392372-espaços_vetoriais

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A´LGEBRA LINEAR
IFCE
Quixada´, 17 de fevereiro de 2014
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Introduc¸a˜o
Examinaremos certos aspectos relacionados com dois conjuntos: o
conjuntos V dos vetores da geometria definidos atrave´s de segmentos
orientados e o outro e´ o conjunto Mm×n(R) das matrizes reais m por n.
No conjunto V esta´ definida uma adic¸a˜o (adic¸a˜o de vetores) usufruindo
das propriedades da comutatividade, associatividade, ale´m da existeˆncia de
elemento neutro (vetor nulo) e do oposto para cada vetor de V.
O vetor nulo e´ qualquer ponto no espac¸o. O oposto de ~u determina-se por
−~u que corresponde em mudar o sentido do vetor.
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Podemos ainda multiplicar um vetor ~u por um nu´mero real α, tendo os
seguintes casos:
i) se > 1, enta˜o α~u alonga ~u
ii) se 0 < α < 1, enta˜o α~u encurta, diminui, ~u
iii) se α < −1, enta˜o α~u alonga e muda o sentido de ~u
iv) se −1 < α < 0, enta˜o α~u encurta e muda o sentido de ~u
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Se α = 1, α~u = ~u;
Se α = 0, α~u = 0;
Em geral, |α~u| = |α|.|~u|.
Vejamos as propriedades envolvendo multiplicac¸a˜o, considerando α e β
nu´meros reais:
(αβ)~u = α(β~u)
(α + β)~u = α~u + β~u
α(~u + ~v) = α~u + α~v
1.~u = ~u
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Ja´ vimos as propriedades de matrizes, percebemos que os conjuntos V e
Mm×n(R) apresentam uma coincideˆncia estrutural no que se refere a`s
operac¸o˜es definidas por eles. Assim, faremos o estudo dos espac¸os
vetoriais.
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Espac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o
Diremos que um conjunto V onde esta˜o definidas as operac¸o˜es de adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o por escalar e´ um espac¸o vetorial se para quaisquer vetores
u, v ,w ∈ V e para todo α, β ∈ R sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
1) u + v = v + u para quaisquer u, v ∈ V ;
2) u + (v + w) = (u + v) + w para quaisquer u, v ,w ∈ V ;
3) Existe um elemento 0 ∈ V tal que 0 + u = u para todo u ∈ V ;
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Espac¸os Vetoriais
4) Para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0;
5) α(βu) = (αβ)u, para quaisquer u ∈ V e α, β ∈ R;
6) (α + β)u = αu + βu para quaisquer u ∈ V ;
7) (u + v) = αu + αv para quaisquer u ∈ V e α ∈ R;
8) 1u = u para qualquer u ∈ V .
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Exemplos
Verifique se cada um dos conjuntos abaixo e´ espac¸o vetorial.
1) O conjunto V = R2 = {(x , y); x , y ∈ R} com as operac¸o˜es usuais:
(x , y) + (a, b) = (x + a, y + b)
α(x , y) = (αx , αy)
2) O conjunto P2 = {a0 + a1x + a2x2; ai ∈ R}, com as operac¸o˜es usuais
de soma de polinoˆmios e multiplicac¸a˜o por escalar.
3) O conjunto M(m, n) das matrizes (m, n) com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o por escalar.
4) O conjunto V = R2 = {(x , y); x , y ∈ R} com as operac¸o˜es:
(x , y) + (a, b) = (x + a, y + b) e k(x , y) = (kx , y)
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Subespac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial e S um subconjunto na˜o-vazio de V. O
subconjunto S e´ um subespac¸o vetorial de V se S e´ um espac¸o vetorial em
relac¸a˜o a` adic¸a˜o e a` multiplicac¸a˜o por escalar definidas em V.
Teorema
Um subconjunto S, na˜o-vazio, de um espac¸o vetorial V e´ um subespac¸o
vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condic¸o˜es:
1) O ∈ S
2) Para quaisquer u, v ∈ S , tem-se:
u + v ∈ S
3) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S tem-se:
αu ∈ S .
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Exemplos
Verifique se cada um dos conjuntos abaixo e´ subespac¸o vetorial.
1) V = R2 e S = {(x , y) ∈ R2/y = 2x}
2) V = R2 e S = {(x , y) ∈ R2/y = 4− 2x}
3) V = R3 e S = {(x , y , z) ∈ R3/ax + by + cz = 0}
4) S = {A ∈ Mn×n/AB = 0}, onde B uma matriz fixa de V.
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Definic¸a˜o:
Sejam U e W dois subespac¸os vetoriais de V. A intersec¸a˜o de U e
W(U ∩W ), e´ o conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que v ∈ U e
v ∈W .
Teorema
A intersec¸ao de dois subespac¸os vetoriais U e W de V e´ um subespac¸o
vetorial de V.
Exemplo
Verifique que U e W sa˜o subespac¸os vetoriais e que sua intersec¸a˜o e´ um
subespac¸o vetorial de R4
U = {(x , y , z , t) ∈ R4/x − y + t + z = 0} e
W = {(x , y , z , t) ∈ R4/x + y − t + z = 0}
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Definic¸a˜o:
Sejam U e W dois subespac¸os vetoriais de V. A soma de U e W(U + W ),
e´ o conjunto de todos os vetores u + v ∈ V tais que u ∈ U e v ∈W .
Teorema
A soma de dois subespac¸os vetoriais U e W de V e´ um subespac¸o vetorial
de V.
Exemplo
Verifique que U e W sa˜o subespac¸os vetoriais e que sua soma e´ um
subespac¸o vetorial de R4
U = {(x , y , z , t) ∈ R4/x − y + t + z = 0} e
W = {(x , y , z , t) ∈ R4/x + y − t + z = 0}
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Definic¸a˜o:
Sejam U e W dois subespac¸os vetoriais de V. Dizemos que e´ a soma direta
de U e W e escrevemos V = U ⊕W , se V = U + W e U ∩W = {0}.
Teorema
Se V e´ a soma direta de U e W, todo vetor v ∈ V se escreve, de modo
u´nico, na forma.
v = u + w
onde u ∈ U e w ∈W
Exemplo
O espac¸o vetorial R3 = {(a, b, c); a, b, c ∈ R} e´ a soma direta dos
subespac¸os vetoriais:
U = {(a, b, 0); a, b ∈ R} e W = {(0, 0, c); c ∈ R}
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Combinac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o:
Sejam v1, v2, · · · , vn vetores do espac¸o vetorial V e os escalares
α1, α2, · · · , αn. Qualquer vetor v ∈ V da forma
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2, · · · , vn.
Exemplo
No espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ 2, o polinoˆmio
v = 7x2 + 11x − 26 e´ combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios p = 5x2 − 3x + 2
e q = −2x2 + 5x − 8
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Combinac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o:
Sejam v1, v2, · · · , vn vetores do espac¸o vetorial V e os escalares
α1, α2, · · · , αn. Qualquer vetor v ∈ V da forma
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2, · · · , vn.
Exemplo
No espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ 2, o polinoˆmio
v = 7x2 + 11x − 26 e´ combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios p = 5x2 − 3x + 2
e q = −2x2 + 5x − 8
De fato, v = 3p + 4q
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Exemplo
Verifique que em P2, o polinoˆmio p(x) = 1 + x
2 e´ uma combinac¸a˜o dos
polinoˆmios q1(x) = 1, q2(x) = 1 + x e q3(x) = 1 + x + x
2. Precisamos
encontrar nu´meros reais α, β, γ tais que p(x) = αq1(x) + βq2(x) + γq3(x).
Ou seja, precisamos encontrar α, β, γ satisfazendo:
1 + x2 = α + β(1 + x) + γ(1 + x + x2) = α + β + γ + (β + γ)x + γx2
que equivale aum sistema com soluc¸a˜o α = γ = 1, β = −1
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Exercitar 1
Resolver algumas do exerc´ıcio sobre espac¸o vetorial, subespac¸o Questo˜es
1, 2, 3, 4, 9, 12, 13
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Subespac¸os gerados
Seja V um espac¸o vetorial. Consideremos um
subconjuntoA = {v1, v2, · · · , vn} ⊂ V ,A 6= φ
O conjunto S de todos os vetores de V que sa˜o combinac¸o˜es lineares dos
vetores de A e´ um subespac¸o vetorial de V.
S = {v ∈ V /v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn, α1, α2, · · · , αn ∈ R
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Observac¸o˜es:
1) O subespac¸o S diz-se gerado pelos vetores v1, v2, · · · , vn ou gerado
pelo conjunto A, e representa-sepor:
S = [v1, v2, · · · , vn] ou S = G (A)
Os vetores v1, v2, · · · , vn sa˜o chamados geradores do subespac¸o S,
enquanto A e´ o conjunto gerador de S.
2) Para o caso particular de A = φ, define-se [φ] = {0}
3) A ⊂ G (A), ou seja, {v1, v2, · · · , vn} ⊂ [v1, v2, · · · , vn]
4) Todo conjunto A ⊂ V gera um subespac¸o vetorial de V, podendo
ocorrer G (A) = V . Nesse caso, A e´ um conjunto gerador de V.
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