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Professor Marcelo Gonsalez Badin MATEMÁTICA Logaritmos – Introdução Você certamente já sabe calcular logaritmos! 2x = 8 2x = 23 x = 3 Por exemplo, resolva a equação: 2x = 8 Logaritmo é apenas um nome que é dado ao expoente que é a solução de uma equação exponencial. Assim, 2x = 8 2x = 8 x é o logaritmo de 8 na base 2⇔ x = log28⇔ 2x = 15 ⇔ x = log215 Obs: log215 é, aproximadamente 3,90689059562, ou seja: 23,90689059562 = 15 23 = 8 24 = 16 3 < x < 4 Logaritmos ax = b b > 0 a > 0 1a ≠ logab = x x = logab ax = b ⇔ ⇔ logab = x base logaritmando logaritmo de b na base a C.E.: Condições de Existência logab = x ax = b 1. Determine o domínio da função f(x) = log(x–1)(7–x) C.E.: x – 1 > 0 condições de existência fi x > 1 ( I ) II I D III 1 2 7 7 21 D = ou vc escreve: D = ]1,2[ U ]2,7[ x – 1 ≠ 1fi x ≠ 2 ( II ) 7 – x > 0 fi x < 7 ( III ) {xŒIR / 1 < x < 7 e x ≠ 2} 2. Resolva a equação 52x – 7.5x + 10 = 0 Fazendo 5x = t, temos: ( )2x x5 7 5 10 0− ⋅ + = t = 2 t2 –7t + 10 = 0 S = 7 P = 10 t = 5 S = {1, log52} x = log52 5x = 5 x = 1 5x = 2 t = 5 t = 2 a) log3243= x 3. Calcule x 3x = 243 2b) log 0,25 x= ( )x1 2 22 2−= ( )x2 0,25= x 222 2−= x 2 2 = − x = –4 c) log5x = 4 54 = x d) logx49= 2 x2 = 49 3x = 35 x = 5 x = 625 como x > 0, x = 7 e) log3(log7x) = 0 30 = log7x log7x = 1 71 = x x = 7 4. Qual o valor do logaritmo de 512 na base 2? log2512 = x O logaritmo de 512 na base 2 é 9 2x = 512 2x = 29 x = 9 Imagine alguém que, diariamente, tivesse que fazer contas como (2,37)(1,02)(3,57) (1,21)(8,33) sem utilizar uma calculadora. Seria muito chato e trabalhoso! No século XVI, o barão escocês John Napier (1550-1617) teológo e matemático, criou um método que, •Multiplicação em adição; • Divisão em subtração; • Potenciação em multiplicação; • Radiciação em divisão. Para isso, Brigs elaborou uma tabela com a qual é possível escrever qualquer número positivo na forma de potência de dez, com altíssimo grau de aproximação. Essa tabela é chamada de tábua de logaritmos. aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1639), diminuiu o tempo gasto na realização de operações matemáticas, transformando, por meio das propriedades de potências: Briggs foi o primeiro a construir uma tabela de logaritmos. Começou com log 10=1 e depois achou outros logaritmos. Em 1617, ano da morte de Napier, ele publicou uma obra que continha os logaritmos de 1 a 1000, cada um com 14 casas decimais. Em 1624, publicou Arithmetica logarithmica, que continha os logaritmos, também calculados com 14 casas decimais, de 1 a 20000 e de 90000 a 100000. Hoje, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram- se peças de museu. A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática. • log x = log10 x (logaritmo decimal) • ln x = loge x (logaritmo natural ou neperiano) • O número indicado por e é chamado de número de Euler (Leonhard Euler, matemático suiço, 1707-1783) é irracional e vale, aproximadamente, 2,718. x x 1lim 1 e x→∞ + = • cologb a = –logb a (cologaritmo) O número indicado por e é chamado de número de Euler (Leonhard Euler, matemático suiço, 1707-1783) é irracional e vale, aproximadamente, 2,718. x x 1lim 1 e x→∞ + = Para quem tiver interesse de saber mais sobre o e, indico o livro “e: A HISTÓRIA DE UM NÚMERO” Eli Maior (Editora Record) A aproximação decimal de e é obtida calculando o limite de 11 x + elevado a x, para x “muito grande”. Matematicamente: Vamos fazer algumas contas! x11 x + x Acompanhe a tabela: 100 1.000 10.000 100.000 10 2,593742601 2,70481382942 2,71692393224 2,71814592683 2,71826823717 2,718280469321.000.000 5. Determine o valor da expressão: 52a) A = log 8 log 0,2 log1000+ + Calculando cada parcela da soma: 2log 8 x= A = 6 – 1 + 3 A = 8 log50,2 = y 5y = 0,2 x = 6 y = –1 12 10,2 5 10 5 − = = = ( )x2 8= x 322 2= x 3 2 = 5y = 5–1 5. Determine o valor da expressão: loga1 = ? loga1 = 0 logaac = ? logaac = c ( )4 1021 7 π 3b) B = log 1 log 7 log π log log 3+ + + B = 0 B = 5 + 1 pois a0 = 1 pois ac = ac alog ba ?= alog ba b= alog ba 5 2log 13 3 log 7log4c) C = 5 10 2 ++ + C = 13 + C = 17 + 2log 732 2⋅ C = 17 + 56 B = 6 C = 73 + 4 + 1 + log10 4 + 8.7 6. A solução real da equação log7 (7x+56) = 2x é: a) log87 b) log78 c) log7 d) 1 e) – 1 72x = 7x + 56 ( )2x x7 7 56 0− − = fi t = –7 ou t = 8t2 – t – 56 = 0 Fazendo 7x = t, temos: t = –7 S = 1 P = –56 t = 8 x = log78 7x = –7 Impossível pois 7x> 0 7x = 8 fi k = 1 7. (Vunesp-2001) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão: com k uma constante positiva e t em horas. k 10 10Q(t) log t 1 = + a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k. Para t = 0, temos Q(0) = 1 k 10 10log 1 0 1 = + b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará? Como k = 1, temos Q(t) = A experiência termina se Q(t) = 0 10 10log t 1 + A experiência termina ao fim de 9 horas 10 10log 0 t 1 = + 10 t 1+ t + 1 = 10 t = 9 Série Pensador – P. 508 Exercício 10 fi log1010k = 1 fi 100 = –1 a) y = log2x Esboçar o gráfico das seguintes funções: x y x y = log2x –2 –1 1 2 4 ¼ ½ 0 2 1 –2 ¼ ½0 1 1 2 2 4 C.E.: x > 0 Im = IR D = IR*+ (reais positivos) Função crescente a reta x = 0 (eixo y) é assíntota de log2x –1 b) y = log½ x 10. Faça o gráfico da função: x y x y = log½ x –2 –1 1 2 4 ¼ ½ 0 2 1 –2 ¼ ½0 1 1 2 2 4 C.E.: x > 0 Im = IR D = IR*+ (reais positivos) Função decrescente a reta x = 0 (eixo y) é assíntota de log½x
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