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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 3 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
 
DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
 
 Devemos lembrar que se está supondo que os elementos dos conjuntos a que denominamos domínio e 
contradomínio pertencem ao conjunto dos números reais (  ). 
 Já foi visto que o domínio de uma função é constituído pelo conjunto de todos os elementos da variável 
independente, para os quais o valor da função pode ser determinado. 
 Assim, apresentam-se as seguintes situações possíveis: 
1ª Situação 
 Caso não seja explicitado o domínio da função, supor-se-á que o domínio é o conjunto dos números reais, ou seja, o 
domínio é constituído por todos os valores de x para os quais f ( x ) é um número real. 
Exemplo 
 Estabelecer o domínio da função f ( x ) = x2 – 3x + 1. 
 Solução: 
 Como não foi especificado em qual conjunto se trabalhará, supõe-se que será o conjunto dos números reais. De fato, 
pode-se encontrar o valor de y (variável dependente) ao se substituir x (variável independente) por qualquer valor real. 
 Assim, pode-se escrever que: 
D ( f ) =  
2ª Situação 
 Se for estabelecido um intervalo de validade da variável independente, esse intervalo será o domínio da função. 
Exemplo 
 Qual o domínio da função f ( x ) = 5 x – 3, com 0 ≤ x ≤ 6? 
 Solução: 
 Como, juntamente com a função, já foram esclarecidos quais valores podem ser assumidos pela variável 
independente, o domínio da função será dado por: 
D ( f ) = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 6 }. 
3ª Situação 
 Caso apareça a variável independente no denominador de uma fração, deve-se ter o cuidado de restringir o valor 
dessa variável de tal modo que esse denominador não se anule. 
Exemplo 
 Qual o domínio da função f x( ) = 8x − 5 ?
 
 
 Solução: 
 Como a variável independente está no denominador, deve-se impor a condição de esse denominador não se anular. 
Assim: 
x – 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 + 5 ⇒ x ≠ 5 
 Então, o domínio da função será dado por: 
D ( f ) = { x ∈  | x ≠ 5 } 
4ª Situação 
 Se a variável independente estiver sob um radical de índice par, deve-se impor a condição de o radicando ser maior 
ou igual a zero. 
 Observação: Se o radical for de índice ímpar, o domínio será o conjunto dos números reais. 
Exemplo 
 Qual o domínio da função f x( ) = 3x −15 ? 
 Solução: 
 Como a variável está sob um radical de índice par, deve-se fazer a imposição de o radicando ser maior ou igual a 
zero. Portanto: 
3x −15 ≥ 0⇒ 3x ≥15⇒ x ≥ 15
3
⇒ x ≥ 5 
 Logo, o domínio da função será dado por: 
D ( f ) = { x ∈ | x ≥ 5 } 
 
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5ª Situação 
 No caso de uma função ser composta de várias operações matemáticas, deve-se considerar como domínio todos os 
valores da variável independente que tornam possíveis as operações matemáticas indicadas na definição da função. 
Exemplo 
 Estabelecer o domínio da função f x( ) = 2x − 8 + 3x2x − 7 . 
 
 Solução: 
 1) A variável independente que está sob o radical de índice par faz com que seja imposta a condição de o radicando 
ser maior ou igual a zero. Logo: 
2 x – 8 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 8 ⇒ x ≥ 4 
 2) A variável independente que está no numerador pode assumir qualquer valor. Então, nesse caso, não há restrição 
quanto ao seu valor, podendo assumir qualquer valor real. 
 3) A variável independente que se encontra no denominador faz com que seja imposta a condição de esse 
denominador ser diferente de zero. Assim: 
2x − 7 ≠ 0⇒ 2x ≠ 7⇒ x ≠ 7
2
 
 4) As restrições impostas são: 
x ≥ 4 e x ≠ 7
2
 
 Verifica-se que a primeira restrição satisfaz, simultaneamente, a todas as operações matemáticas que definem a 
função. Logo, o domínio será dado por: 
D ( f ) = { x ∈ | x ≥ 4 } 
 
TIPOS DE FUNÇÕES 
 
Função Sobrejetora 
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio. 
 Ao representar a função sobrejetora por meio de um diagrama, pode-se notar que, além de não sobrarem elementos 
no conjunto A (fato obrigatório para ser uma função), não sobram elementos no conjunto B. 
 Utilizando a representação por intermédio de diagramas de setas: 
 
Função Injetora 
Uma função y = f ( x ) é injetora quando elementos distintos do seu domínio possuem imagens distintas, isto é: 
x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . 
 Utilizando a representação por intermédio de diagramas de setas: 
 
Função Bijetora 
Uma função é dita bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. 
 Utilizando a representação por intermédio de diagramas de setas: 
 
 
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Exemplos 
 1) Considere três funções f, g e h, tais que: 
• a função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade, 
• a função g atribui a cada país, a sua capital, 
• a função h atribui a cada número natural, o seu dobro. 
 Quais das funções dadas, são injetoras? 
 Solução: 
 Sabe-se que, numa função injetora, elementos distintos do domínio possuem imagens distintas, ou seja: 
x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . 
 Logo, pode-se concluir que: 
 f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade; 
 g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital; 
 h é injetora, pois dois números naturais distintos possuem os seus dobros também distintos. 
 
2) Seja f uma função definida em  – conjunto dos números reais, tal que f (x – 5 ) = 4 x. Nessas condições, pede-se 
determinar f ( x + 5 ). 
 Solução: 
 Vamos a função f ( x ). Para tal, fazemos: 
 f ( x – 5) = 4 x ⇒ f ( x + 5 – 5) = 4 (x + 5) ⇒ f ( x ) = 4x + 20 
 Para encontrar f ( x + 5 ) faz-se: 
 f ( x ) = 4x + 20 ⇒ f ( x + 5 ) = 4 (x + 5) + 20 ⇒ f ( x + 5) = 4x + 20 + 20 ⇒ f ( x + 5 ) = 4 x + 40 
 
3) Seja a função f ( x ) = 2x2 – 3x + 1, determine f ( x + 3). 
 Solução: 
 Para encontrar f ( x + 3 ) faz-se: 
 f ( x ) = 2x2 – 3x + 1 ⇒ f ( x + 3) = 2( x + 3)2 – 3( x + 3) + 1 ⇒ f ( x + 3) = 2 (x2 + 6x + 9) – 3x – 9 + 1 ⇒ 
 f ( x + 3) = 2x2 + 12x + 18 – 3x – 9 + 1 ⇒ f ( x + 3) = 2x2 + 9x + 10 
 4) Se f ( x – 2 ) = 4x2 – 3, determine f 
x −1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . 
 Para encontrar a função solicitada, faz-se: 
 f ( x – 2 ) = 4x2 – 3 ⇒ f ( x + 2 – 2 ) = 4( x + 2) 2 – 3 ⇒ f ( x ) = 4( x2 + 4x + 16) – 3 ⇒ 
 f ( x ) = 4x2 + 16x + 13 
 Para determinar f 
x −1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , faz-se: 
 f ( x ) = 4x2 + 16x + 13 ⇒ f 
x −1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 4
x −1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ 16
x −1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +13 ⇒ 
 f 
x −1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 4. 
x2 − 2x +1
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 + 8 (x – 1) + 13 ⇒ f 
x −1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = x
2 – 2x + 1 + 8x – 8 + 13 ⇒ f 
x − 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = x
2 + 6x + 6 
 
 
PARIDADE DE FUNÇÕES 
 
Função Par 
A função y = f ( x ) é par, se para todo x ∈ D( f ) ocorrer f ( x ) = f ( – x ). 
 Portanto, em uma função par, elementos simétricos do domínio possuem o mesmo valor para imagem. Uma 
consequência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções pares são curvas simétricas em relação ao eixo das 
ordenadas (eixo y), ou seja, têm o eixo y funcionando como um espelho que reflete, do lado esquerdo, o que tem imagem do 
lado direito. 
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Exemplo 
 Verificar se a função dada por y = x4 + 1 é uma função par ou não. 
 Solução: 
 Para ser uma função par, deve-se ter f ( x ) = f ( – x ). Então, escolhendo valores simétricos para x, devemos obter 
resultados iguaispara y. 
 Se forem escolhidos 2 e – 2 para os valores de x, obtém-se: 
f ( 2 ) = 24 + 1 = 17 e f (– 2) = (– 2)4 + 1 = 17 
 Logo, a função dada é uma função par. 
 
Função Ímpar 
A função y = f ( x ) é ímpar , quando, para todo valor de x ∈D( f ) ocorrer f (– x) = – f ( x ). 
 Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos do domínio possuem imagens simétricas. Uma consequência 
desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares são curvas simétricas em relação à origem do sistema de eixos, 
o par ordenado (0,0). 
 
Exemplo 
 Verificar se a função dada pela lei de formação y = x3 é ou não uma função ímpar. 
 Solução: 
 Para que a função dada seja ímpar, deve-se ter f (– x) = – f ( x ). 
 Atribuindo para x os valores 2 e – 2, obtém-se: 
f ( 2 ) = ( 2 )3 = 8 ⇒ – f ( 2 ) = – 8 e f (– 2 ) = (– 2)3 = – 8 
 Logo, a função dada é ímpar. 
Observação 
Se uma função y = f ( x ) não for par nem ímpar, diz-se, então, que ela não possui paridade. 
Exemplo 
 O gráfico abaixo representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo 
dos y e não é simétrica em relação à origem. 
 
FUNÇÕES PERIÓDICAS 
 
Uma função f ( x ) é chamada de função periódica quando existir um número positivo “p” que satisfaça a igualdade: 
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f ( x + p) = f ( x ), ∀ x ∈ D ( f ). 
 
 O menor valor de “p” que verifica essa condição é denominado de período da função. 
 O gráfico de uma função periódica é formado por trechos que se repetem ao longo do eixo das abscissas – eixo x. 
 
Exemplo 
 A função representada graficamente abaixo é uma função periódica: 
 
 Observe que: 
y = f ( x ) = f (x + 2) = f (x + 4) = ... = f (x – 2) = f (x – 4) = .... 
 
Além disso, é fácil perceber que o período da função é p = 2. 
 
FUNÇÕES LIMITADAS 
 
Uma função f ( x ) é denominada de função limitada, no seu domínio de definição, quando existirem dois valores reais 
y1 e y2, tais que: 
 
y1 ≤ f ( x ) ≤ y2, ∀ x ∈ D ( f ). 
 
 Desta maneira, pode-se afirmar que o gráfico de uma função limitada fica inteiramente contido em uma faixa 
horizontal cujos limites são as ordenadas y1 e y2, ou seja, é possível traçar duas retas horizontais que passam por y1 e y2 
formando a faixa limitante da função. 
 Pode-se dizer, também, que uma função é limitada quando o seu conjunto imagem é um conjunto limitado, ou seja, 
. 
 
Exemplo 
 A função , representada graficamente abaixo é um exemplo de uma função limitada. 
 
 No gráfico da função é possível perceber a “faixa” de limitação da função, ou seja, o conjunto imagem está contido no 
intervalo fechado [ – 1 , 1 ] , . 
 
Função limitada superiormente 
 Diz-se que uma função f ( x ) é limitada superiormente quando existe um valor yS, tal que: 
 
f ( x ) ≤ yS ∀ x ∈D ( f ). 
Exemplo 
 A função , representada graficamente abaixo, é um exemplo de função limitada superiormente. 
Im f( ) ⊂ a , b⎡⎣ ⎤⎦
f x( ) = sen x
Im f( ) ⊂ − 1 , 1⎡⎣ ⎤⎦
f x( ) = x, se x < 2
2, se x ≥ 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
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Observe que o gráfico representativo da função f ( x ) tem um valor limitante superiormente , yS = 2. Inferiormente o 
gráfico da função f ( x ) não apresenta limite. 
 
Função limitada inferiormente 
 Diz-se que uma função é limitada inferiormente quando existe um valo yI, tal que: 
 
f ( x ) ≥ yI ∀ x ∈D ( f ). 
Exemplo 
 A função , representada graficamente abaixo, é um exemplo de função limitada inferiormente. 
 
É possível observar que o gráfico representativo da função f ( x ) dada tem um valor limitante inferiormente , yI = – 2. 
Superiormente o gráfico da função f ( x ) não apresenta limite. 
 
Função ilimitada 
Uma função será classificada como uma função ilimitada caso uma função não tenha valores de yS e yI que a limitem, 
nem superiormente, nem inferiormente. 
 
Exemplo 
 A função f ( x ) = 2x – 4, representada graficamente abaixo, é uma função ilimitada. 
 
 
 
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES 
 
Uma função f ( x ) é denominada de função crescente em um intervalo a < x < b, se para quaisquer valores x1 e x2 do 
domínio da função, com x1 < x2 se tiver f ( x1 ) < f ( x2 ), ou seja: 
 
f ( x ) é crescente em [ a , b ] ⇔ ∀ x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ). 
 
 De modo análogo, pode-se dizer que: 
f x( ) = 1− x, se x < 3
− 2, se x ≥ 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
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f ( x ) é decrescente em [ a , b ] ⇔ ∀ x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ). 
 
Exemplos 
 As funções representadas graficamente a seguir são exemplos de funções crescentes e decrescentes em um dado 
intervalo [ a , b ]. 
 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função é dita constante, com domínio no conjunto dos números reais e contradomínio também no conjunto dos 
números reais quando: 
f :  →  | f ( x ) = k , k ∈ . 
 Outro aspecto a considerar é que, nesse tipo de função, não aparece variável independente no 2º membro. 
Exemplos 
 São funções constantes: 
a) f ( x ) = 7 b) f ( x ) = – 1,25 
 Graficamente temos: 
 
 
 
 
 
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 
 Dado um número real “x” define-se módulo ou valor absoluto de “x”, e indica-se por , à distância entre a origem 
do sistema de eixos cartesianos e o ponto que representa a abscissa de “x” na reta numerada. Portanto, tem-se: 
• se x ≥ 0 ⇒ = x, e; 
• se x < 0 ⇒ = – x. 
Exemplos 
 e 
 Graficamente, tem-se: 
 
FUNÇÃO MODULAR 
 Denomina-se função modular à função f ( x ) com domínio no conjunto dos números reais e contradomínio no conjunto 
dos números reais não negativos, ou seja: 
f :  →  | f ( x ) = , ∀ x ∈ 
 Observa-se que . 
 O gráfico representativo de uma função modular é: 
 x 
 x 
 x 
 + 5 = 5 − 5 = 5
 x 
f x ( ) = x, se x ≥ 0
− x, se x < 0
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
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 É possível perceber que: 
• D ( f ) = ; 
• Im ( f ) = ; 
• f ( x ) = é uma função par, pois f ( – x ) = f ( x ) ∀ x ∈, e; 
• f ( x ) = é uma função ilimitada (não limitada). 
 
EXERCÍCIOS 
1) Estabeleça o domínio das funções dadas abaixo. 
a) . Resp.: D = {x ∈ | x ≠ !! } 
b) f ( x ) = 3x3 – 4x2 + 3x – 8 . Resp.: D =  
c) . Resp.: D = {x ∈ | 𝑥 ≤ − !! } 
d) . Resp.: D =  
e) . Resp.: D = {x ∈ | x ≠ !! } 
f) Resp.: D = {x ∈ | x ≠ 4 e x ≠ 5} 
g) . Resp.: D = {x ∈ | 𝑥 < !! } 
h) . Resp.: D = {x ∈ | x > 5} 
 
2) Se a função f atribui a cada pessoa a sua naturalidade; a função g atribui a cada cidade o seu prefeito e a função h 
atribui a cada número natural a sua metade, determine quais das funções são injetora. Resp.: as funções g e h são injetoras. 
 
 3) Classifique em par ou ímpar as funções: 
a) f :  → , definida por f ( x ) = x 2 – 9. Resp.: par. 
b) g :  → , definida por g ( x ) = x. Resp.: ímpar. 
4) Qual dos gráficos abaixo representa uma função constante? 
 
Resp.: Alternativa “c”. 
5) São dadas as funções dadas abaixo. classifique cada uma delas em relação à paridade. 
 a) f : [ 0 , 4 ]→  definida por f x( ) = 4 − x2 ; 
 b) f : [ − 2 , 2 ]→  definida por f x( ) = x
2
2
; 
 x 
 x 
74x
2x) x ( f
−
=
12x 3 ) x ( f −=
3 3x
x) x ( f
−
=
3x2
9x) x ( f
−
−=
209xx
2) x ( f 2 +−
=
18x 2 
1x) x ( f
2
−
−=
102x
1
4x
43xx)x ( f
2
−
++−=
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 c) f :→  definida por f x( ) =
x
4
, se x ≤ 4
1, se x > 4
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
; 
 d) f :→  definida por f x( ) =
− 1, se x < 0
x −1, se 0 ≤ x ≤ 2
1, se x > 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
; 
 e) f :→  definida por f x( ) = x
2, se x ≤ 0
x, se x > 0
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
; 
 f) f :→  definida por f x( ) = x4 + 3x2 +11 ; 
 g) f :→  definida por f x( ) = 2x3 + x ; 
 h) f :→  definida por f x( ) = x
2 −1
2
; 
 i) f :→  definida por f x( ) = 5x + 3 , e; 
 j) f :→  definida por f x( ) = x − 5 . 
Resp.: São funções pares: b) ; f) ; h) e j). São funções ímpares: g). Nem par nem ímpar: a) c) d) e) e i). 
 
6) Em relação às funções dadas no exercício anterior, classifique-as em crescentes, decrescentes ou constantes. 
Obs.: uma mesma função pode ter trechos onde ela é constante, onde é crescente e/ou onde é decrescente. 
Resp.: a) decrescente no intervalo dado. b) decrescente no intervalo [ – 2 , 0 ] e crescente no intervalo [ 0 , 2 ]. c) 
constante para x < – 4 e para x > 4 e crescente para – 4 ≤ x ≤ 4. d) constante para x < 0 e x > 2 e crescente no intervalo 0 ≤ x ≤ 
2. e) decrescente no intervalo ] – ∞ , 0 ] e crescente no intervalo [ 0 , ∞ ]. f) decrescente no intervalo ] – ∞ , 0 ] e crescente no 
intervalo [ 0 , ∞ ]. g) crescente. h) decrescente no intervalo ] – ∞ , 0 ] e crescente no intervalo [ 0 , ∞ ]. i) crescente. j) 
decrescente no intervalo ] – ∞ , – 5 ] e crescente no intervalo [– 5 , ∞ ]. 
 
7) Em relação às funções do exercício nº 3, quais são funções limitadas (e o tipo se for pertinente) e quais são 
ilimitadas. 
Resp.: funções limitadas: a) , b) , c) e d) ; limitada inferior : e) , f) , h) e j) ; funções ilimitadas: g) e i). Não há função 
limitada superior. 
 
8) Identifique as funções pares e as funções ímpares, sabendo que todas são funções com domínio no conjunto dos 
números reais. 
 a) f x( ) = 2x5 b) f x( ) = x2 +1 c) f x( ) = x2 + x +1 d) f x( ) = x8 e) f x( ) = x
2 + x f) f x( ) = x + x 
Resp.: Funções pares: b) e e). Funções ímpares: a) e d). Nem par nem ímpar: c) e f). 
 
 9) Verifique a paridade das funções dadas abaixo: 
a) f :  → , definida por f ( x ) = x 2 – 9. Resp.: par. 
b) g :  → , definida por g ( x ) = x. Resp.: ímpar.