Sistemas Lineares (1)

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Faculdade Independente do Nordeste 
Credenciada pela Portaria MEC 1.393, de 04/07/2001 publicada no D.O.U. de 09/07/2001. 
 
CURSOS DE ENGENHARIA DA PRODUÇÃO/CIVIL/ELÉTRICA 
Componente Curricular: ÁLGEBRA LINEAR 
Professor: Márcia Azevedo Campos marciazevedo70@hotmail.com 
Aluno(a): 
Sistemas Lineares 
 
Equações Lineares 
Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de 
equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível. 
 
Definicão. Uma equação linear em n incógnitas x1,...,xn é uma equação da forma 
a1x1 + ... + anxn = b, 
onde a1,...,an, b são constantes reais. 
Uma solução para a equação linear acima é um conjunto de números reais s1, s2, ..., sn tais que 
quando substituímos 
x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn,, a equação é satisfeita. 
 
Sistemas de Equações Lineares 
Um sistema de equações lineares é simplesmente um conjunto de equações lineares. 
 
Definicão. Um sistema de m equações lineares em n variáveis (ou incógnitas) é um conjunto de 
equações lineares da forma 
S = {
 
 
 
 
 
 
onde aij, bk para i = 1, ... , m, j = 1, ... , n e k = 1, ... , m, são constantes reais, chamados os 
coeficientes do sistema. 
 
Usando a notação de matrizes e, especialmente, a maneira como o produto de matrizes foi 
definido, o sistema linear acima pode ser representado pela equação matricial 
A . X = B, onde 
. 
A matriz A é chamada a matriz do sistema. 
 
Sistemas Lineares Homogêneos 
Definição. Um sistema linear da forma 
S = {
 
 
 
 
 
ou seja, A . X = 0, é chamado um Sistema Linear Homogêneo. 
 
Um sistema linear homogêneo sempre tem solução, pois todo sistema homogêneo admite pelo 
menos a solução nula (também chamada solução trivial): x1 = x2 = ... = xn = 0. 
 
Faculdade Independente do Nordeste 
Credenciada pela Portaria MEC 1.393, de 04/07/2001 publicada no D.O.U. de 09/07/2001. 
 
Em particular, segue então que ele necessariamente possui infinitas soluções. 
Exemplo 1. O sistema linear homogêneo 
 
possui uma única solução, a solução nula x = y = z = 0. 
 
Resolução de Sistemas Lineares 
Operações Elementares 
Um método para resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o 
mesmo conjunto solução do primeiro, ou seja, equivalente. O novo sistema é obtido após a 
aplicação de uma série de operações que simplificam as equações do sistema que tem a 
propriedade especial de não alterar o conjunto solução. Estas operações são chamadas Operações 
elementares: 
1. Permutar duas equações do sistema. (Li  Lj) 
2. Substituir uma equação pela mesma equação multiplicada por um escalar diferente de zero. 
3. Substituir uma equação pela mesma equação somada a outra equação multiplicada por um 
escalar diferente de zero. 
 
Assim podemos considerar apenas a matriz de coeficientes do 
sistema, chamada matriz aumentada: 
As operações elementares serão efetuadas sobre as linhas 
desta matriz. 
Teorema. Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D são tais que a matriz aumentada [C|D] ´e 
obtida de [A|B] aplicando-se operações elementares, então os dois sistemas possuem as 
mesmas soluções. 
 
Sistemas que possuem as mesmas soluções são chamados Sistemas Equivalentes. 
 
Método de Gauss: Matriz dos coeficientes é uma matriz quadrada 
 ~ [ 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
Método da Matriz Inversa: Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, 
temos que se existir A
-1
 então X = A
-1
. B 
 
Regra de Cramer: Se A . X = B é um Sistema de m equações e n incógnitas ( m = n) tal que det 
A ≠ 0, inversível, o sistema tem uma única solução dada por: 
 
x1 = 
 
 
 ; x2 = 
 
 
; ... ; xn = 
 
 
 
 
onde Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas da matriz 
B dos resultados. 
 
Característica de uma Matriz 
 
_ Por meio de Operações sobre Linhas transforma-se a matriz associada ao sistema na forma 
Escada; 
_ Designa-se por A a matriz ampliada do Sistema; 
 
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Credenciada pela Portaria MEC 1.393, de 04/07/2001 publicada no D.O.U. de 09/07/2001. 
 
_ E por B a matriz em forma de escada. Contida em B temos a matriz V dos coeficientes. 
Def.1: Chama-se característica de A ou CA o número de linhas com elementos não todos nulos da 
matriz B. 
Def.2: Chama-se característica de V ou CV o número de linhas com elementos não todos nulos da 
matriz V. 
Def.3: Quando CA = CV se dirá simplesmente que a Característica de B é C. 
Def.4: Chama-se grau de liberdade de um sistema de equações lineares à diferença g = n – C, onde 
g é o número de variáveis livres. 
 
Sendo m o número de equações do Sistema e n o número de incógnitas, temos: 
_ Se CA > CV o Sistema é Incompatível; 
_ Se CA = CV = C o Sistema é Compatível: 
- Se C = n é Compatível Determinado, e admite apenas uma solução; 
- Se C < n é Compatível Indeterminado, e admite infinitas soluções. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Classificar e Resolver os Sistemas: 
a) S = {
 
 
 
 
b) S = {
 
 
 
 
 
c) S = {
 
 
 
 
 
d) S = {
 
 
 
 
 
e) S = {
 
 
 
 
f) S = {
 
 
 
 
 
g) S = {
 
 
 
 
2. Utilize a regra de Cramer para resolver o Sistema: {
 
 
 
 
 
3. Pelo método da Inversão de Matrizes, sabendo que (A / I) ~ ( I / A-1) resolver o Sistema: 
{
 
 
 
 
 
4. Usando operações sobre linhas, estabeleça condições em k para que o sistema 
S: {
 
 
 
 seja compatível. 
 
5. Discuta quanto às suas soluções o sistema, em função de k: 
 S = {
 
 
 
 
 
6. Estudar Matriz Identidade e Matriz Inversa: pág 483 de Steinbruch, ex. grupo A.37, ex.1 a 7 
7. Estudar Resolução de Sistemas pelo Método Matricial: pág571 de Steinbruch, ex. 20 e 21 
8. Exercícios Propostos: Sistemas pág 576 de Steinbruch, exer.do grupo A.46.1 – 1 ao 37 
 
Faculdade Independente do Nordeste 
Credenciada pela Portaria MEC 1.393, de 04/07/2001 publicada no D.O.U. de 09/07/2001. 
 
ENGENHARIAS DA PRODUÇÃO/ CIVIL/ELÉTRICA 
Componente Curricular: ÁLGEBRA LINEAR 
Professor: Márcia Azevedo Campos marciazevedo70@hotmail.com 
Aluno(a): 
 
EXERCÍCIOS AVALIATIVOS – I UNIDADE Valor: 2,0 
 
1) Sobre Sistemas de Equações Lineares associe V caso as afirmações sejam Verdadeiras ou F 
caso sejam Falsas. Neste último caso reescreva-as corretamente abaixo: 
a) ( ) Um Sistema de Equações Lineares é Compatível Indeterminado quando não admite 
solução. 
b) ( ) Dois Sistemas de Equações Lineares Equivalentes admitem soluções distintas. 
c) ( ) Usando Operações sobre linhas a um Sistema de Equações Lineares é possível produzir 
Sistema Equivalentes 
d) ( ) Todo Sistema de Equações Lineares Homogêneo é Compatível Determinado. 
e) ( ) Todo Sistema de Equações Lineares Homogêneo admite apenas Solução Trivial. 
f) A característica da matriz ampliada é menor que a característica da matriz dos coeficientes 
quando o sistema é Incompatível. 
g) ( ) Um Sistema de Equações Lineares é Compatível quando a Característica da MatrizAmpliada é maior a Característica da Matriz dos Coeficientes. 
h) ( ) O Grau de Liberdade de um Sistema Linear indica o número de variáveis dependentes do 
sistema escalonado. 
 
2) Classifique e resolva os sistemas: 
 
a) S = {
 
 
 
 b) S = {
 
 
 
 c) S = {
 
 
 
 
 
3) Usando operações sobre linhas, discuta quanto à solução e em função de k os sistemas: 
 
a) S: {
 
 
 
 b) S = {
 
 
 
 
 
4) Utilize a regra de Cramer para resolver o Sistema: {
 
 
 
 
4) Utilizando Método de Gauss em que [ ] [ 
 
 
 
 
 
 
 
 
] resolva o Sistema S={