Matriz de mudança de base

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.
Determinação da Matriz de Mudança de Base
As igualdades (3) do item anterior permitem escrever:
=.									 (8)
 Fazendo
	v1 = (x11, x12),	 v2 = (x21, x22), w1= (y11 , y12) e w2 = (y21 , y22), a igualdade (8) fica
 = . 						 (9)
mas,
 = At , = Mt e = Bt
logo a equação (9) é:
At = Mt Bt
ou
A = BM (propriedade da matiz transposta). 
Como B é uma matriz inversível, vem:
	M = B-1 . A							 (10)
	Da igualdade (10), conforme propriedade da matriz inversa, vem:
	M-1 = A-1B									 (11)
	Não é demais insistir: M é matriz de mudança de base de A para B (da primeira base para a segunda) e M-1 é matriz de mudança de base de B para A (da segunda para a primeira).
É fácil entender que a matriz de mudança de base num espaço de dimensão 3 ou de dimensão n é dada pela mesma fórmula (M =B-1A ou M-1 = A-1B), sendo A e B de ordem 3 ou n, uma vez que a demonstração respectiva é análoga à do espaço de dimensão 2.
	Se a base A for a base canônica e, portanto A = I, tem-se:
	M = B-1										 (12)
	M-1 = B										 (13)
Exemplo:
Os problemas 1 a 4 se referem às bases do 2:
A = {(1,3), (1,-2)} e B = {(3,5), (1,2)}
Determinar a matriz de mudança de base de A para B.
Solução:
M = B-1 . A 
mas,
A = , B = , det B = 1, e B-1 = 
Logo:
M = . = 
Determinar a matriz de mudança de base de B para A.
Solução:
M-1 = A-1 B
Mas,
B = , A = , det A = -5 e A-1 = 
Logo:
M-1 = . = 
Sabendo que vA = (3, 2), calcular vB .
Solução:
VB = MvA
vB = . = 
Sabendo que vB = (5, -10), calcular vA .
Solução:
vA = . = 
Considere-se no 2, a base canônica A = {e1 = (1,0), e2 = (0,1)} e a base B = {v1= (1,3), v2 = (1,-2)}. Sabendo que vA = (5,0), calcular vB.
Solução:
VB = MvA
 
e
M = B-1
logo:
VB = B-1 vA
mas,
vA = , B = e B-1 = 
logo:
vB = . = 
A figura abaixo mostra que o vetor de componentes 5 e 0 na base canônica A tem componentes 2 e 3 na base B:
(5,0) = 5(1, 0) + 0(0, 1)
(5,0) = 2(1,3) + 3(1,-2)
	Se fosse dado vB = (2,3), o leitor encontraria vA = (5,0).
Dadas a base canônica A = {e1 = (1,0), e2 = (0,1)} e a base B={v1 = (2,1), v2 = (-1,2)} do 2, calcular vB sabendo-se que vA = (4,7).
Solução:
VB = MvA
M = B-1 A
A = I
M = B-1
VB = B-1 vA
Mas, 
VA = , B = e B-1 = 
Logo:
VB = . = 
	A figura abaixo mostra que: 
 (4,7) 	= 4e1 + 7 e2
	= 3 v1 + 2 v2
ou 
 (4, 7) = 4(1,0) + 7(0,1)
	 = 3(2,1) + 2(-1,2)
isto é,
 (4, 7) = (4, 7)A = (3, 2)B