Faça o esboço do domínio da função yxz += 
2)Faça o esboço do gráfico da função 22 y9xz += 
 
 
27 
 
CURVAS DE NÍVEIS 
 
Outro método de representar uma função de duas variáveis geometricamente é simular à 
representação de uma paisagem tridimensional por um mapa topológico bidimensional. Suponha que a 
superfície z = f(x, y) seja interceptada por um plano z = k e que a curva de interseçãoseja projetada no 
plano xy. A curva projetada tem por equação f(x, y) = k e é chamada de curva de nível (ou curva de 
contorno) da função f em k. Cada ponto da curva de nível corresponde a um único ponto na superfície que 
está k unidades acima, se k for positivo ou k unidades abaixo, se k for negativo. Considerando diferentes 
valores para a constante k, obtemos um conjunto de curvas de níveis chamado de mapa de contorno. O 
conjunto de todos os valores possíveis de k é a imagem da função f e cada curva de nível, no mapa de 
contorno consiste em pontos (x, y) no domínio de f tendo o mesmo valor funcional k. 
 
 Para construirmos as curvas de níveis de uma função z = f(x,y): 
a) procuramos os pontos (x,y) que satisfazem a equação f(x,y) = k 
b) então atribuindo-se a k os valores k1, k2, k3,... e representando as curvas correspondentes temos o 
mapa topográfico do gráfico da função z = f (x,y). 
 
A superfície de uma montanha pode ser considerada o gráfico de uma função de duas variáveis: é a 
função que a cada ponto (x, y) do solo (horizontal) associa a sua cota (altura) )y,x(fh:h = 
 
Para descrevermos a montanha, em vez de construirmos este gráfico podemos chegar a conclusões 
importantes observando apenas pontos do plano horizontal xy. Procuremos neste plano os pontos que 
têm a mesma cota, vamos supor, 10 m; estes pontos constituirão uma curva de equação f(x, y) = 10, ou 
seja, h = 10. Procuremos agora os pontos que têm cota constante e igual a 3 m; teremos outra curva h = 3. 
Representando no plano xy conjuntamente várias destas curvas, todas do tipo h = constante 
obtemos um mapa topográfico da região. As curvas h = constante são chamadas curvas de nível constante, 
ou somente curvas de nível da função h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de )y,x(f representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular importância, 
recebendo inclusive denominações especiais: 
(a) Se )y,x(f é a temperatura do ponto (x, y) de uma chapa plana, as curvas )y,x(f = c são chamadas 
isotermas; 
(b) Se )y,x(f é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas )y,x(f = c são chamadas 
isóbaras; 
(c) Se )y,x(f é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xy, as curvas )y,x(f = c são 
chamadas equipotenciais. 
 
 
 
 
28 
 
Exemplo 
1) O potencial elétrico em uma região do plano xy é dado por 
22 yx
120
)y,x(V
+
= . 
(a) qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 30; 
(b) determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (1, 1). 
 
Solução 
(a) )yx(3012030
yx
120 22
22
+=⇒=
+
 
Que simplificando resulta em 4yx 22 =+ 
 
O lugar geométrico dos pontos cujo potencial elétrico é 30 é uma circunferência de raio 2. 
 
(b) 60
11
120
)1,1(V
22
=
+
= 
)yx(6012060
yx
120 22
22
+=⇒=
+
 
Que simplificando resulta em 2yx 22 =+ 
 
Mostrando que o potencial elétrico no ponto (1, 1) é 60 e está sobre uma circunferência de raio 2 . 
 
 
 
 
 
Exercício 
Construa as curvas de níveis para a função 9),( 22 −+= yxyxf , com k = 0, k = -1, k = 1, k = -9 e k = 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 7 no final da apostila. 
 
V = 60 
V = 30 
29 
 
Aplicação de Curvas de Níveis: 
 
 Os Médicos recorrem à tomografia computadorizada quando desejam visualizar a imagem do 
cérebro do paciente. Neste tipo de exame, a imagem do cérebro do paciente é “fatiada” em várias partes, 
conforme as figuras a seguir. Em Matemática, diríamos que cada “fatia” da tomografia computadorizada é 
uma curva de nível da função. 
 
 
 Os Engenheiros Civis utilizam gráficos de nível, chamados mapas topológicos, para auxiliá-los na 
construção de estradas e pontes. Na construção do gráfico de nível, o relevo da região é “fatiado” em 
várias cotas (nível de altura) e desenhado num único mapa conforme a figura a seguir. 
 
30 
 
 Cada número que acompanha uma curva representa a altura da “fatia” do relevo. Por exemplo, o 
ponto 1 e o ponto 2, mostrados na figura estão na cota 10, ou seja, possuem a mesma altura igual a 10. No 
mapa topológico da região estão presentes as várias curvas de nível do relevo. 
Pela proximidade das linhas pode-se verificar se o terreno tem um declive muito acentuado ou não. 
Se as linhas estiverem muito próximas entre si, significa que o declive é bastante acentuado (um pico, por 
exemplo), já se elas estiverem muito distantes entre si, significa que o declive é suave (uma planície com 
pequenas elevações, por exemplo). 
Outro exemplo pode ser visto na figura a seguir, observemos que as curvas têm alturas 
eqüidistantes e que, entre os pontos B e C (de 5 a 10 m de altura do lado esquerdo), é onde o terreno se 
encontra mais plano. Observemos também que entre os pontos J e K, o terreno é muito íngreme. 
Concluímos que, quanto mais afastadas as curvas, mais plano será o terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
3.2. Limites e Continuidade 
LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 Seja f uma função de duas variáveis que está definida, com a possível exceção de (xo, yo), em um 
disco aberto centrado em (xo, yo) e seja L um número real. Então, o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a 
(xo, yo) é L, e escrevemos: 
 
Lyxf
o
o
yy
xx
=
→
→
),(lim 
se para todo ε>0 (epsílon), existir um δ>0 (delta) tal que se |f(x, y) – L|<ε sempre que 
 
0 < 2o
2
o )yy()xx( −+− < δ. 
 
Ou seja, os valores funcionais de f(x, y) tendem a um limite L quando o ponto (x, y) tende ao ponto (x0, y0), 
se o valor absoluto da diferença entre f(x, y) e L puder se tornar arbitrariamente pequeno, tomando o 
ponto (x, y) suficientemente próximo de (x0, y0) não igual a (x0, y0). 
 
Obs: Graficamente essa definição implica que, para qualquer ponto (x, y) no disco de raio δ, o valor f(x,y) 
está entre L+ε e L-ε, como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
1.Seja f(x,y) a função 
22
2
y3x3
yx2
)y,x(f
+
= . Verificar a existência do limite de f(x,y) se (x,y) tende a (0,0). 
Observamos que 
0
0
y3x3
yx2
lim
22
2
0y
0x
=
+
→
→
 ou seja, gera uma indeterminação. Neste caso, podemos analisar a 
existência do limite, traçando infinitos caminhos que passam pela origem, então usaremos o caminho 
xky .= , k ∈ R*, isto significa seguirmos por todas as retas que passam pela origem. 
 
2022
2
022
2
0 33
2lim)33(
)2(lim)(33
)(2lim
k
kx
kx
kxx
kxx
kxx
xxx +
=
+
=
+ →→→
 
 
0
33
0
33
)0(2
33
2lim 2220 =+
=
+
=
+→ kk
k
k
kx
x
 
 
“Para qualquer (x,y) no disco de raio δδδδ, o valor f(x,y) 
está entre L+εεεε e L-εεεε”. 
 
A expressão (x,y) → (xo,yo) significa que o ponto 
(x,y) se aproxima de (xo,yo) por qualquer “direção”. 
Se o valor )y,x(flim
)oy,ox()y,x( →
 não é o mesmo por 
todas as aproximações possíveis, ou caminhos, 
então o limite não existe. 
32 
 
observamos que pelo caminho kx a superfície tende a zero e então podemos dizer que por este caminho 
existe o limite e é zero. 
 
 
2. Seja f(x,y) a função definida por 
22
22
yx
yx
)y,x(f
+
−
= . Verificar a existência do limite de f(x,y) quando (x,y) 
tende a (0,0). 
Observamos que 
0
0
yx
yx
lim
22
22
0y
0x
=
+
−
→
→
 ou seja, gera uma indeterminação. Neste caso, podemos analisar a 
existência do limite, traçando infinitos caminhos que passam pela origem, então usaremos o caminho 
y = kx, k ∈ R*, isto significa seguirmos por todas as retas que passam pela origem. 
 
existenão
k
k
k
k
kx
kx
kxx
kxx
xxx
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
→→→ 2
2
2
2
022
22
022
22
0 1
1
1
1lim)1()1(lim)(
)(lim 
 
observamos que pelo caminho kx a superfície não se estabiliza, ou seja tende para diferentes valores e 
portanto é ilimitada. 
 
 
Exercícios 
a) 
22
2
)2,1()y,x( yx
yx5
lim
+→
 b) 
22
2
)0,0()y,x( yx
yx5
lim
+→
 
 
 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 Uma função f(x,y) é contínua em um ponto (xo,yo) se e somente se; 
 1) ∃ f(xo,yo); 
 
 2) )y,x(flim
)oy,ox()y,x( →
∃ ; 
 
 3) )y,x(f)y,x(flim oo
)oy,ox()y,x(
=
→
. 
 
Exemplo 
Seja 5yx)y,x(f 22 ++= , verifique a continuidade em (0,0). 
1) ∃ f(0, 0) = 02+02+5 = 5; 2) 55yxlim 22
0y
0x
=++∃
→
→
; 3) 5)0,0(f5yxlim 22
0y
0x
==++
→
→
. 
Logo f(x, y) é contínua em (0, 0) 
 
Exercício 
Determine e mostre graficamente o conjunto de continuidade da função 
22 yx1
1
z
−−
= 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 8 no final da apostila. 
33 
 
3.3. Derivadas parciais 
Nas aplicações das funções de várias variáveis é freqüentemente necessário determinar como uma 
função se comporta diante da variação de uma de suas variáveis independentes. O comportamento em 
questão pode ser estudado considerando-se uma variável de cada vez. Por exemplo, para determinar 
como um catalisador afeta uma reação química, podemos repetir a experiência várias vezes, usando 
quantidades diferentes do catalisador e mantendo constantes as outras variáveis, como pressão e 
temperatura. 
Seja z = f(x, y) uma função das variáveis independentes x e y. Como x e y são independentes, x pode 
variar permanecendo y constante, assim como y pode variar permanecendo x constante e “x, y” podem 
variar simultaneamente. 
 Para analisar o comportamento das funções de duas variáveis(se z cresce ou decresce) pode-se 
escolher uma direção e calcular a taxa de variação de z = f(x,y) ou seja, trata-se de calcular a derivada na 
direção escolhida. 
 
 Escolhendo a direção “x” e derivando z = f(x,y) considerando “x” como variável e “y” como 
constante, temos a derivada parcial de f em relação a x: 
 
 
 
 
x
)y,x(f)y,xx(f
lim
x
z
0x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
 
 
 Derivada parcial de z em relação a x, ou taxa 
 de variação de f na direção x. 
 
 
 Outras notações: Dx, fx, ,f1, D1. 
 
 
 
Exemplo: Usando a definição de derivada parcial, determine 
x
z
∂
∂
 da função 2yx7z −= . 
 
7
x
x7
lim
x
yx7yx7x7
lim
x
)yx7(y)xx(7
lim
x
z
0x
22
0x
22
0x
=
∆
∆
=
∆
+−−∆+
=
∆
−−−∆+
=
∂
∂
→∆→∆→∆
 
 
Escolhendo a direção “y” e derivando z =f(x,y) considerando “y” como variável e “x” como 
constante, temos a derivada parcial de f em relação a y: 
 
 
y
)y,x(f)yy,x(f
lim
y
z
0y ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
 
 
 Derivada parcial de z em relação a y, ou taxa 
 de variação de f na direção y. 
 
 
Outras notações: Dy, fy, ,f2, D2 
 
 
34 
 
 
Exemplo: Usando a definição de derivada parcial, determine 
y
z
∂
∂
 da função 2yx7z −= . 
y
y
yyy
y
yxyyyyx
y
yxyyx
y
z
yyy
2²2lim7)2(7lim)7()(7lim
0
222
0
22
0
−=
∆
∆−∆−
=
∆
+−∆+∆+−
=
∆
−−∆+−
=
∂
∂
→∆→∆→∆
 
 
 
Exercício 
Encontre o coeficiente angular da equação da reta tangente à curva de intersecção da superfície 
32 xyyx4z −= com o plano 2y = no ponto (3, 2, 48). 
 
Ao derivarmos parcialmente uma função, deriva-se em relação a uma variável, 
considerando-se as demais, constantes !!! 
 
Exemplos 
 
1 ) Calcule 
x
z
∂
∂
 e 
y
z
∂
∂
 para a função z = 3x – x²y² + 2x³y. 
 
Resolução 
 
x
z
∂
∂
 = 3-2xy² + 6x²y 
y
z
∂
∂
 = - 2x² y+ 2x³ 
 
 
 
2 ) Idem para g(x,y) = 2yx 22 −+ 
 
Resolução 
 
x
g
∂
∂
 = 
2yx
x
x2.
2yx2
1
2222
−+
=
−+
 
 
y
g
∂
∂
 = 
2yx
y
y2.
2yx2
1
2222
−+
=
−+
 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 9 no final da apostila. 
 
35 
 
3.4. Diferenciabilidade e Regra da cadeia 
 
INCREMENTO E DIFERENCIAL TOTAL 
 
Incremento (∆z) de uma função z = f(x, y) pode ser um acréscimo (+) ou um decréscimo (-). O 
incremento ∆z na função z = f(x, y) é o acréscimo que ocorre em z na medida que se incrementa ∆x em x e 
∆y em y. O incremento ∆z é dado pela diferença z e zo, sendo: 
∆z = z – zo = f(xo + ∆x, yo + ∆y) – f(xo, yo) 
 
Exemplo. Dada z = x2 – y2 e ∆x = 0,1 e ∆y = 0,1. Calcule o incremento no ponto P(2, 1, 3). 
 
)yx(])yy()xx[(z 2222 −−∆+−∆+=∆ 
2,032,3)12(])1,01()1,02[z 2222 =−=−−+−+=∆ 
 
O diferencial total (dz) de uma função z = f(x, y) é dado pela expressão: 
 
dy
y
z
dx
x
z
dz
∂
∂
+
∂
∂
= 
O diferencial representa sempre uma variação aproximada da função dada, ele é um valor 
aproximado do incremento. 
 
Exemplos 
 
1. Calcule dz da função z = xy – x2y onde ∆x = 0,1 e ∆y = 0,1 no ponto (1, 1, 0) 
1,0)1,0(0)1,0)(1()1,0)(xx()1,0)(xy2y(dz 2 −=+−=−+−= 
 
2. As dimensões de uma caixa retangular fechada são 1m, 2m e 3m, com um ∆x=∆y=∆z=16cm. Determine a 
variação aproximada do volume. 
xyzV = x=1; y=2; z=3 
xydzxzdyyzdxdV ++= 
3m76,1)16,0)(2)(1()16,0)(3)(1()16,0)(3)(2(dV =++= 
 
 
REGRA DA CADEIA 
 
1. Seja z uma função de duas variáveis x e y com z = f(x , y) e x = g(t) e y = h(t), então z torna-se uma função 
a uma única variável t, isto é, z = f(x, y) = f[g(t), h(t)] e a derivada de z em relação a t será dada por: 
 
td
yd
.
y
z
td
xd
.
x
z
td
zd
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
 
Exemplo. Seja z = 22 yx + onde x = 2t + 1 e y = t3 encontre 
td
zd
 
dt
dy
yx
y
dt
dx
yx
x
td
zd
2222 +
+
+
= 
36 
 
)t3(
yx
y
)2(
yx
x
td
zd 2
2222 +
+
+
= 
232
5
2
232
3
232 )t()1t2(
t32t4
)t3(
)t()1t2(
t
)2(
)t()1t2(
1t2
td
zd
++
++
=
++
+
++
+
= 
 
 
2. Seja z uma função de duas variáveis x e y com z = f(x,y) e x = g(u,v) e y = h(u,v), então 
z=f(x,y)=f[g(u,v),h(u,v)] e a derivada parcial de z em relação a u e v será dada por: 
u
y
.
y
z
u
x
.
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
e 
v
y
.
y
z
v
x
.
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
Exemplo. Seja z = 22 yx − onde x = u cos(v) e y = v sen(u) determine 
u
z
∂
∂
 e 
v
z
∂
∂
. 
)ucosv)(y2()v(cosx2
u
z
−+=
∂
∂
 
usenuvvuuvsenuvvvu
u
z
cos2)(cos2)cos))((2())(coscos(2 22 −=−+=
∂
∂
 
 
)senu)(y2()senv(u(x2
v
z
−+−=
∂
∂
 
22 )senu(v2vsenvcosu2)senu))(vsenu(2()senv(u)(vcosu2(
v
z
−−=−+−=
∂
∂
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 10 no final da apostila. 
 
 
 
 
 
37 
 
3.5. Derivada direcional e gradiente 
Generalizamos a definição de derivada parcial para obter a taxa de variação de uma função em 
relação à distância em qualquer direção. 
 Seja f uma função de duas variáveis x, y e seja P(x, y) um ponto no plano xy. Suponhamos que u seja 
o vetor unitário fazendoum ângulo de θ radianos com o lado positivo do eixo x: 
então a derivada direcional é a taxa de variação de f na direção de u que é denotada por Duf será dada por: 
 
Duf = fx(x, y) cosθ + fy(x, y) senθ 
 
Obs. Para obtermos um vetor unitário, partimos de um vetor qualquer )b,a(v =r e encontramos as 
coordenadas de um vetor na mesma direção e sentido de v
r
 que será dado por )u,u(u yx=
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Seja z = 3x2 – y2 + 4x e u é vetor unitário na direção 
6
pi
, encontre Duf no ponto (1, 2). 
 
6
sen)y2(
6
cos)4x6(Duf
pi
−+
pi
+= 
2
1
)4(
2
3
)46(Duf −++= = 235 − 
 
 
GRADIENTE 
 Se f é uma função de duas variáveis x, y e se 
y
z
e
x
z
∂
∂
∂
∂
 existem, então o gradiente de f denotado 
por ∇f (delta f) e é dado ( )fyfxf ,=∇ ou ∇f (x, y) = j
y
z
i
x
z
∂
∂
+
∂
∂
 o qual é um vetor normal a superfície. 
 Podemos escrever a fórmula da derivada direcional como um produto escalar entre o gradiente e o 
vetor unitário: 
⋅





∂
∂
+
∂
∂
j
y
z
i
x
z ( )jsenicos θ+θ = ⋅





∂
∂
+
∂
∂
)1,0(
y
z
)0,1(
x
z ( ))1,0(sen)0,1(cos θ+θ 
 














∂
∂
+





∂
∂
y
z
,00,
x
z
 ( )[ ]θ+θ sen,0()0,cos 
 
⋅





∂
∂
∂
∂
y
z
,
x
z ( )θθ sen,cos = 




 θ
∂
∂
+θ
∂
∂
sen
y
z
cos
x
z
 
 
1
u
u
u
cos xx ==θ ⇒ xucos =θ 
1
u
u
u
sen
yy
==θ ⇒ yusen =θ então 
jsenicosu
rr
θ+θ= 
ou seja 
)u,u(u yx=
r
 
38 
 
Sendo u
r
 um vetor unitário e f∇ um vetor perpendicular a superfície, sobre o ângulo θ formado entre eles, 
sabemos que: 
fu
uf
cos
∇⋅
⋅∇
=θ , portanto 
θ⋅∇⋅=⋅∇ cosfuuf 
 
Como )y,x(fu)y,x(Duf ∇⋅= que representa um produto escalar, então: 
θ⋅∇⋅= cosfu)y,x(Duf 
 
 Este produto será máximo quando θ = 0. Portanto, neste caso u e ∇∇∇∇f terão a mesma direção e 
sentido. Com isso, pode-se concluir que a maior taxa ocorrerá quando os vetores u e ∇∇∇∇f tiverem a mesma 
direção. Ou seja Dufmax = |∇f|. 
O gradiente indica, em cada ponto, a direção em que a derivada direcional é máxima; o vetor 
oposto ao gradiente indica a direção em que a derivada direcional é mínima. Por outro lado, em cada 
ponto, o vetor unitário, perpendicular ao gradiente, determina uma direção em que a derivada direcional é 
nula. Isto significa que, nesta direção, a taxa de variação de f(x,y) em relação à distância percorrida é nula, 
e que, caminhando nesta direção, f(x,y) é praticamente constante 
 
 
O vetor gradiente aponta para onde z = f(x,y) tem velocidade máxima 
 
Exemplo 
1. Se 
16
y
16
x
)y,x(f
22
+= encontre o gradiente de f no ponto (4, 3). Encontre também a taxa de variação da 
função na direção 
4
pi
 em (4, 3). 






=





=





=∇
8
3
,
8
4
8
y
,
8
x
16
y2
,
16
x2
)3,4(f 
 
)
4
(sen
16
y2
)
4
cos(
16
x2
)y,x(Duf
pi
+
pi
= 
 
16
27
)
2
2
(
8
3
)
2
2
(
8
4
)
2
2
(
8
y
)
2
2
(
8
x
)3,4(Duf =+=+= 
 
 
Exercício 
2. A temperatura de uma chapa plana é dada por T(x,y) = x2 + y2 (T em ºC, x e y em cm) 
(a) Determine o gradiente da temperatura no ponto (3, 4); 
(b) Determine, a partir do ponto (3, 4), a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente possível 
e qual a taxa de crescimento. 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 11 no final da apostila. 
 
39 
 
3.6. Derivada de ordem superior 
 
Como em funções de uma variável, derivada parcial sucessiva, significa derivar novamente uma função 
que anteriormente já foi derivada (derivar a derivada). 
• Derivada parcial de fx em relação a x será dada por: fxx ou 2
2
x
f
∂
∂
 
• Derivada parcial de fy em relação a y será dada por: fyy ou 2
2
y
f
∂
∂
 
• Derivada parcial de fx em relação a y será dada por: fxy ou 
xy
f2
∂∂
∂
 (
←
→ ∂∂
∂
xy
f
ouf
2
xy ) 
• Derivada parcial de fy em relação a x será dada por: fyx ou 
yx
f2
∂∂
∂
 (
←
→ ∂∂
∂
yx
f
ouf
2
yx ) 
 
 
Teorema de Schwartz: Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y, definida num disco 
aberto B((x0, y0).r) e fx, fy, fxy e fyx também sejam definidas em B. Além disso, suponha que fxy e fyx sejam 
contínuas em B. Então: 
fxy(x0 y0) = fyx(x0, y0) 
 
 
Exemplo. Determine
2
2
x
f
∂
∂
e
2
2
y
f
∂
∂
 da função 22 xyyx)y,x(f += 
2yxy2
x
f
+=
∂
∂
 xy2x
y
f 2 +=
∂
∂
 
y2
x
f
2
2
=
∂
∂
 x2
y
f
2
2
=
∂
∂
 
 
Exercícios 
a)Determine
2
2
x
f
∂
∂
e
2
2
y
f
∂
∂
 da função x2ey)y,x(f = 
b) Determine 
xy
f2
∂∂
∂
da função 22 xyyx)y,x(f += 
 
 
3.7. Máximos e mínimos de funções de duas variáveis 
 
Dada a função z = f(x,y) contínua e diferenciável até 2ª ordem em um dado domínio R, dizemos que a 
função terá pontos críticos em Po ∈ R se: 
0
y
f
0
x
f
=
∂
∂
=
∂
∂
 ou fx = 0 fy = 0 (1) 
 
40 
 
A afirmação (1) não garante que o ponto Po(xo,yo) seja ponto de máximo ou de mínimo. Para verificar se 
Po é ponto de máximo ou de mínimo é necessário calcular o seguinte determinante: 
0
ff
ff
)oy,ox(
yyxy
xyxx
>





 então: 
 
1.fxx⋅ fyy - (fxy)
2 > 0 e 0f
oPxx
> então Po mínimo; 
 
2.fxx⋅ fyy - (fxy)
2 > 0 e 0f
oPxx
< então Po máximo; 
 fxx⋅ fyy - (fxy)
2 < 0 então não é ponto de extremo, mas existe um ponto de sela; 
 fxx⋅ fyy - (fxy)
2 = 0 o teste falha, a função deve ser investigada nas vizinhanças de Po. 
 
 
Exemplos 
 
1 ) Determine todos os pontos extremos e pontos de sela da função f(x,y) = 3x² -2xy + y² - 8y. 
 
Resolução: 
 
● 
3
y
x0y2x6
x
f
=⇔=−=
∂
∂
. 
● 08y2x2
y
f
=−+−=
∂
∂
. 
 
● Substituindo x da primeira derivada na segunda ... 
 6y24y424y6y28y2
3
y2
8y2
3
y
2 =⇔=⇔=+−⇔=+
−
⇔=+





− . 
 
● Substituindo y em x da primeira derivada ... 
 2x
3
6
x
3
y
x =⇔=⇔= , portanto temos P (x0, y0 ) = P ( 2, 6 ) Único Ponto Crítico . 
 
● 
2
2
x
f
∂
∂
6y2x6
***
⇒−⇒ . 
 
● 
2
2
y
f
∂
∂
28y2x2
***
⇒−+−⇒ . 
 
● 





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
y
f
xyx
f2
28y2x2
x**y*
−⇒−+−⇒ . 
 
∴ D = ⇔−=−−=






∂∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
412)2(2.6
yx
f
y
f
.
x
f 2
)6,2(
22
)6,2(2
2
)6,2(2
2
D = 8 . 
 
 
 
 
41 
 
 D = 8 > 0 
● Temos portanto Mínimo Relativo. 
 
2
2
x
f
∂
∂
 = 6 > 0 
 
● Logo f ( 2, 6 ) = -24 então o ponto P’ ( 2, 6, -24 ) é Ponto de Mínimo Relativo de f. 
 
 Graficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Idem para z = 4xy – x4 – y4 . 
 
Resolução: 
 
 33 xy0x4y4
x
f
=⇔=−=
∂
∂
. 0y4x4
y
f 3
=−=
∂
∂
. 
● Substituindo y da primeira derivada na segunda ... 
 ( )





=−
=
⇔=−⇔=−⇔=−⇔=−
÷
0x1
ou
0x
0)x1.(x0xx0x4x40x4x4
8
89
4
933 
 Que resolvendo resulta em: 





=
−=
⇔±=⇔=
1x
ou
1x
1x1x 88 . 
 
● Logo, substituindo temos os pontos críticos: P ( -1, -1 ); Q ( 0, 0 ) e S ( 1, 1 ) 
 
 
● 
2
2
x
f
∂
∂ 2**3* x12x4y4 −⇒−⇒ .● 
2
2
y
f
∂
∂ 2**3* y12y4x4 −⇒−⇒ . 
 
● 





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
y
f
xyx
f2
4y4x4
x**
3
y*
⇒−⇒ . 
 
 
● Como temos mais do que um ponto crítico, vamos montar uma tabela ... 
 
42 
 
 
Ponto Crítico 
( x0, y0 ) 
( )0y,0x2
2
x
z
∂
∂
 ( )0y,0x2
2
y
z
∂
∂
 ( )0y,0x
2
yx
z
∂∂
∂
 D = .
x
z
2
2
∂
∂
−
∂
∂
2
2
y
z
2
yx
z






∂∂
∂
 
 
Conclusão 
 
( -1, -1 ) 
 
 
-12 < 0 
 
-12 
 
4 
 
-12 . (-12) - 4² = 128 > 0 
Máximo 
Relativo 
 
( 0, 0 ) 
 
 
0 
 
0 
 
4 
 
0 . 0 . – 4² = -16 < 0 
 
Ponto de Sela 
 
( 1, 1 ) 
 
 
-12 < 0 
 
-12 
 
4 
 
-12 . (-12) - 4² = 128 > 0 
Máximo 
Relativo 
 
 
 Graficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
Analise a superfície 22 yx3xy2y8)y,x(f ++−−= com relação a valor máximo, mínimo, ou ponto de sela. 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Resolver a Lista 12 no final da apostila. 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. v.1. Porto Alegre: Bookman, 2000 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. v.2., Porto Alegre: Bookman, 200 
LEITHOLD, Luis. O Cálculo com geometria analítica. v.1.. Harbra & Row do Brasil, SP,1977. 
LEITHOLD, Luis. O Cálculo com geometria analítica. v.2.. Harbra & Row do Brasil, SP,1977. 
MUNEM, .A. e FOULIS, D.J. Cálculo. v. 1. Rio de Janeiro, LTC, 1982 
MUNEM, .A. e FOULIS, D.J. Cálculo. v. 2. Rio de Janeiro, LTC, 1982 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson , 2003, v.1. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson , 2003, v.2. 
43 
 
Lista 1: Diferencial e anti-diferencial 
 
1. Determine o diferencial (derivada) de y das seguintes funções: 
a. 3 22 x.xy = 
b. 
3 x
6
x10y −= 
c. 3 22 )x52(y −= 
d. 
2
2
x1
x1
y
−
+
= 
e. y=
x2cos1
x2sen
+
 
f. 
2x
senx
y = 
g. )x2cos(.ey x2= 
h. ( ) ( ) x72 ex3secx3lny −+= 
i. 3
2x
5
y = 
 
 
 
2. Determine a primitiva (integral) das seguintes questões: 
a) ∫ dx3x
3 
b) ∫ ⋅⋅ dxxx 
c) ∫ dxx
1
2
 
d) ∫ + dx5)(3x 
e) ∫ ++ dx)x
1
xx( 33 
f) ∫ dxxx
1
43
 
g) ∫
−
2x9
dx
 
h) ( )∫ dxx3cos 
i) ∫ dxx
1
 
j) ( )∫ dxxsec2 
k) ( ) ( )∫ dxxtgxsec 
 
 
 
 
 
44 
 
Respostas 
1) a) dxxx
3
8
dy 3 2 





= b) dx
x
2
x
5
dy
3 4 







+= c) dx
)x52(3
x20
dy
3 2 







−
−
= 
d) dx
)x1()x1(
x2
dy
322 







−+
= e) dx
x
xdy 





+
+
= 2))2cos(1(
2)2cos(2
 
a) dx
x
senx2xcosx
dy
3 



 −
= g) dy = [2e2x(cos(2x) – sen(2x))]dx 
h) dxe7)x3(tg)x3sec(3
x
2
dy x7 





−+= i) dx
)
x
5
(x3
10
dy
3 2
2
3 











−
== 
2) 
a) c
4
x3 4
+ 
b) c
xx
+
5
2 3
 
c) c
x
1
+
−
 
d) cx5
2
x3 2
++ 
e) cx2xx
4
3
4
x 3
4
+++ 
f) c
x9
4
4 9
+
−
 
g) c
x9
1
+ 
h) ( ) cxsen3 + 
i) ( ) cxln + 
j) ( ) cxtg + 
k) ( ) cxsec + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Lista 2: Integração por substituição e integração por partes 
 
1. Resolver as integrais por substituição de variáveis 
a. ∫ − dxx4x3
2
 
b. ∫
++
+ dx
4x3x
)x2x(
3 23
2
 
c. ( )∫ + dxx1
x
4
3 
d. ∫
+ 3)4x(
dx
 
e. ∫
+ )x1(x
dx
 
f. ∫ dx
x
x3ln2
 
g. ∫
−
⋅ dxex
2
x4
 
h. ∫ + x
x
e1
dxe
 
i. ∫ dx)x3sen( 
j. ∫ +1x3
dx
 
k. dx)esen(e xx∫ 
l. dx
5
x
sen∫ 





 
m. ∫ dx)x4(tg 
n. dx
)x(cos
x
22∫ 
o. dx
x2
1
x2∫ 





−
 
p. ∫
−
2x94
dx
 
q. ∫ + 25x
dx
2 
r. ∫
−
4r916
rdr
 
 
 
 
2. Resolver as seguintes integrais por partes 
 
a. ∫ dx)xsen(x 
 
b. ∫ dx)xln( 
c. ∫ dxex
x
 
d. ∫ dxex
x2
 
e. ∫ dx)x(cosx 
f. ∫ dxex
x32
 
g. ∫ dx)x5(senx 
 
h. ∫ dxex
x23
 
i. ∫ dx)x3(cosx 
j. ∫ − dxex x 
k. ∫ dx
x
)x(ln
 
l. ∫
− dxx)xln( 3 
m. ∫ ⋅ dxxcose
x
 
n. ∫ ⋅ dx)x3sen(e x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Respostas 
 
1.
a. c)x4( 32 +−− 
b. c)4x3x(
2
1 3 223 +++ 
c. c
x14
5
)x1(4 44 5
+
+
−
+
 
d. c
)4x(2
1
2 ++
− 
e. 2ln|1+ x |+c 
f. c)]x3[ln(
3
1 3 + 
g. ce x +− −
24
2
1
 
h. ln|1 + ex| + c 
i. c
3
)x3cos(.1
+
−
 
j. c
3
)1x3ln(
+
+
 
k. c)ecos( x +− 
l. c
5
x
cos5 +





−
 
m. c
4
x4cosln
+
−
 
n. c
2
)x(tg 2
+ 
o. cx2
3
3)x2(
+− 
p. c)
2
x3
arcsen(
3
1
+ 
q. c)
5
x(arctg
5
1
+ 
r. c)
4
r3
arcsen(
6
1 2
+ 
 
 
2. 
a. -xcos(x) + sen(x) + c 
b. xln(x) – x + c 
c. xe
x
 – e
x
 + c 
d. x
2
e
x
 – 2xe
x
 + 2e
x
 + c 
e. xsen(x) + cos(x) + c 
f. c)
27
2
9
x2
3
x(e
2
x3 ++− 
g. c)x5sen(
25
1)x5cos(
5
x
++
−
 
h. c)
8
3
4
x3
4
x3
2
x(e
23
x2 +−+− 
i. c)x3cos(
9
1)x3sen(
3
x
++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
j. c
e
1x
x
+
−−
 
k. cx4)xln(x2 +− 
l. c
x4
1
x2
)xln(
22 +−− 
m. c)]xsen()x[cos(
2
ex
++ 
n. c
13
)x3cos(e3)x3sen(e2 x2x2
+
−
 
 
47 
 
Lista 3: Integração de potências de funções trigonométricas e por substituição trigonométrica 
 
Resolva as seguintes integrais de potências trigonométricas. 
1. ∫ xdxsen
3 
2. ∫ xdxcos.xsen
4 
3. ∫ dx)2
x
(cos2 
 
 
4. ∫ xdxcos.xsen
32 
5. ∫ dx)x3(cos.)x3(sen
22 
6. ∫ + dxxsen )12(3 
 
 
7. ∫ dx)x(tg
3 
8. ∫ dx)x4(gcot
3 
9. ∫ xdxsec
4 
 
 
 
Resolva as seguintes integrais por substituição trigonométrica. 
a) ∫
−
22 x16x
dx
 
b) ∫
−
dx
x
x9
2
2
 
c) ∫
− 25tt
dt
23
 
d) dx5x2∫ + 
e) ∫
− 9xx
dx
23
 
f) ∫
−
dx
x
9x2
 
g) ∫
+
dx
x4
1
2
 
 
 
h) ∫
−
dx
x94
1
2
 
i) ∫
−
22 4 xx
dx
 
 
 
Respostas 
Integrais de Potências Trigonométricas 
1. c
3
)x(cos
)xcos(
3
++− 
2. c
5
)x(sen5
+ 
3. c)x(sen
2
1
2
x
++ 
4. c
5
)x(sen
3
)x(sen 53
+− 
5. c
96
)x12(sen
8
x
+− 
6. cxx ++++− )12(cos
6
1)12cos(
2
1 3 
7. c)xcos(ln)x(tg
2
1 2 ++8. c)x4(senln
4
1
8
)x4(gcot 2
+−
−
 
9. c
3
)x(tg
)x(tg
3
++ 
 
 
Substituição Trigonométrica 
a) c
x16
x16 2
+
−−
 
b) c)
3
x
(arcsen
x
x9 2
+−
−−
 
c) c)
t
25t5
5
t
secarc(
250
1
2
2
+
−
+ 
d) c
xxxx
++
+
+
+
55
5ln
2
5
2
5 22
 
e) c
x18
9x
3
x
secarc
54
1
2
2
+
−
+ 
f) c)
3
x
sec(arc39x2 +−− 
g) c
2
x
2
x4
ln
2
++
+
 
h) c
2
x3
arcsen
3
1
+ 
i) c
x
x
+
−
−
4
4 2
 
48 
 
Lista 4: Integração de funções racionais 
 
Resolva as integrais das seguintes funções racionais – Caso 1 e Caso 2 
1) ∫ +−
+
dx
)10x()4x(
13x3
 
2) ∫ + )1x(x
dx
 
3) ∫ +−
−−
dx
)2x()3x(
11x16x
2
2
 
4) ∫
−
dx
4x
1
2
 
5) ∫ +
dx
)3x(
x
2
 
6) ∫
−+ 2xx
dx
2
 
7) ∫
−−
−
dx
x2xx
)1x(
23
 
8) ∫
−
−
dx
)2x(x
1x
32
3
 
9) ∫ +
+
dx
)4x(x
1x3
 
10) ∫
−−
−
dx
2xx
1x
2
3
 
 
 
Respostas 
1) c10xln
14
17
4xln
14
25
+++− 
2) ln x-lnx+1+c 
3) c2xln3
2x
5
3xln2 +++
+
+−− 
4) c2xln
4
1
2xln
4
1
+−++
−
 
5) c3xln
3x
3
+++
+
 
6) [ ] C2xln1xln
3
1
++−− 
7) cxxx ++−−+ 1ln
3
22ln
6
1ln
2
1
 
8) c
2x
x
ln
16
3
)2x(x8
4x17x11
2
2
+
−
+
−
−+−
 
9) cx
x
xx +−+++ 4
2
4ln
4
63ln
4
1 2
 
10) c2xln
3
7
1xln
3
2
x
2
x2
+−++++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Lista 5: Teorema fundamental do cálculo: Integral definida 
 
Calcule as integrais definidas pelo teorema fundamental do cálculo ( )dxxxa ∫ +21 43 5.) 
∫ +−
3
0
33 dx)xx()b 
∫ +
2
0 )3x(
dx)c 
∫
2
1
dx)xln(.x)d 
∫−
2
0
xdxln.x)e 
∫
+
+1
0 3
2
3
1) dx
xx
xf 
g) ∫ −
7
2
2 dx)x2x( 
h) ∫ +−
4
0
23 dx)1xx( 
i) ∫
−
−+
3
1
3 dx)1x5x3( 
j) ∫
−
−
0
2
2 dxx4x3 
l) ∫
++
+1
0
3 23
2
dx
4x3x
)x2x(
 
m) ( )∫ +
15
0 4
3 dx
x1
x
 
n) ∫
−
+
3
1
3)4x(
dx
 
o) ∫
−
3
1
32 )1x3(
dxx
 
p) ∫
−
++
1
2
3)1( dxxx
 
 
 
 
Respostas 
 
59,13)a g) 3
200
 n) 441
20
 
b) –17,005 h) 
3
140
 o) 338
7
 
c) 51,0 i) 76 p) 15
46
 
d) 0,64 j) -8 
e) – 0,39 l) 3 22 − 
f) 
3
4
 
m) 
5
104
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Lista 6: Aplicações de Integrais: cálculo de área e volume. 
 
Área 
a) Encontre a área da região limitada pela curva y = x2 - 4x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3. 
b) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = -x2 + 4x. 
c) Encontre a área da região limitada pela reta 2x +y = 8, o eixo x e as retas x = 1 e x= 3. 
d) Calcular a área da região limitada pela curva y = x 3/2, o eixo x e as retas x=0 e x=3. 
e) Determine a área da região limitada pela curva y = 4 - x2, a reta x=1, pelo eixo x e a direita da 
reta x = 1. 
f) Calcule a área da região limitada pela curva y = 6x + x2 - x3, o eixo x e as retas x = -1 e x= 3. 
g) Calcule a área da região limitada pela curva y2 = x -1 e a reta x = 3. 
h) Achar a área limitada por y = 2 + x - x2 e y = 0. 
 
 
Volume 
Nos seguintes problemas, calcule o volume do sólido gerado quando a região dada é girada em 
torno do eixo indicado. A região é dada por y = 3x2 para 0 ≤ x ≤ 2. Sendo O(0, 0), A(2, 0), B(0,12) e 
P(2, 12). 
a) OAP em torno do eixo x 
b) OBP em torno do eixo x 
c) OBP em torno do eixo y 
d) OAP em torno do eixo y 
e) OAP em torno da linha AP 
f) OBP em torno da linha AP 
g) OBP em torno da linha BP 
h) OAP em torno da linha BP. 
 
 
 
Respostas 
Área 
 
a) 7,33u.a. 
b) 2,66u.a 
c) 8u.a. 
d) 6,23u.a. 
e) 5/3u.a. 
f) 109/6u.a. 
g) 3,77u.a. 
h) 9/2u.a. 
 
 
Volume 
a) 288pi/5u.v. 
b) 1152pi/5u.v. 
c) 24piu.v. 
d) 24piu.v. 
e) 8piu.v. 
f) 40piu.v. 
g) 768pi/5u.v. 
h) 672pi/5u.v. 
 
 
 
 
51 
 
Lista 7: Gráficos de funções de duas variáveis e Curvas de Nível 
 
Gráficos de funções de duas variáveis 
Esboce o gráfico das funções abaixo, determinando domínio e imagem. 
 
1. 22 yx1)y,x(f −−= 2. 22 y4x4)y,x(f −−= 
 
3. 1yx)y,x(f 22 −+= 4. y3x26)y,x(f −−= 
 
5. 22 yxz += 6. 22 yx25)y,x(f −−= 
 
 
 
 
Curvas de Nível 
Construir as curvas de níveis para as funções abaixo de acordo com os valores indicados de “k”. 
 
1. 22 yxz += , para k = 1, k = 9 e k = 1/9. 
 
2. 22 yx
1
z
+
= , para k = 1, k = 4 e k = 1/4 onde D = R2-{(0,0)}. 
 
3. 9yx)y,x(f 22 −+= , para k = 0, k = 1 e k = 4. 
 
4. y2x3)y,x(f −= , para k = -4, k = 0 e k = 6. 
 
5. yx)y,x(f 2 −= , para k = -2, k = 0 e k = 3. 
 
6. Seja f a função da produção para a qual f(x, y) = 2
1
2
1
yx2 faça um mapa de contorno de f mostrando as 
curvas de produção constante em 8, 6, 4 e 2. 
 
7. A temperatura t em um ponto (x,y) de uma placa de metal plana é dada por t(x,y) = 4x2 + 2y2. Trace as 
isotermas de t em 12, 8, 4, 1 e 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Respostas 
Gráficos de funções de duas variáveis 
 
1) f(x, y) = 22 yx1 −− 
D = {(x,y)∈ R2/ x2 + y2 ≤ 1} 
Im = [0, 1] 
∩ com z → (0, 0, 1) 
∩ com y → (0, ± 1, 0) 
∩ com x → (± 1, 0, 0) 
∩ com xy → x2 + y2 = 1 
∩ com xz → x2 + z2 = 1 
∩ com yz → z2 + y2 = 1 
 
 
2) f(x, y) = 4 - x2 - 4y2 
D = R2 
Im = ]-∞, 4] 
∩ com z → (0, 0, 4) 
∩ com y → (0, ± 1, 0) 
∩ com x → (± 2, 0, 0) 
∩ com xy → x2/4 + y2 = 1 
∩ com xz → z= 4 - x2 
∩ com yz → z = 4 - 4y2 
 
 
 
3) f(x, y) = x2 + y2-1 
D = R2 
Im = [-1, ∞[ 
∩ com z → (0, 0, -1) 
∩ com y → (0, ± 1, 0) 
∩ com x → (± 1, 0, 0) 
∩ com xy → x2 + y2 = 1 
∩ com xz → z= x2-1 
∩ com yz → z = y2-1 
 
 
 
4) f(x, y)= 6 – 2x – 3y 
D = R2 
Im = R 
∩ com z → (0, 0, 6) 
∩ com y → (0, 2, 0) 
∩ com x → (3, 0, 0) 
∩ com xy →y=(-2x+6)/3 
∩ com xz → z=6-2x 
∩ com yz → z = 6-3y 
 
 
 
 
 
 
53 
 
5) f(x, y)=x2 + y2 
D = R2 
Im = R+ 
∩ com z → (0, 0, 0) 
∩ com y → (0, 0, 0) 
∩ com x → (0, 0, 0) 
∩ com xy → x2 + y2= 0 (origem) 
∩ com xz → z = x2 
∩ com yz → z = y2 
 
 
6) f(x, y)= 25 - x2- y2 
D = R2 
Im = ]-∞, 25] 
∩ com z → (0, 0, 25) 
∩ com y → (0, ±5, 0) 
∩ com x → (±5, 0, 0) 
∩ com xy → x2+ y2 = 25 
∩ com xz → z = 25 – x2 
∩ com yz → z = 25 - y2 
 
 
 
Curvas de Nível 
 
1) z = x2 + y2 
k = 1 x2 + y2 = 1 r = 1 
k = 9 x2 + y2 = 9 r = 3 
k = 1/9 x2 + y2 = 1/9 r = 1/3 
 
 
 
 
2) z = 22 yx
1
+
 
k = 1 x2 + y2 = 1 r = 1 
k = 4 x2 + y2 = 1/4 r = 1/2 
k = 1/4 x2 + y2 = 4 r = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) z = 3x – 2y 
k = -4 y = 
2
x3
+2 
k = 0 y = 
2
x3
 
k = 6 y = 
2
x3
 – 3 
 
 
 
3) z = 9yx 22 −+ 
k = 0 x2 + y2 = 9 r = 3 
k = 1 x2 + y2 = 10 r = 10 
k = 4 x2 + y2 = 25 r = 5 
 
54 
 
5) z = x2 – y 6) z = 2 xy 
k = -2 y = x2 + 2 z = 8 
k = 0 y = x2 y = 
x
16
 
k = 3 y = x2 – 3 
z = 6 
y = 
x
9
 
 
 
7) t(x, y) = 4x2 + 2y2 
k = 121
6
y
3
x
22
=+ 
 
 
k = 4 
1
2
y
1
x
22
=+ 
 
k = 0 
4x2 + 2y2 = 0 origem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z = 4 
y = 
x
4
 
 
z = 2 
y = 
x
1
 
 
k = 8 
1
4
y
2
x
22
=+ 
k = 1 
1
2/1
y
4/1
x
22
=+ 
55 
 
Lista 8: Limites e Continuidade 
 
Limites 
Calcule os limites das funções abaixo 
 
1. )
yx
yx(lim 22
33
0y
0x +
+
→
→
 4. )
x
y(senxlim 2
y
4x
⋅
pi→
→
 
 
2. 
22
0y
0x yx
xsenylim
+
⋅
→
→
 5. 44
22
0y
0x yx
yxlim
+
→
→
 
 
3. 22
0y
0x yx
yx2lim
+
−
→
→
 6. 
yx
yxlim
0y
0x +
−
→
→
 
 
 
 
Continuidade 
 
1. Seja 



=
≠−−
= )1,1()y,x(se9
)1,1()y,x(sey2x8)y,x(f e verifique a continuidade em (1,1). 
 
2. Analise a continuidade da função 





=
≠
+=
)0,0()y,x(se0
)0,0()y,x(se
yx
1
)y,x(f 22 em (0,0). 
 
3. Considere a função 
yx
xy)y,x(f
−
= e analise a continuidade em (0,0). 
 
4. Analise a continuidade das funções abaixo. 
a) 





=
≠
−=
)2,1()y,x(se1
)2,1()y,x(se
x2y
xy
)y,x(f em (1,2) 
b) 





=
≠
+=
)0,0()y,x(se0
)0,0()y,x(se
yx
yx7
)y,x(f 22
2
 em (0,0) 
 
c) xy2x3)y,x(f 2 += em (-1,3) 
 
 
Limites e continuidade 
5. Encontre o limite indicado e discuta a continuidade das funções dadas. 
a) )y3x(lim 2
)1,2()y,x(
+
→
 b) )1yxy3x5(lim
)0,0()y,x(
+++
→
 
 
56 
 
c) )
yx
yx(lim
)4,2()y,x(
−
+
→
 d) 
yx
xlim
)1,1()y,x( +→
 
 
e) 
xy1
)arcsen(
lim y
x
)1,0()y,x( +→
 f) )xysen(ylim
)2,()y,x( 4
pi→
 
 
g) xy
)0,0()y,x(
elim
→
 h) 22)1,1()y,x( yx
xylim
+→
 
 
 
Respostas 
Limites 
1) y = kx 0)y,x(flim
)0,0()y,x(
=
→
 
2)y = kx 0)y,x(flim
)0,0()y,x(
=
→
 
3) y = kx ∞=
→
)y,x(flim
)0,0()y,x(
 
4) 28 
5) y = kx ∃/=
→
)y,x(flim
)0,0()y,x(
 
6) y = kx ∃/=
→
)y,x(flim
)0,0()y,x(
 
 
 
Continuidade 
1) 5)y,x(flim
)0,0()y,x(
=
→
, f(1, 1)= 9 logo f(x, y) é descontínua em (1, 1) 
 
2) ∃/=
→
)y,x(flim
)0,0()y,x(
 logo f(x, y) é descontínua em (0, 0) 
 
3) ∃/=),( 00 yxf logo f(x, y) é descontínua em (0, 0) 
 
4. a) ∃/=
→
)y,x(flim
)2,1()y,x(
 logo f(x, y) é descontínua em (1, 2) 
 
 b) 0)y,x(flim
)0,0()y,x(
=
→
, f(0, 0)= 0 logo f(x, y) é contínua em (0, 0) 
 
 c) 3)y,x(flim
)3,1()y,x(
−=
−→
, f(-1, 3) = -3 logo f(x, y) é contínua em (-1, 3) 
 
 
Limites e continuidade 
5. a) 5)y,x(flim
)1,2()y,x(
=
→
, f(2, 1) = 5 logo f(x, y) é contínua em (2, 1) 
 
 b) 1)y,x(flim
)0,0()y,x(
=
→
, f(0, 0) = 1 logo f(x, y) é contínua em (0, 0) 
 
 c) 3)y,x(flim
)4,2()y,x(
−=
→
, f(2, 4) = -3 logo f(x, y) é contínua em (2, 4) 
57 
 
 
 d) 
2
1)y,x(lim
)1,1()y,x(
=
→
, f(1, 1) = 
2
1
 logo f(x, y) é contínua em (1, 1) 
 
 e) 0),(lim
)1,0(),(
=
→
yxf
yx
, f(0, 1) = 0 logo f(x, y) é contínua em (0, 1) 
 
 f) 2)y,x(flim
)2,
4
()y,x(
=
pi
→
, f(
4
pi
, 2) = 2 logo f(x, y) é contínua em (
4
pi
, 2) 
 
 g) 1)y,x(flim
)0,0()y,x(
=
→
, f(0, 0) = 1 logo f(x, y) é contínua em (0, 0) 
 
 h) d) 
2
1)y,x(lim
)1,1()y,x(
=
→
, f(1, 1) = 
2
1
 logo f(x, y) é contínua em (1, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Lista 9: Derivadas Parciais 
 
1. Encontre o coeficiente angular e a equação da reta tangente à curva de intersecção da 
superfície 22 yxz += com o plano x = 1 no ponto (1, 1, 2). 
 
2. Encontre o coeficiente angular e a equação da reta tangente à curva de intersecção da 
superfície 22 yx4z −−= com o plano x = 1 no ponto (1, 1, 2 ). 
 
3. Encontre o coeficiente angular e a equação da reta tangente à curva de intersecção da 
superfície )y3sen(ez 2x ⋅= − com o plano x = 1 no ponto (1, 0, 0). 
 
4. Encontre o coeficiente angular e a equação da reta tangente à curva de intersecção da 
superfície 22 yx
xy2
z
+
= com o plano y = 4 no ponto (3, 4, 
25
24
). 
 
Respostas 
1) fy = 2y fy(1,1) = 2 equação: z = 2y 
 
2) fy =
22 yx4
y
−−
−
 fy(1,1) = -1/ 2 equação: z = (-y +3)/ 2 
3) fy = 3
2xe− cos(3y) fy (1,0) = 3/e equação: z = (3y)/e 
 
4) fx = 222
32
)yx(
y2yx2
++++
++++−−−−
 fx(3,4) =56/625 equação: z = (56x +432)/625 
 
 
 
 
 
Determine 
x
z
∂
∂
 e 
y
z
∂
∂
, sendo: 
5) z = 7x – y2 
6) z = 3x2y + xy2 – 4xy 
7)z = exxy 
8) z = (xy + x2)3 
9) z = e2y ln (x2 + y) 
10) f(x, y) = x2cos(y) 
 
 
 
 
 
 
11) f(x, y) = ln(x2 + y2) 
12) z = 22 yx + 
13) f(x, y) = y3 sen(2x) 
14) f(x, y) = 
3y
7x
+
+
 
15) z = exy 
 
 
 
 
 
59 
 
Respostas 
5) y2f7f yx −== 
6) x4xy2x3fy4yxy6f 2y2x −+=−+= 
7) xefyexyef xy
xx
x =+= 
8) )x()xxy(3f)x2y()xxy(3f 22y22x +=++= 
9) 








+
++=








+
=
yx
1
e)yxln(e2f
yx
x2
ef 2
y22y2
y2
y2
x 
10) )y(senxf)ycos(x2f 2yx −== 
11) 22y22x yx
y2f
yx
x2f
+
=
+
= 
12) 
22y22x yx
yf
yx
xf
+
=
+
= 
13) )x2(seny3f)x2cos(y2f 2y3x == 
14) 2yx )3y(
)7x(f
3y
1f
+
+−
=
+
= 
15) xyy
xy
x xefyef == 
 
 
Calcule fx e fy nos pontos indicados: 
16) f(x, y) = 7x – y2 em (0, 1) 
17) f(x, y) = 1 – 3xy em (1, 2) 
18) f(x, y) = x2 +2x3y7 em (1, 0) 
19)f(x, y) = 7xy2 – 7x2y3 em (1, 1) 
 
 
Respostas 
16) y2f7f yx −== 
 2)1,0(7)1,0( −== yx ff 
 
17) x3fy3f yx −=−= 
 3)2,1(6)2,1( −=−= yx ff 
 
60 
 
 
18) 6372 1462 yxfyxxf yx =+= 
 0)0,1(2)0,1( == yx ff 
 
19) 222 21143147 yxxyfxyyf yx −=−= 
 7)1,1(f7)1,1(f yx −=−= 
 
20) Uma chapa de metal plana em um plano-xy, tem uma temperatura T em (x, y) dada por 
222 )(10 yxT += , em que T é expresso em graus e x e y em centímetros. Ache a taxa instantânea de 
T em relação à distância em (1, 2) na direção do 
(a) eixo x (b) eixo y 
 
 
 
Resposta 
)y2)(yx(20f)x2)(yx(20f 22y22x +=+= 
400)4)(5(20)2,1(f200)2)(5(20)2,1(f yx ==== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
Lista 10: Regra da Cadeia 
 
1. Determine as derivadas de acordo com a regra da cadeia necessária 
a) z = x3y2 – 3xy + y2 sendo x = 2t e y = 6t2 
 
b) w = 4x2 + 5xy – 2y3 sendo x = 3r + 5s e y = 7r2s 
 
 
 
Problemas de Regra da Cadeia 
2) A altura de um cone circular reto é 15cm e está aumentado de 1cm/s. O raio da base é 10cm e 
está diminuído de 0,5cm/s. Qual a taxa de