Apostila de GA Retas

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A Reta 
 
 
[1]
AA RR EE TT AA 
 
(1) Equação Vetorial da Reta (equação vetorial de um segmento de reta) 
(2) Equações Paramétricas da Reta 
(3) Equações Simétricas da Reta 
(4) Equações Reduzidas da Reta 
(5) Equação Geral da Reta 
(6) Ângulo de duas retas: Caso Geral 
(I) Paralelismo entre duas retas (Retas Paralelas aos eixos coordenados) 
(II) Ortogonalidade de duas retas 
(7) Reta ortogonal a duas retas 
(8) Intersecção de duas retas 
(9) Posições relativas de duas retas: concorrentes, paralelas e reversas 
(i) Condição de paralelismo de duas retas 
(ii) Condição de coplanaridade de duas retas 
(iii) Condição para que duas retas sejam reversas 
(iv) Condição de ortogonalidade de duas retas 
 
 
Para determinar uma reta, é preciso um vetor e um ponto. 
Outra Forma : dois pontos não coincidentes. 
 
 
 
 
 
 
(1) Equação Vetorial da Reta 
 
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e que tem a direção de um vetor não nulo vr . Para que P, um 
ponto qualquer do espaço, pertença à reta r é necessário e suficiente que os vetores AP = P – A e 
vr ≠ 0r sejam linearmente dependentes (LD), isto é, é necessário e suficiente que exista um número 
real t, tal que AP = t vr . 
 
Para cada ponto P de r tem-se um valor para t, e quando P descreve toda a reta no sentido do vetor 
vr , t varia em IR (conjunto dos números reais) de –∞ a +∞, fato esse que será denotado por t ∈ IR.. 
 
Assim a equação: 
P = A + t vr (t ∈ IR) (1) 
 
é denominada EQUAÇÃO VETORIAL da reta r e o valor real t é chamado de parâmetro. 
 
 
Se a reta r for determinada por dois pontos distintos A e B, a direção de r será dada pela direção do 
vetor AB = B – A e a equação vetorial da reta r será 
P = A + t (B – A) (t ∈ IR) (2) 
 
 
Observação: O vetor vr ou AB que dá a direção da reta r é chamado de vetor diretor. 
A Reta 
 
 
[2]
Exemplo 1: A reta r que passa pelo ponto A = (1, 2, –1) e tem a direção do vetor 
vr = (2, 3, 1), tem a equação vetorial dada por 
(x, y, z) = (1, 2, –1) + t (2, 3, 1) t ∈ IR 
(x, y, z) = (1 + 2t, 2 + 3t, –1 + t) 
(x, y, z) representa um ponto qualquer da reta r . 
Para obter os pontos da reta, basta atribuir valores para t. 
Para t = 1, tem-se o ponto P1 = (1 + 2, 2 + 3, –1 + 1) = (3, 5, 0); 
Para t = 2, tem-se o ponto P2 = (1 + 2.2, 2 + 3.2, –1 + 2) = (5, 8, 1); 
Para t = 3, tem-se o ponto P3 = (1 + 2.3, 2 + 3.3, –1 + 3) = (7, 11, 2); 
Para t = 0, tem-se o ponto P4 = (1 + 2.0, 2 + 3.0, –1 + 0) = (1, 2, –1), que é o próprio ponto A; 
Para t = –1, tem-se o ponto P5 = (1 + 2(–1), 2 + 3(–1), –1 + (–1)) = (–1, –1, –2); 
Para t = ½ , tem-se o ponto P6 = (1 + 2.( ½), 2 + 3(½), –1 + ½) = (2, 7/2, –1/2); 
 
Portanto, se t assumir todos os valores reais, tem-se os infinitos pontos da reta. 
 
 
Exemplo 2: A reta r que passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (2, –1), tem a equação 
vetorial dada por 
(x, y) = (1, 3) + α [(2, –1) – (1, 3)] 
 = (1, 3) + α (1, – 4) = (1 + α, 3 – 4α) α ∈ IR 
Para α = 0 tem-se P0 = (1, 3) 
Para α = 1 tem-se P1 = (2, –1) 
Para α = 2 tem-se P2 = (3, –5) 
Para α = –1,5 tem-se P3 = (– ½ , 9) 
 
Colocando esses pontos no plano cartesiano, tem-se 
 
 
 
 
Exemplo 3 : A reta s que passa pelos pontos A = (1, 2, 3) e B = (0, 3, 1), tem a equação 
vetorial dada por 
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t [(0, 3, 1) – (1, 2, 3)] 
 = (1, 2, 3) + t (–1, 1, –2) = (1 – t, 2 + t, 3 – 2t) t ∈ IR 
 
 
A Reta 
 
 
[3]
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 11 : A reta r passa pelo ponto P0 = (–1, 2) e tem a direção do vetor v
r = (2, –2). 
(i) Escreva a equação vetorial da reta r ; 
(ii) Atribuindo valores reais (0, 1, 2, –1, ½) para o parâmetro t , obtem-se os pontos A, B, C, D, E 
da reta r ; 
(iii) Construa um sistema de coordenadas cartesianas no plano e coloque nele o vetor vr e os pontos 
A, B, C, D, E; 
(iv) Com o auxílio de uma régua verifique se estes pontos estão sobre uma mesma reta e se os 
vetores vr , AB, AC , AD e AE são paralelos; 
(v) Estabeleça qual é a relação existente entre os módulos dos vetores AB, AC , AD e AE e o 
módulo de vr . 
 
 
 
Caso Especial: Equação vetorial de um segmento de reta 
Considere uma reta r e nela um segmento AB (origem A e extremidade B). 
 
A equação vetorial do segmento AB é similar à equação vetorial da reta, com a particularidade para 
o parâmetro t que passa a ser restrito ao intervalo fechado [0,1], ou seja, t ∈ IR tal que 0 ≤ t ≤ 1. 
 
 
 
 
 
(2) Equações Paramétricas da Reta 
 
Seja (O, 1e
r , 2e
r , 3e
r ) um sistema de coordenadas no espaço. 
Sejam P = (x, y, z), P0 = (x0, y0, z0) e v
r = (a, b, c), respectivamente um ponto genérico de r, um 
ponto dado de r e um vetor vr não nulo de direção paralela à reta r. 
 
De (1), a equação vetorial da reta r , tem-se que 
P = P0 + t v
r (t ∈ IR), 
ou seja, 
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c). 
 
Logo, pela igualdade de vetores, tem-se que 
 x = x0 + t a 
 y = y0 + t b (3) 
 z = z0 + t c 
em que a, b, c NÃO são todos nulos, pois o vetor vr é não nulo ( vr ≠ 0r ). 
 
As equações em (3) são ditas EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS da reta r, em relação ao sistema de 
coordenadas fixado. 
 
Reciprocamente, dado o sistema de equações lineares (3), com a, b e c não todos nulos, ele 
representa uma reta r do espaço, pois a reta que passa pelo ponto de coordenadas (x0, y0, z0) e tem a 
direção do vetor não nulo de coordenadas (a, b, c), terá como equações paramétricas dadas por (3). 
 
A Reta 
 
 
[4]
No caso da reta r ser definida por dois pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), as equações 
paramétricas de r serão: 
x = x1 + t (x2 – x1) 
y = y1 + t (y2 – y1) 
z = z1 + t (z2 – z1) 
para t real. 
 
 
Observação: No caso da geometria no plano, sendo (O, 1e
r , 2e
r ) um sistema de coordenadas, as equações 
paramétricas de uma reta r que passa pelo ponto A = (x0, y0) e tem a direção do vetor não nulo 
vr = (a, b), serão: 
 x = x0 + t a 
 y = y0 + t b (4) 
 
Se a reta r for definida por dois pontos distintos A = (x1, y1) e B = (x2, y2), as equações paramétricas 
de r serão: 
x = x1 + t (x2 – x1) 
y = y1 + t (y2 – y1) 
em relação ao sistema fixado. 
 
 
Exemplo: pelo exemplo 1 acima, as equações paramétricas para a reta r são: 
x = 1 + 2t 
y = 2 + 3t 
z = –1 + t 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 22 (Caroli) Escreva as equações paramétricas da reta determinada pelos pontos 
A = (1, 1, 1) e B = (2, 3, 5). 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 33 (Winterle) Com base na figura abaixo, escreva as equações paramétricas da reta que 
passa pelos pontos 
 
a) A e B; 
b) C e D; 
c) A e D; 
d) B e C; 
e) D e E; 
f) B e D. 
(2-2 t, 0, 4) 
(2 t, 3, 0) 
(2, 3t, 4-4t) 
(0, 3t, 4-4t) 
(2, 3+3t, 0) 
(2t, 3t, 4-4t) 
 
 
 
A Reta 
 
 
[5]
(3) Equações da Reta na Forma Simétrica 
Nas fórmulas dadas em (3), supondo abc ≠ 0 (a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0), tem-se: 
a
xx 0− = 
b
yy 0− = 
c
zz 0− (= t) (5) 
que são denominadas EQUAÇÕES SIMÉTRICAS da reta r. 
 
 
Se um dos números a, b ou c é zero, por exemplo, se a = 0 e bc ≠ 0, as fórmulas (5) ficam 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
=
c
zz
b
yy
xx
00
0
 (6) 
Com isso, P0 = (x0, y0, z0) e v
r = (0, b, c). 
A reta é paralela ao plano yOz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se dois dos números a, b, c são nulos, por exemplo, se c ≠ 0, as fórmulas (5) ficam 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
=
real para,0
0
0
ttczz
yy
xx
 (7) 
ou simplesmente 
⎩⎨
⎧
=
=
0
0
yy
xx
. 
Com isso, P0 = (x0, y0, z0) e v
r = (0, 0, c). 
A reta é paralela ao eixo Oz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: A reta que passa pelo ponto A = (3, 0, –5)e tem a direção do vetor 
vr = (2, 2, –1) tem as equações simétricas expressas por 
 
2
3−x = 
2
y = 
1
5
−
+z 
Para obter um outro ponto da reta, basta atribuir um valor qualquer para uma das variáveis e as 
outras variáveis serão determinadas pela condição de igualdade na expressão acima. Por exemplo, 
para x = 5, tem-se 
A Reta 
 
 
[6]
2
3−x = 
2
35− = 1 , 
então 1 = 
2
y = 
1
5
−
+z => y = 2 e z = – 6. Portanto, o ponto (5, 2, –6) pertence à reta. 
 
 
Exemplo 2: A reta que passa pelo ponto A = (0, 3, 2) e tem a direção do vetor 
vr = (2, 0, –4) tem as equações simétricas expressas por 
2
x = 
4
2
−
−z e y = 3 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 44 (Caroli) Representar graficamente a reta r de equações 
2
1−x = 
1−
y = 
3
2−z 
e determinar as intersecções com os planos coordenados. 
 
 
 
 
 
(4) Equações Reduzidas da reta 
 
A partir das equações simétricas em (5), supondo abc ≠ 0, pode-se expressar duas variáveis em 
função da terceira, por exemplo, as variáveis y e z podem ser expressas em função da variável x. 
a
xx 0− = 
b
yy 0− => y = y0 + a
xxb )( 0− => y = y0 – a
xb 0 + 
a
b x => y = m + n x (8) 
a
xx 0− = 
c
zz 0− => z = z0 + a
xxc )( 0− => z = z0 – a
xc 0 + 
a
c x => z = p + q x (9) 
para m = y0 – a
xb 0 , n =
a
b , p = z0 – a
xc 0 e q = 
a
c . 
 
As equações (8) e (9) são as EQUAÇÕES REDUZIDAS da reta r, na variável x. 
 
De forma similar, as variáveis x e z podem ser expressas em função da variável y, ou seja, 
x = r + s y 
z = w + u y, 
que são as equações reduzidas da reta r, na variável y. 
 
Analogamente, as variáveis x e y podem ser expressas em função da variável z, ou seja, 
x = f + g z 
y = h + l z, 
que são as equações reduzidas da reta r, na variável z. 
 
 
A Reta 
 
 
[7]
Observação: Para encontrar o vetor diretor a partir das equações reduzidas da reta, 
(1) basta determinar dois pontos A e B por essas equações e então encontrar o vetor 
AB = B – A, ou 
(2) isolar a variável x nas duas equações e obter as equações na forma simétrica. 
 
 
 
Exemplo 1: Para a reta r que passa pelo ponto A = (2, –4, –3) e tem o vetor diretor 
vr = (1, 2, –3), tem as equações simétricas 
x – 2 = 
2
4+y = 
3
3
−
+z 
Sendo assim, as equações reduzidas da reta r na variável x são obtidas por 
x – 2 = 
2
4+y => y = 2x – 8 
x – 2 = 
3
3
−
+z => z = –3x + 3 
 
Observação: Todo ponto P pertencente a reta é do tipo P = (x, 2x–8, –3x+3), para x um valor real 
qualquer. Se x = 3, então o ponto (3, –2, –6) pertence a reta. 
 
 
Exemplo 2: As equações reduzidas no exemplo acima, dadas por 
y = 2x – 8 e z = –3x + 3 
ao isolar a variável x nas duas equações, tem-se 
x = 
2
8+y e x = 
3
3
−
−z 
ou seja, 
1
x = 
2
8+y = 
3
3
−
−z 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 55 : Expressar as equações paramétricas da reta r, que está determinada pelas seguintes 
equações reduzidas 
x = 2y –1 
z = –y + 4 
O ponto (1, 0, 2) pertence a esta reta r ? 
 
 
 
(5) Equação Geral da reta (somente no IR 2) 
 
No caso da geometria plana, sendo (O, 1e
r , 2e
r ) um sistema de coordenadas, para determinar a 
equação de uma reta r que passa por um ponto A = (x0, y0) e tem a direção de um vetor não nulo 
vr = (a1, b1) é necessário e suficiente que os vetores AP = P – A e vr sejam linearmente 
dependentes (LD), para P = (x, y) um ponto qualquer da reta r . 
 
A Reta 
 
 
[8]
Assumir que os vetores AP e vr são linearmente dependentes (LD) é equivalente a assumir que os 
vetores são paralelos. 
 
11
00
ba
yyxx −−
 = 0 (10) 
 
 
 
 
Desenvolvendo (10), tem-se 
b1 (x – x0) – a1 (y – y0) = 0 <=> b1 x – a1 y – b1 x0 – a1 y0 = 0 . 
 
Fazendo 
b1 = a , – a1 = b e – b1 x0 – a1 y0 = c , 
 
resulta em 
a x + b y + c = 0, (11) 
com a e b não ambos nulos, pois vr ≠ 0r . 
 
A equação (11) denomina-se EQUAÇÃO GERAL DA RETA r. 
 
 
Observação: Não é possível definir a equação geral da reta no IR 3. 
 
 
 
 
 
 
(6) Ângulo de duas retas no espaço 
 
Considere duas retas não paralelas (concorrentes ou reversas), uma reta r 
com vetor diretor vr e outra reta s com vetor diretor ur . Chama-se ângulo de 
duas retas r e s, o menor ângulo θ formado por vr (vetor diretor de r) e por 
ur (vetor diretor de s). 
 
 ou 
 Retas Concorrentes Retas Reversas 
A Reta 
 
 
[9]
 
Sendo assim, tem-se que 
cos(θ) = 
|| ||
| |
uv
uv rr
rr × , com 0 ≤ θ ≤ π/2 (12) 
 
 
Exemplo: Calcular o ângulo entre as retas 
r : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
=
+=
tz
ty
tx
21
3
 e s : 
2
2
−
+x = 
1
3−y = 
1
z . 
 
Solução 
O vetor diretor da reta r é v
r
 = (1, 1, –2) e o vetor diretor da reta s é u
r
 = (–2, 1, 1). 
Como v
r ×ur = 1(–2) + 1(1) + (–2)1 = – 3 
| v
r
| = 222 )2(11 −++ = 6 
|u
r
| = 222 11)2( ++− = 6 
Assim, sendo θ o ângulo formado por vr e ur , por (12) tem-se que 
cos(θ) = 
|| ||
| |
uv
uv rr
rr × = 
66
|3| − = 
6
3 = 
2
1 
 
Portanto, θ = arc cos(½) = π/3 rad = 60º 
 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 66 : Calcular o menor ângulo entre o eixo Ox e a reta 
2
1
−
+x = 
1
3
−
−y = 
2
2−z 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 77 : Calcular o valor de n para que seja de 30º o ângulo que a reta r forma com o eixo 
Oy, sendo r : ⎩⎨
⎧
−=
+=
32
5
xz
nxy
. 
 
 
CASOS PARTICULARES 
 
(I) Paralelismo entre duas retas 
 
Uma reta r , com vetor diretor v
r
, é paralela a uma reta s , com vetor diretor u
r
, se os vetores v
r
 e u
r
 
são paralelos, ou seja, 
v
r
 = α ur 
 
Caso Particular: Retas Paralelas aos eixos coordenados 
 
(i) Uma reta r , que tem a direção do vetor v
r
, é paralela ao eixo Ox, cujo vetor diretor é 
i
r
 = (1, 0, 0), se v
r
 é paralelo a i
r
. 
(ii) Uma reta r , que tem a direção do vetor v
r
, é paralela ao eixo Oy, cujo vetor diretor é 
j
r
 = (0, 1, 0), se v
r
 é paralelo a j
r
. 
A Reta 
 
 
[10]
(iii) Uma reta r , que tem a direção do vetor v
r
, é paralela ao eixo Oz, cujo vetor diretor é 
k
r
 = (0, 0, 1), se v
r
 é paralelo a k
r
. 
 
 
 
Exemplo: Seja a reta r que passa pelo ponto A = (2, 3, 4) e tem a direção do vetor 
vr = (0, 0, 3). Como a direção de vr é a mesma de k
r
, pois vr = 3k
r
, a reta r é paralela ao eixo Oz. 
A reta pode ser representada pelas equações paramétricas 
x = 2 
y = 3 
 z = 4 + 3t (ou z ∈ IR) 
Figura 
 
 
 
 
 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 88 (Winterle) Escrever as equações paramétricas das retas r1, r2 e r3 que passam pelo 
ponto A = (4, –5, 3) e são respectivamente paralelas aos eixos Ox, Oy e Oz. 
 
Resp: r1: 
⎩⎨
⎧
=
−=
3
5
z
y r2: 
⎩⎨
⎧
=
=
3
4
z
x r3: 
⎩⎨
⎧
−=
=
5
4
y
x 
 
 
 
 
 
(II) Ortogonalidade de duas retas 
 
Uma reta r , com vetor diretor vr , é ortogonal a uma reta s , com vetor diretor ur , se os vetores vr e 
ur formam um ângulo de 90 º, ou seja, 
 vr ⊥ ur Ù vr × ur = 0 
 
Observação: Duas retas ortogonais podem (ou não) ser concorrentes (quando existe um ponto em 
comum). Na figura abaixo as retas s e t são ortogonais a r. As retas s e r são concorrentes e, neste 
caso, diz-se que as retas são perpendiculares 
 
 
 
 
A Reta 
 
 
[11]
Exemplo: As retas r : ⎩⎨
⎧
=
+−=
xz
xy
4
12
 e s : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
−=
tz
ty
tx
4
23
 são ortogonais, pois 
vr = (1, –1, 4) – (0, 1, 0) = (1, –2, 4) e ur = (–2, 1, 1), os vetores diretores de r e s, respectivamente, 
tem o produto escalar nulo. 
vr × ur = 1 (–2) + (–2) 1 + 4 (1) = – 2 – 2 + 4 = 0. 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 99 : As equações das retas r e s são dadas abaixo. Verificar se as retas são ortogonais. 
r : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
+=−
=
6
1
8
3
3
zx
y
 es : 
3
x = 
5
1+y = 
4
3−z . 
 
 
 
 
 
 
 
(7) Reta ortogonal a duas retas 
 
Sejam as retas r1 e r2, não paralelas, com as direções de 1v
r
 e 2v
r
, respectivamente. Toda reta r 
ortogonal, ao mesmo tempo, a reta r1 e r2 , terá a direção do vetor v
r , de tal modo que 
 
⎩⎨
⎧
=×
=×
0
0
2
1
vv
vv
rr
rr
 (13) 
 
Utilizando o resultado do produto vetorial, pode-se determinar a solução para o sistema acima sem 
utilizar a solução trivial quando v
r
 = 0
r
, isto é, 
 
v
r
 = 21 vv
rr ∧ 
 
 
 
Exemplo 
Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A = (3, 4, –1) e é ortogonal às 
retas 
r1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t (2, 3, –4) e r2 : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
=
tz
ty
x
1
5
 
Solução 
Sendo 1v
r
= (2, 3, –4) e 2v
r
= (0, 1, –1), o vetor diretor de r é vr = 1v
r ∧ 2v
r
= (1, 2, 2). Logo, 
r : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
+=
+=
tz
ty
tx
21
24
3
 
 
A Reta 
 
 
[12]
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 11 00: Determinar as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A = (–2, 1, 3) e 
é simultaneamente ortogonal às retas s e t, com respectivas equações dadas por 
s : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
+=
−=
tz
ty
tx
3
21
2
 e t : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
−
=
13
1
2
zx
y
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 1111 (Winterle) Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por A e é 
simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2, nos seguintes casos: 
a) A = (3, 2, –1) , r1 : ⎩⎨
⎧
−=
=
1
3
y
x
 e r2 : ⎩⎨
⎧
+−=
−=
32
3
xz
xy
 
b) A = (0, 0, 0) , r1 : 2
3
2
−== zyx e r2 : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+−=
=
2
1
3
z
ty
tx
 
c) A é a intersecção de r1 e r2 , com r1 : 32
12 zyx =+=− e r2 = ⎩⎨
⎧
+=
−=
yz
yx
22
1
 
 
 
 
 
 
(8) Intersecção de duas retas 
 
Para determinar a intersecção de duas retas, é preciso verificar se elas são concorrentes. Se existe 
um ponto que seja comum às duas retas simultaneamente, então é possível determinar o ponto onde 
elas se encontram. 
 
Observação 
(I) Se duas retas são coplanares, então elas ou são paralelas ou são concorrentes (existe um comum 
entre elas, um ponto de intersecção) como mostra a figura a seguir. 
 
(II) Se duas retas não são coplanares, então elas são ditas reversas (não são concorrentes e não são 
paralelas) como mostra a figura a seguir. 
 
 
A Reta 
 
 
[13]
Nota: Se existe I = (x, y, z) o ponto comum às duas retas, as coordenadas deste ponto devem 
atender todas as equações das duas retas r1 e r2. Sendo assim, pode-se determinar da seguinte 
maneira: 
(i) pelas equações paramétricas. Se o sistema for inconsistente, então as retas não possuem o ponto 
de intersecção I; 
(ii) se a reta r é dada pelas equações simétricas e s dada pelas equações paramétricas, então se 
substituir x, y e z de s nas de r, é possível determinar o valor do parâmetro e assim achar o ponto 
de intersecção. 
 
Exemplo 1: Verificar se as retas r1 e r2 são concorrentes. Se afirmativo, determinar o 
ponto de interseção. 
r1 : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
+=
+=
hz
hy
hx
2
21
3
 e r2 : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−−=
+=
tz
ty
tx
4
21
35
 
 
Solução: 
Quando as duas retas são dadas pelas equações paramétricas, o ponto I é solução do sistema 
formado quando se iguala as expressões das coordenadas x, y e z de r1 e r2. 
3 + h = 5 + 3t 
1 + 2h = – 1 – 2t 
2 – h = 4 + t 
ou seja, h – 3 t = 2 => h = 3t + 2 => h = – 1 
 2h + 2t = – 4 
 – h – t = 2 => – (3t + 2) – t = 2 => – 4t = 4 => t = – 1 
 
Assim, a solução para o sistema acima é h = t = – 1. 
Substituindo h = –1 nas equações da reta r1 tem-se 
x = 3 + (– 1) = 2 y = 1 + 2(–1) = – 1 z = 2 – (– 1) = 3 
 
Portanto o ponto de interseção I = (2, – 1, 3) 
O mesmo ponto seria obtido substituindo-se t = –1 nas equações de r2. 
 
 
 
Exemplo 2: Verificar se as retas r1 e r2 são concorrentes. Se afirmativo, determinar o 
ponto de interseção. 
r1 : ⎩⎨
⎧
−=
−=
xz
xy 32
 e r2 : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−=
−=
tz
ty
tx
22
4 
Solução: 
Substituindo x, y e z das equações de r2 nas equações de r1 resulta em 
4 – t = 2 (– t) – 3 
2 + 2t = – (– t) 
 isto é, o sistema 4 – t = – 2t – 3 
 2 + 2t = t 
terá t = –7 da primeira equação e da segunda t = –2. 
 
A Reta 
 
 
[14]
Como o sistema não tem solução, não existe ponto de interseção, isto é, as retas r1 e r2 não são 
concorrentes. 
 
 
Exemplo 3: Verificar se as retas r1 e r2 são concorrentes. Se afirmativo, determinar o 
ponto de interseção. 
r1 : ⎩⎨
⎧
−=
+−=
52
23
xz
xy
 e r2 : 2
2+x = 
6
1
−
−y = 
4
z 
 
Solução: 
Observando que de y = – 3x + 2 e de z = 2x – 5, para x = 1 tem-se o ponto A = (1, –1, –3) e para x 
= 0, tem-se o ponto B = (0, 2, –5). 
Assim, o vetor BA = A – B = (1, – 1, – 3) – (0, 2, –5) = (1, –3, 2) é o vetor diretor de r1. 
Outra forma para determinar um vetor diretor da reta r1 é escrever as equações simétricas a partir 
das equações reduzidas. 
y = – 3x + 2 => x = 
3
2
−
−y 
z = 2x – 5 => x = 
2
5+z 
=> x = 
3
2
−
−y = 
2
5+z 
 
Portanto, como 1v
r
= (1, –3, 2) e 2v
r
 = (2, –6, 4) são vetores diretores de r1 e r2, respectivamente, e 
como 2v
r
 = 2 1v
r
, conclui-se que as retas são paralelas e não-coincidentes (basta ver que o ponto 
P0 = (0, 2, –5) ∈ r1 e P0 ∉ r2). 
 
Outra forma para resolver este problema é buscar a solução do sistema constituído pelas equações 
de r1 e r2 para concluir a não-existência do ponto de interseção. 
 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 1122 (Camargo/Boulos): Prove que o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de 
A = (2,1,1), B = (–1,0,1) e C = (0,2,1) é uma reta (colocar a equação vetorial). 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO 11 33 : Calcular o valor de m para que as seguintes retas sejam concorrentes: 
a) r1 : ⎩⎨
⎧
+−=
−=
2
52
xz
xy
 e r2 : x – 5 = m
y = z + 1 R: -3 
b) r1 : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
−=
tz
ty
tmx
2
1 e r2 : 21
2
3
1
−=
+=− zyx R: 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Reta 
 
 
[15]
(9) Posições relativas de duas retas: concorrentes, paralelas e reversas 
 
Duas retas podem ser paralelas e/ou coplanares. 
(a) Se duas retas são paralelas, então essas retas sempre podem ser colocadas no mesmo plano. 
(b) Se duas retas não são paralelas e estão no mesmo plano, então elas são concorrentes. 
(c) Se duas retas não são paralelas e não estão no mesmo plano, então elas são reversas. 
 
(i) Condição de paralelismo de duas retas 
Duas retas r e s com vetores diretores ur e vr , respectivamente, são paralelas se, e somente se, 
{ur , vr } é linearmente dependente (LD), ou seja, ur = α vr . 
 
 
(ii) Condição de coplanaridade de duas retas 
Considere duas retas r e s com vetores diretores ur e vr , respectivamente, tal que {ur , vr } é 
linearmente independente (LI). As retas r e s são coplanares se, e somente se, {ur , vr , AB} é 
linearmente independente (LI), sendo A um ponto pertencente a reta r e B um ponto pertencente a 
reta s. Para verificar se {ur , vr , AB} é linearmente independente (LI), basta calcular o determinante 
Λ = 
ABABAB
222
111
zzyyxx
zyx
zyx
−−−
, 
 u = (x1, y1, z1), 
para v = (x2, y2, z2) e 
 AB= (xB – xA, yB – yA, zB – zA). 
Se Λ = 0, então {ur , vr , AB} é linearmente dependente (LD). 
 
 
(iii) Condição para que duas retas sejam reversas 
Se Λ ≠ 0, então {ur , vr , AB}é linearmente independente (LI). 
 
 
(ii) Condição de ortogonalidade de duas retas 
Duas retas r e s, com vetores diretores ur e vr , respectivamente, são ortogonais se, e somente se, 
ur × vr = 0 
 
 
 
 
 
EE XX EE RR CC ÍÍ CC II OO SS 
[01] Determinar na reta r :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
=
+=
tz
ty
tx
21
2
um ponto eqüidistante dos pontos A(2, –1, –2) e B(1, 0, –1). 
R:(7/4, -1/4, 3/2) 
 
[02] Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P(0, 2, 1) e forma ângulos 
congruentes com as retas r : (x, y, z) = (0,0,0) + t (1, 2, 2), s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t (0, 3, 0) e 
k : (x, y, z) = (1, 2, 0) + t (0, 0, 3). 
 
 
 
 
A Reta 
 
 
[16]
Resumindo 
Para determinar uma reta, é preciso um ponto A = (x0, y0, z0) e um vetor v
r = (a, b, c) para fornecer 
a direção da reta r . Se P = (x, y, z) representa um ponto qualquer da reta, então: 
 
Equação vetorial: P = A + t vr ou (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) 
Equações paramétricas: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
tczz
tbyy
taxx
0
0
0
 , com t ∈ IR . 
Equações simétricas: 
c
zz
b
yy
a
xx 000 −=−=− , com abc ≠ 0 
Equações reduzidas (variável x): 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=
−+=
a
xczax
a
cz
a
xbyax
a
by
00
00
 
Equação geral (somente no plano): ax + by + c = 0 
 
O vetor vr que dá a direção da reta r é chamado vetor diretor. 
O vetor diretor da reta pode ser determinado por dois pontos A = (x1,y1,z1) e B = (x2,y2,z2), cujo 
vetor é determinado por AB= B–A